課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(十二)直線與平面的夾角1．已知直線l的一個(gè)方向向量為a＝(1,1,0)，平面α的一個(gè)法向量為μ＝(1,2，－2)，則直線l與平面α夾角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),2) B．－eq\f(\r(2),2)C．±eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)2．已知長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為4的正方形，長方體的高為AA1＝3，則BC1與對(duì)角面BB1D1D夾角的正弦值等于()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2\r(2),5) D.eq\f(3\r(2),5)3.如圖所示，點(diǎn)P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，若PA，PB，PC與平面α的夾角均相等，則點(diǎn)P在平面α上的投影P′是△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心4．(大綱全國卷)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1的夾角的正弦值等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)5．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值是________．6.如圖所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1DC夾角的正弦值為________________．求直線AD和平面ABC1夾角的正弦值．8.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．(1)求證：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直線AA1與平面AB1C夾角的正弦值為eq\f(6,7)，求k的值．答案1．選Acos〈a，μ〉＝eq\f(a·μ,|a||μ|)＝eq\f(3,\r(2)·3)＝eq\f(\r(2),2)，則直線l與平面α的夾角θ的正弦值sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2).2．選C建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵底面是邊長為4的正方形，AA1＝3，∴A1(4,0,0)，B(4,4,3)，C1(0,4,0)．3．選B由于PA，PB，PC與平面α的夾角均相等，所以這三條由點(diǎn)P出發(fā)的平面ABC的斜線段相等，故它們?cè)谄矫鍭BC內(nèi)的投影P′A，P′B，P′C也都相等，故點(diǎn)P′是△ABC的外心．4．選A法一：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，由正四棱柱的性質(zhì)，有AC⊥BD.因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD.又CC1∩AC＝C，所以BD⊥平面CC1O.在平面CC1O內(nèi)作CH⊥C1O，垂足為H，則BD⊥CH.又BD∩C1O＝O，所以CH⊥平面BDC1，連接DH，則DH為CD在平面BDC1上的射影，所以∠CDH為CD與平面BDC1所成的角．設(shè)AA1＝2AB＝2.在Rt△COC1中，由等面積變換易求得CH＝eq\f(2,3).在Rt△CDH中，sin∠CDH＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3).令y＝－2，得平面BDC1的一個(gè)法向量為n＝(2，－2,1)．設(shè)CD與平面BDC1的夾角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·,|n|||)))＝eq\f(2,3).所以BC1與平面A1BD夾角的正弦值為eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)6．解析：不妨設(shè)正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(eq\r(3)，－1,0)，B1(eq\r(3)，1,2)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，則＝(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2)，2)，＝(eq\r(3)，1,2)，設(shè)平面B1DC的法向量為n＝(x，y,1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))解得n＝(－eq\r(3)，1,1)．又∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，－2))，∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝eq\f(4,5).7.解：如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AA1＝eq\r(2)，則AB＝2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0，－1,0)，B(eq\r(3)，0,0)，C1(0,1，eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，\r(2))).設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，解得x＝－eq\f(\r(3),3)y，z＝－eq\r(2)y.故可取n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(6))．所以cos〈n，〉＝eq\f(n·,|n|||)＝eq\f(2\r(3),\r(10)×\r(3))＝eq\f(\r(10),5).即直線AD和平面ABC1夾角的正弦值為eq\f(\r(10),5).8．解：(1)證明：取CD的中點(diǎn)E，連接BE，如圖．∵AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，∵BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.設(shè)平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，取y＝2，得n＝(3,2，－6k