高中數(shù)學(xué)綜合測試卷（理科/文科通用）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）A.\((1,2)\)B.\([2,+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)解析：解二次不等式\(x^2-3x+2<0\)，得\(1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。答案：B2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=\)（）A.\(-i\)B.\(i\)C.\(1-i\)D.\(1+i\)解析：化簡\(z=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{2}=\frac{2i}{2}=i\)，故\(\overline{z}=-i\)。答案：A3.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域是（）A.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)解析：根號內(nèi)非負(fù)：\(x-1\geq0\Rightarrowx\geq1\)；分母不為零：\(x-2\neq0\Rightarrowx\neq2\)。故定義域?yàn)閈([1,2)\cup(2,+\infty)\)。答案：A4.將函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位，得到的函數(shù)解析式是（）A.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)B.\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)C.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)D.\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)解析：圖像向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個(gè)單位，自變量\(x\)替換為\(x+\frac{\pi}{6}\)，故\(y=\sin2(x+\frac{\pi}{6})=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。答案：B5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，則通項(xiàng)公式\(a_n=\)（）A.\(2n-1\)B.\(n+1\)C.\(3n-2\)D.\(4n-3\)解析：設(shè)公差為\(d\)，則\(a_3=1+2d\)，\(a_5=1+4d\)，故\((1+2d)+(1+4d)=14\Rightarrow6d=12\Rightarrowd=2\)。通項(xiàng)公式\(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1\)。答案：A6.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）（正視圖：矩形；側(cè)視圖：三角形；俯視圖：矩形）A.\(6\,\text{cm}^3\)B.\(8\,\text{cm}^3\)C.\(12\,\text{cm}^3\)D.\(24\,\text{cm}^3\)解析：三視圖還原為直三棱柱，底面為直角三角形（側(cè)視圖），兩直角邊分別為2cm、3cm，高為2cm（正視圖/俯視圖的邊長）。體積\(V=\text{底面積}\times\text{高}=\frac{1}{2}\times2\times3\times2=6\,\text{cm}^3\)。答案：A7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\frac{a}=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)解析：離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)。由\(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)，得\(\frac{a}=\frac{1}{2}\)。答案：A8.從1到5的五個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)解析：總組合數(shù)\(\text{C}_5^2=10\)。和為偶數(shù)的情況：兩奇數(shù)或兩偶數(shù)。1-5中有3奇2偶，故組合數(shù)為\(\text{C}_3^2+\text{C}_2^2=3+1=4\)。概率\(P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)。答案：B9.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)B.\((0,2)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((2,+\infty)\)解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f'(x)>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)。答案：A10.已知向量\(\mathbf{a}\)，\(\mathbf\)滿足\(|\mathbf{a}|=2\)，\(|\mathbf|=3\)，\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf\)的夾角為\(60^\circ\)，則\(|\mathbf{a}+2\mathbf|=\)（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{21}\)C.\(\sqrt{37}\)D.\(\sqrt{49}\)解析：模長公式：\(|\mathbf{a}+2\mathbf|^2=|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf+4|\mathbf|^2\)。計(jì)算數(shù)量積：\(\mathbf{a}\cdot\mathbf=|\mathbf{a}||\mathbf|\cos60^\circ=2\times3\times\frac{1}{2}=3\)。代入得\(|\mathbf{a}+2\mathbf|^2=4+4\times3+4\times9=4+12+36=52\)？不對，等一下，4×9是36，4+12+36=52？不，等一下，\(4|\mathbf|^2=4×9=36\)，\(4\mathbf{a}\cdot\mathbf=4×3=12\)，\(|\mathbf{a}|^2=4\)，總和是4+12+36=52？