高一數(shù)學(xué)函數(shù)性質(zhì)專項(xiàng)習(xí)題及解析引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而單調(diào)性、奇偶性、周期性是函數(shù)的三大基本性質(zhì)，它們揭示了函數(shù)的“變化規(guī)律”：單調(diào)性描述函數(shù)的“增減節(jié)奏”，奇偶性描述函數(shù)的“對稱特征”，周期性描述函數(shù)的“重復(fù)規(guī)律”。這些性質(zhì)不僅是解決函數(shù)求值、解不等式、求解析式的關(guān)鍵工具，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)。本文針對高一學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，分板塊梳理函數(shù)性質(zhì)的核心知識點(diǎn)，并配套基礎(chǔ)習(xí)題（鞏固概念）、提升習(xí)題（綜合應(yīng)用）及詳細(xì)解析（思路引導(dǎo)），幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)、突破難點(diǎn)。一、函數(shù)的單調(diào)性：描述增減的“變化節(jié)奏”知識點(diǎn)回顧1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(D\)，區(qū)間\(I\subseteqD\)。若對任意\(x_1,x_2\inI\)，當(dāng)\(x_1<x_2\)時(shí)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則稱\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。2.判斷方法：定義法：取值→作差→變形→判斷符號→下結(jié)論（核心是“變形”，常用因式分解、配方等方法）；圖像法：函數(shù)圖像上升則遞增，下降則遞減；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：若\(f(g(x))\)由\(f(u)\)和\(u=g(x)\)復(fù)合而成，則“同增異減”（\(f(u)\)與\(g(x)\)單調(diào)性相同則復(fù)合函數(shù)增，相反則減）。3.注意事項(xiàng)：單調(diào)性是“區(qū)間性質(zhì)”，不能用“并集”連接不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上均減，但不能說在\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)上減）?；A(chǔ)習(xí)題1.用定義法證明：\(f(x)=x^2-2x\)在區(qū)間\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-1}\)的單調(diào)遞減區(qū)間。3.已知\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，且\(a=\log_23\)，\(b=\ln2\)，\(c=2^{0.5}\)，比較\(f(a),f(b),f(c)\)的大小。提升習(xí)題4.若函數(shù)\(f(x)=(m-1)x^2+2mx+3\)在區(qū)間\((-\infty,1]\)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。5.解不等式：\(f(2x-1)<f(3)\)，其中\(zhòng)(f(x)=x^3+1\)（提示：先判斷單調(diào)性）。解析1.證明：任取\(x_1,x_2\in[1,+\infty)\)，且\(x_1<x_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1^2-2x_1)-(x_2^2-2x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-2)\)。因?yàn)閈(x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)；又\(x_1\geq1\)，\(x_2>x_1\geq1\)，故\(x_1+x_2>2\)，即\(x_1+x_2-2>0\)。因此\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\([1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。點(diǎn)評：定義法的關(guān)鍵是“作差后的變形”，通過因式分解將差式轉(zhuǎn)化為可判斷符號的因子乘積。2.解：函數(shù)定義域?yàn)閈((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)。令\(u=x^2-1\)，則\(f(u)=\sqrt{u}\)（\(u\geq0\)），\(f(u)\)單調(diào)遞增。由“同增異減”，\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間對應(yīng)\(u=x^2-1\)的單調(diào)遞減區(qū)間。\(u=x^2-1\)開口向上，對稱軸為\(y\)軸，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,0]\)。結(jié)合定義域，\(f(x)\)的單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,-1]\)。點(diǎn)評：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性需先求定義域，再分層判斷內(nèi)層與外層函數(shù)的單調(diào)性。3.解：比較\(a,b,c\)的大?。篭(\log_23>1\)，\(\ln2<1\)，\(2^{0.5}=\sqrt{2}\approx1.414\)，而\(\log_23\approx1.585\)，故\(b<c<a\)。因?yàn)閈(f(x)\)單調(diào)遞增，所以\(f(b)<f(c)<f(a)\)。點(diǎn)評：利用單調(diào)性比較大小的核心是“將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小”。4.