1.1.1角的概念的推廣學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解角的概念.2.掌握正角、負(fù)角和零角的概念，理解任意角的意義.3.熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角.知識點一角的相關(guān)概念思考我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過角的概念，角可以看作從同一點出發(fā)的兩條射線組成的平面圖形.這種定義限制了角的范圍，也不能表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量.那么，從“旋轉(zhuǎn)”的角度，對角如何重新定義？正角、負(fù)角、零角是怎樣規(guī)定的？梳理(1)角的概念：角可以看成是________繞著它的________從一個位置________到另一個位置所成的圖形.(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：類型定義圖示正角按照______________而成的角負(fù)角按照______________而成的角零角當(dāng)射線________，稱它形成了一個零角(3)角的運算：各角和的旋轉(zhuǎn)量等于________________.知識點二終邊相同的角思考1假設(shè)60°的終邊是OB，那么－660°，420°的終邊與60°的終邊有什么關(guān)系，它們與60°分別相差多少？思考2如何表示與60°終邊相同的角？梳理終邊相同角的表示設(shè)α表示任意角，所有與α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一個元素都與α終邊相同，當(dāng)k＝0時，對應(yīng)元素為α.知識點三象限角思考把角的頂點放在平面直角坐標(biāo)系的原點，角的始邊與x軸的正半軸重合，旋轉(zhuǎn)該角，則其終邊(除端點外)可能落在什么位置？梳理在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合.象限角：角的________在第幾象限，就把這個角叫做第幾象限角.軸線角：終邊落在____________的角.類型一任意角概念的理解例1(1)給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③第二象限角是鈍角；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中正確說法的序號為________.(2)將時鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________.反思與感悟解決此類問題要正確理解銳角、鈍角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推廣后，確定角的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小.跟蹤訓(xùn)練1寫出下列說法所表示的角.(1)順時針擰螺絲2圈；(2)將時鐘撥慢2小時30分，分針轉(zhuǎn)過的角.類型二終邊相同的角命題角度1求與已知角終邊相同的角例2在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.反思與感悟求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值.跟蹤訓(xùn)練2寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來.命題角度2求終邊在給定直線上的角的集合例3寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合.反思與感悟求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并.跟蹤訓(xùn)練3寫出終邊在直線y＝eq\f(\r(3),3)x上的角的集合.類型三象限角的判定例4在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.引申探究確定eq\f(α,n)(n∈N＋)的終邊所在的象限.反思與感悟判斷象限角的步驟(1)當(dāng)0°≤α<360°時，直接寫出結(jié)果.(2)當(dāng)α<0°或α≥360°時，將α化為k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，轉(zhuǎn)化為判斷角β所屬的象限.跟蹤訓(xùn)練4下列各角分別是第幾象限角？請寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來.(1)60°；(2)－21°.1.下列說法正確的是()A.終邊相同的角一定相等B.鈍角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是負(fù)角D.小于90°的角都是銳角2.與－457°角終邊相同的角的集合是()A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3.2017°是第________象限角.4.與－1692°終邊相同的最大負(fù)角是________.5.寫出終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合S.1.對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應(yīng)用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”.2.關(guān)于終邊相同的角的認(rèn)識一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.注意：(1)α為任意角.(2)k·360°與α之間是“＋”號，k·360°－α可理解為k·360°＋(－α).(3)相等的角終邊一定相同.終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍.(4)k∈Z這一條件不能少.

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考一條射線OA繞著端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置所形成的圖形叫做角，射線OA叫角的始邊，OB叫角的終邊，O叫角的頂點．按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角．梳理(1)一條射線端點旋轉(zhuǎn)(2)逆時針方向旋轉(zhuǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)沒有旋轉(zhuǎn)(3)各角旋轉(zhuǎn)量的和知識點二思考1它們的終邊相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它們與60°分別相差了－2個周角及1個周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．知識點三思考終邊可能落在坐標(biāo)軸上或四個象限內(nèi)．梳理終邊坐標(biāo)軸上題型探究例1(1)①(2)－120°跟蹤訓(xùn)練1解(1)順時針擰螺絲2圈，螺絲順時針旋轉(zhuǎn)了2周，因此所表示的角為－720°.(2)撥慢時鐘需將分針按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，因此將時鐘撥慢2小時30分，分針轉(zhuǎn)過的角為900°.例2解與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.跟蹤訓(xùn)練2解由終邊相同的角的表示知，與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.當(dāng)k＝4時，β＝4×360°－1910°＝－470°；當(dāng)k＝5時，β＝5×360°－1910°＝－110°；當(dāng)k＝6時，β＝6×360°－1910°＝250°.例3解終邊在y＝－eq\r(3)x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝－eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟蹤訓(xùn)練3解終邊在y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；終邊在y＝eq\f(\r(3),3)x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，終邊在直線y＝eq\f(\r(3),3)x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故終邊在直線y＝eq\f(\r(3),3)x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．例4解(1)因為－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－150°角終邊相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因為650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與650°角終邊相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因為－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°15′角終邊相同的角是129°45′角，它是第二象限角．引申探究解一般地，要確定eq\f(α,n)所在的象限，可以作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域，從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次標(biāo)上1,2,3,4，…，4n，標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)α所在第幾象限時，eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域，如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀的看出．跟蹤訓(xùn)練4解(1)60°角是第一象限角，所有與60°角終邊相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有與－21°角終邊相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