但選項(xiàng)中沒有√52，哦，我算錯(cuò)了，應(yīng)該是\(|\mathbf{a}+2\mathbf|^2=|\mathbf{a}|^2+2×\mathbf{a}·(2\mathbf)+|2\mathbf|^2=|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}·\mathbf+4|\mathbf|^2\)，對，那52=4×13，√52=2√13，但選項(xiàng)中沒有，哦，可能我選的數(shù)值不對，換一下，比如|a|=1，|b|=2，夾角60°，則|a+2b|2=1+4×1×2×cos60°+4×4=1+4+16=21，√21，這樣選項(xiàng)B就是√21，對，剛才的數(shù)值錯(cuò)了，應(yīng)該調(diào)整題目中的數(shù)值，比如|a|=1，|b|=2，夾角60°，這樣結(jié)果就是√21，選項(xiàng)B。好的，修正題目：10.已知向量\(\mathbf{a}\)，\(\mathbf\)滿足\(|\mathbf{a}|=1\)，\(|\mathbf|=2\)，\(\mathbf{a}\)與\(\mathbf\)的夾角為\(60^\circ\)，則\(|\mathbf{a}+2\mathbf|=\)（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{21}\)C.\(\sqrt{37}\)D.\(\sqrt{49}\)解析：\(|\mathbf{a}+2\mathbf|^2=|\mathbf{a}|^2+4\mathbf{a}·\mathbf+4|\mathbf|^2=1+4×1×2×\cos60°+4×4=1+4+16=21\)，故\(|\mathbf{a}+2\mathbf|=\sqrt{21}\)。答案：B11.若\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\x+y\leq3\end{cases}\)，則目標(biāo)函數(shù)\(z=2x+y\)的最大值是（）A.0B.3C.6D.9解析：畫出可行域（第一象限內(nèi)由x軸、y軸、直線x+y=3圍成的三角形），頂點(diǎn)為(0,0)、(3,0)、(0,3)。代入目標(biāo)函數(shù)：(0,0)：z=0；(3,0)：z=6；(0,3)：z=3。故最大值為6。答案：C12.若函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)對所有\(zhòng)(x\geq0\)成立\(f(x)\geq0\)，則實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍是（）A.\((-\infty,1]\)B.\([1,+\infty)\)C.\((-\infty,e]\)D.\([e,+\infty)\)解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=e^x-a\)，\(f''(x)=e^x>0\)（\(x\geq0\)），故\(f'(x)\)在\([0,+\infty)\)單調(diào)遞增。當(dāng)\(a\leq1\)時(shí)，\(f'(x)\geqf'(0)=1-a\geq0\)，\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)單調(diào)遞增，故\(f(x)\geqf(0)=0\)，成立；當(dāng)\(a>1\)時(shí)，存在\(x_0=\lna>0\)，使得\(f'(x_0)=0\)。當(dāng)\(0<x<x_0\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減，故\(f(x_0)<f(0)=0\)，不成立。綜上，\(a\leq1\)。答案：A二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2n^2-3n\)，則\(a_5=\)________。解析：\(a_5=S_5-S_4=(2×25-3×5)-(2×16-3×4)=(50-15)-(32-12)=35-20=15\)。答案：1514.正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，異面直線\(AB_1\)與\(CD_1\)所成的角為________度。解析：連接\(A_1B\)，則\(A_1B\parallelCD_1\)（正方體中對棱平行），故\(AB_1\)與\(A_1B\)的夾角即為所求。\(AB_1=A_1B=AA_1\sqrt{2}\)，\(A_1B_1=AA_1\)，故\(\triangleAB_1A_1\)為等腰直角三角形，夾角為\(45^\circ\)。答案：4515.拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________。解析：拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式為\(y^2=2px\)，故\(2p=4\Rightarrowp=2\)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)=(1,0)\)。答案：(1,0)16.函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x-1}\)（\(x>1\)）的最小值是________。解析：令\(t=x-1\)（\(t>0\)），則\(f(x)=(t+1)+\frac{1}{t}=t+\frac{1}{t}+1\)。由均值不等式\(t+\frac{1}{t}\geq2\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(t=1\)即\(x=2\)時(shí)取等號），故最小值為\(2+1=3\)。答案：3三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知\(\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{5}\)，\(\theta\in(0,\pi)\)，求\(\tan\theta\)的值。解析：步驟1：平方得\((\sin\theta+\cos\theta)^2=\frac{1}{25}\Rightarrow1+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{25}\Rightarrow\sin2\theta=-\frac{24}{25}\)。步驟2：計(jì)算\(\sin\theta-\cos\theta\)，由\(\theta\in(0,\pi)\)且\(\sin2\theta<0\)，知\(\theta\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，故\(\sin\theta>0\)，\(\cos\theta<0\)，\(\sin\theta-\cos\theta>0\)。\((\sin\theta-\cos\theta)^2=1-2\sin\theta\cos\theta=1-(-\frac{24}{25})=\frac{49}{25}\Rightarrow\sin\theta-\cos\theta=\frac{7}{5}\)。步驟3：解方程組\(\begin{cases}\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{5}\\\sin\theta-\cos\theta=\frac{7}{5}\end{cases}\)，得\(\sin\theta=\frac{4}{5}\)，\(\cos\theta=-\frac{3}{5}\)。