解：當(dāng)\(m=1\)時(shí)，\(f(x)=2x+3\)，單調(diào)遞增，不符合要求，舍去；當(dāng)\(m>1\)時(shí)，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為\(x=\frac{m}{1-m}\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,\frac{m}{1-m}]\)。要使\((-\infty,1]\subseteq(-\infty,\frac{m}{1-m}]\)，需\(\frac{m}{1-m}\geq1\)，解得\(m>1\)；當(dāng)\(m<1\)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，單調(diào)遞減區(qū)間為\([\frac{m}{1-m},+\infty)\)，無法覆蓋\((-\infty,1]\)，舍去。綜上，\(m>1\)。點(diǎn)評：二次函數(shù)單調(diào)性需分情況討論二次項(xiàng)系數(shù)（是否為二次函數(shù)），并結(jié)合開口方向與對稱軸判斷。5.解：先判斷\(f(x)=x^3+1\)的單調(diào)性：任取\(x_1<x_2\)，則\(f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\)。因?yàn)閈(x_1-x_2<0\)，且\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2>0\)（平方和非負(fù)，且不同時(shí)為0），故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。因此不等式\(f(2x-1)<f(3)\)等價(jià)于\(2x-1<3\)，解得\(x<2\)。點(diǎn)評：解函數(shù)不等式的步驟是“判斷單調(diào)性→去掉函數(shù)符號→解普通不等式”。二、函數(shù)的奇偶性：描述對稱的“鏡像特征”知識點(diǎn)回顧1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(D\)，若\(D\)關(guān)于原點(diǎn)對稱（即對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(-x\inD\)），且：\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)；\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)。2.性質(zhì)：偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱；奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則\(f(0)=0\)（因\(f(0)=-f(0)\)，故\(f(0)=0\)）；奇偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）的奇偶性：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。3.判斷步驟：第一步：檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱（必要條件，若不滿足，直接判定非奇非偶）；第二步：計(jì)算\(f(-x)\)，并與\(f(x)\)比較?；A(chǔ)習(xí)題1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)\(f(x)=x^3+\sinx\)；(2)\(f(x)=|x|+1\)；(3)\(f(x)=x^2+2x\)；(4)\(f(x)=\sqrt{x}\)。2.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且\(f(1)=3\)，求\(f(-1)\)的值。提升習(xí)題3.已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(f(x)=x^2+2x-1\)，求\(f(x)\)的解析式。4.若\(f(x)=ax^3+bx+1\)（\(a,b\)為常數(shù)），且\(f(2)=5\)，求\(f(-2)\)的值。解析1.判斷：(1)定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對稱，\(f(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，奇函數(shù)；(2)定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對稱，\(f(-x)=|x|+1=f(x)\)，偶函數(shù)；(3)定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對稱，但\(f(-x)=x^2-2x\neqf(x)\)且\(\neq-f(x)\)，非奇非偶；(4)定義域\([0,+\infty)\)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，非奇非偶。點(diǎn)評：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是判斷奇偶性的前提，若忽略此步，易犯錯(cuò)誤。2.解：因?yàn)閈(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(-1)=f(1)=3\)。點(diǎn)評：偶函數(shù)的核心是“自變量取相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值不變”。3.解：當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x>0\)，代入\(x>0\)的解析式得\(f(-x)=(-x)^2+2(-x)-1=x^2-2x-1\)；因?yàn)閈(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(x)=-f(-x)=-x^2+2x+1\)；當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=0\)（奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義）。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x^2+2x-1,&x>0,\\0,&x=0,\\-x^2+2x+1,&x<0.\end{cases}\)點(diǎn)評：求奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間的解析式，關(guān)鍵是“設(shè)未知區(qū)間的\(x\)，轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的\(-x\)，再利用奇偶性”。4.解：令\(g(x)=ax^3+bx\)，則\(f(x)=g(x)+1\)。因?yàn)閈(g(-x)=-ax^3-bx=-g(x)\)，所以\(g(x)\)是奇函數(shù)。由\(f(2)=g(2)+1=5\)，得\(g(2)=4\)，故\(g(-2)=-g(2)=-4\)。因此\(f(-2)=g(-2)+1=-4+1=-3\)。點(diǎn)評：通過構(gòu)造奇函數(shù)\(g(x)\)，可簡化計(jì)算（避免求\(a,b\)的具體值）。三、函數(shù)的周期性：描述重復(fù)的“循環(huán)規(guī)律”知識點(diǎn)回顧1.定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈(D\)，若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\inD\)，有\(zhòng)(x+T\inD\)且\(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為\(f(x)\)的一個(gè)周期。最小的正周期稱為最小正周期（如\(\sinx\)的最小正周期為\(2\pi\)）。2.常見周期遞推式：若\(f(x+T)=-f(x)\)，則周期為\(2T\)（如\(f(x+2)=-f(x)\)，周期為4）；若\(f(x+T)=\frac{1}{f(x)}\)，則周期為\(2T\)（如\(f(x+1)=\frac{1}{f(x)}\)，周期為2）；若\(f(x+T)=f(x-T)\)，則周期為\(2T\)（如\(f(x+3)=f(x-3)\)，周期為6）。3.性質(zhì)：周期函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為周期函數(shù)，周期為各周期的公倍數(shù)；若\(f(x)\)周期為\(T\)，則\(f(kx+b)\)（\(k\neq0\)）的周期為\(\frac{T}{|k|}\)（如\(\sin2x\)的周期為\(\pi\)）?；A(chǔ)習(xí)題1.已知\(f(x+2)=-f(x)\)對所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)成立，求\(f(x)\)的最小正周期。2.已知\(f(x)\)周期為3，且\(f(1)=2\)，求\(f(7)\)的值。提升習(xí)題3.已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的周期函數(shù)，周期為4，且\(f(x)=x^2+1\)當(dāng)\(x\in[0,2]\)時(shí)，求\(f(5)\)的值。4.若\(f(x+1)=\frac{1}{f(x)}\)，且\(f(0)=2\)，求\(f(2023)\)的值。解析1.解：由\(f(x+2)=-f(x)\)，得\(f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)\)，故最小正周期為4。點(diǎn)評：通過遞推式\(f(x+T)=-f(x)\)可推出周期為\(2T\)。2.解：\(f(7)=f(3\times2+1)=f(1)=2\)（周期為3，故\(f(x+3k)=f(x)\)，\(k\in\mathbb{Z}\)）。點(diǎn)評：利用周期性可將自變量化簡到已知區(qū)間，從而求值。3.解：\(f(5)=f(4+1)=f(1)\)（周期為4）。因?yàn)閈(1\in[0,2]\)，所以\(f(1)=1^2+1=2\)，故\(f(5)=2\)。點(diǎn)評：周期函數(shù)在每個(gè)周期內(nèi)的圖像重復(fù)，因此只需計(jì)算已知區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值。4.解：由\(f(x+1)=\frac{1}{f(x)}\)，得\(f(x+2)=f((x+1)+1)=\frac{1}{f(x+1)}=f(x)\)，故周期為2。\(2023=2\times1011+1\)，所以\(f(2023)=f(1)=\frac{1}{f(0)}=\frac{1}{2}\)。點(diǎn)評：先通過遞推式求周期，再將自變量化簡到已知區(qū)間。四、綜合應(yīng)用：性質(zhì)的組合與拓展習(xí)題1.已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，解不等式\(f(x-1)+f(2x)<0\)。2.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，周期為2，且\(f(x)=x\)當(dāng)\(x\in[0,1]\)時(shí)，求\(f(3.5)\)的值。3.若\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)（\(a,b,c\)為常數(shù)），且\(f(x)\)是奇函數(shù)，求\(a,c\)的值。解析1.解：利用奇函數(shù)性質(zhì)，不等式變形為\(f(x-1)<-f(2x)=f(-2x)\)。因?yàn)閈(f(x)\)是奇函數(shù)且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，所以\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增（奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性一致）。因此\(x-1<-2x\)，解得\(x<\frac{1}{3}\)。點(diǎn)評：綜合利用奇偶性（轉(zhuǎn)化不等式）和單調(diào)性（去掉函數(shù)符號）是解決此類問題的關(guān)鍵。2.解：\(f(3.5)=f(2\times1+1.5)=f(1.5)\)（周期為2）；\(f(1.5)=f(-0.5)\)（偶函數(shù)，\(f(x)=f(-x)\)）；\(f(-0.5)=f(0.5)\)（周期為2，\(f(-0.5+2)=f(1.5)\)？不，直接用偶函數(shù)性質(zhì)：\(f(1.5)=f(-1.5)\)，但\(-1.5\notin[0,1]\)，應(yīng)調(diào)整為\(f(1.5)=f(1.5-2)=f(-0.5)=f(0.5)\)（周期為2，故\(f(x)=f(x-