步驟4：\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\frac{4}{3}\)。答案：\(-\frac{4}{3}\)18.（本小題滿分12分）等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=3\)，\(a_5=9\)。（1）求通項(xiàng)公式\(a_n\)；（2）求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最大值。解析：（1）設(shè)公差為\(d\)，則\(\begin{cases}a_1+d=3\\a_1+4d=9\end{cases}\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，故\(a_n=1+(n-1)×2=2n-1\)。（2）\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=n^2\)，這是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)，開口向上，無最大值？不對，哦，應(yīng)該是等差數(shù)列遞減的情況，比如把題目改為\(a_2=9\)，\(a_5=3\)，這樣公差\(d=-2\)，\(a_1=11\)，\(a_n=11-2(n-1)=13-2n\)，當(dāng)\(a_n\geq0\)時(shí)，\(13-2n\geq0\Rightarrown\leq6.5\)，故\(n=6\)時(shí)\(S_n\)最大，\(S_6=6×11+\frac{6×5}{2}×(-2)=66-30=36\)。好的，修正題目：18.（本小題滿分12分）等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=9\)，\(a_5=3\)。（1）求通項(xiàng)公式\(a_n\)；（2）求前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最大值。解析：（1）設(shè)公差為\(d\)，則\(\begin{cases}a_1+d=9\\a_1+4d=3\end{cases}\)，解得\(a_1=11\)，\(d=-2\)，故\(a_n=11-2(n-1)=13-2n\)。（2）\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(11+13-2n)}{2}=\frac{n(24-2n)}{2}=n(12-n)=-n^2+12n\)。這是開口向下的二次函數(shù)，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)\(n=-\frac{2a}=6\)，故\(S_6=6×(12-6)=36\)，即最大值為36。答案：（1）\(a_n=13-2n\)；（2）3619.（本小題滿分12分）如圖，三棱錐\(P-ABC\)中，底面\(ABC\)是等邊三角形，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(PA=AB=2\)。（1）求直線\(PB\)與底面\(ABC\)所成的角；（2）求三棱錐\(P-ABC\)的體積。解析：（1）\(PA\perp\)底面\(ABC\)，故\(PB\)在底面的投影為\(AB\)，直線\(PB\)與底面所成的角為\(\anglePBA\)。在\(\text{Rt}\trianglePAB\)中，\(PA=AB=2\)，故\(\tan\anglePBA=\frac{PA}{AB}=1\)，\(\anglePBA=45^\circ\)。（2）底面\(ABC\)的面積\(S=\frac{\sqrt{3}}{4}×AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×4=\sqrt{3}\)，高\(yùn)(PA=2\)，故體積\(V=\frac{1}{3}×S×PA=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。答案：（1）\(45^\circ\)；（2）\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)20.（本小題滿分12分）已知圓\(C:x^2+y^2=4\)，直線\(l:y=kx+1\)。（1）求直線\(l\)與圓\(C\)相交的弦長；（2）若弦長為\(2\sqrt{3}\)，求\(k\)的值。解析：（1）圓心\(C(0,0)\)到直線\(l\)的距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。弦長\(L=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{4-\frac{1}{k^2+1}}=2\sqrt{\frac{4(k^2+1)-1}{k^2+1}}=2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}\)。（2）由\(L=2\sqrt{3}\)，得\(2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}=2\sqrt{3}\)，兩邊平方得\(\frac{4k^2+3}{k^2+1}=3\)，解得\(4k^2+3=3k^2+3\Rightarrowk^2=0\Rightarrowk=0\)。答案：（1）\(2\sqrt{\frac{4k^2+3}{k^2+1}}\)；（2）021.（本小題滿分12分）某班有5名男生、3名女生，從中任選2人參加校園志愿者活動(dòng)。設(shè)\(X\)為選出的女生人數(shù)，求：（1）\(X\)的分布列；（2）\(X\)的數(shù)學(xué)期望\(E(X)\)。解析：（1）\(X\)的可能取值為0,1,2。\(P(X=0)=\frac{\text{C}_5^2}{\text{C}_8^2}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}\)；\(P(X=1)=\frac{\text{C}_5^1\text{C}_3^1}{\text{C}_8^2}=\frac{15}{28}\)；\(P(X=2)=\frac{\text{C}_3^2}{\text{C}_8^2}=\frac{3}{28}\)。分布列為：\(X\)012\(P\)\(\frac{5}{14}\)\(\frac{15}{28}\)\(\frac{3}{28}\)（2）\(E(X)=0×\frac{5}{14}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{28}=\frac{15+6}{28}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}\)。答案：（1）見分布列；（2）\(\frac{3}{4}\)22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=\lnx+ax^2-(2a+1)x\)（\(a>0\)）。（1）求\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）若\(f(x)\geq0\)對所有\(zhòng)(x>0\)成立，求\(a\)的取值范圍。解析：（1）求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{1}{x}+2ax-(2a+1)=\frac{2ax