第3章實數(shù)3.4實數(shù)的運算模塊導引：模塊導引：學習目標知識精講思維導圖考點解析課后作業(yè)掌握實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方等基本運算規(guī)則，能準確進行運算。掌握實數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方等基本運算規(guī)則，能準確進行運算。?理解實數(shù)運算中的運算律，會運用運算律簡化運算過程。?學會在實數(shù)范圍內(nèi)解決簡單的實際運算問題，提升應用能力。一：無理數(shù)1.無理數(shù)：無線不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).無理數(shù)都是無限小數(shù)，但無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，只有無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).2.常見的無理數(shù)三種形式3.任何一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式（整數(shù)可以看成分母是1的分數(shù)），無理數(shù)不能寫成分數(shù)的形式.4.任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)（把整數(shù)看成小數(shù)點后是0的小數(shù)）或無限循環(huán)小數(shù)的形式，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).二：實數(shù)及分類1.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).2.實數(shù)的分類（1）按定義分類：（2）按性質(zhì)分類：注意：0既不是正實數(shù)，也不是負實數(shù).三：實數(shù)與數(shù)軸上點的關系…有理數(shù)集合…有理數(shù)集合…無理數(shù)集合2.畫表示無理數(shù)的點：要想在數(shù)軸上畫出表示無理數(shù)的點，需先得到長度為無理數(shù)的絕對值的線段，一般地，依據(jù)勾股定理，通過構造直角三角形來得到長度為無理數(shù)的絕對值的線段，以原點為圓心，以上述線段長為半徑畫弧，弧與數(shù)軸的交點，便是表示無理數(shù)的點.正無理數(shù)以原點為圓心，向數(shù)軸正方向畫弧，負無理數(shù)以原點為圓心，向數(shù)軸負方向畫弧.四：實數(shù)的有關概念在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)的意義完全一樣.五：比較實數(shù)的大小有理數(shù)的大小比較方法在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.1.在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.2.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.3.比較兩個實數(shù)大小的常用方法：（1）比較被開方數(shù)：如果兩個數(shù)的根指數(shù)相同，我們可以通過比較被開方數(shù)的大小來比較兩個實數(shù)的大?。唬?）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)，結合圖形比較，這個方法適用于多個實數(shù)比較大??；（3）法則比較法：根據(jù)“正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小”進行比較；考點一：無理數(shù)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了無理數(shù)的概念，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，根據(jù)這個概念逐一判斷即可．【詳解】解：其中是無理數(shù)的有，，共兩個．故選：A．2．下列實數(shù)中，不是無理數(shù)的是（

）【答案】D【分析】本題考查了無理數(shù)，求算術平方根．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，據(jù)此判斷即可求解，掌握無理數(shù)的定義是解題的關鍵．根據(jù)無理數(shù)的定義，判斷各選項是否為有理數(shù)即可?！驹斀狻拷猓篈、是無理數(shù)，該選項不合題意；B、是無理數(shù)，該選項不合題意；C、是無理數(shù)，該選項不合題意；故選：D．3．下列實數(shù)中，無理數(shù)是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】解：A、2是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；B、，其中是圓周率，為無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，除以3后仍為無限不循環(huán)小數(shù)，因此是無理數(shù)，故符合題意；C、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；D、是有限小數(shù)，可化為分數(shù)，屬于有理數(shù)，故不符合題意；故選：B．4．在下列各數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是無理數(shù)定義，根據(jù)無理數(shù)的定義，即無限不循環(huán)小數(shù)，對各選項逐一判斷即可．【詳解】解：A、0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；B、是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項不符合題意；C、是無限不循環(huán)小數(shù)，不能表示為分數(shù)，屬于無理數(shù)，故本選項符合題意；故選：C．考點二：無理數(shù)的大小估算5．實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應．如圖，A，B，C，D是數(shù)軸上的四個點，這四個點中最適合表示的是（

）．A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，數(shù)軸表示數(shù)，掌握算術平方根的定義以及數(shù)軸表示數(shù)的方法是正確解答的關鍵，根據(jù)算術平方根的定義估算無理數(shù)的大小，再由點A、B、C、D在數(shù)軸上的位置進行判斷即可．由點A、B、C、D在數(shù)軸上的位置可知，點C最適合表示，故選：C．6．如圖，把兩個邊長為4的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，得到一個大正方形，則大正方形的邊長在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【分析】本題考查求一個數(shù)的算術平方根以及估算無理數(shù)的大小，正方形的性質(zhì)等，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．判斷出大正方形的面積可得結論．∴大正方形的邊長在5和6之間．故選：C．7．下列實數(shù)中，最大的數(shù)是（）【答案】B【分析】本題考查實數(shù)的大小比較，熟知負數(shù)小于0，正數(shù)大于0，正數(shù)大于負數(shù)是解答的關鍵．比較各選項對應數(shù)值的大小，先排除負數(shù)和0，再估算平方根的值進行比較?！嗍亲畲蟮臄?shù)，故選：B．8．關于的敘述錯誤的是（

）A．面積為13的正方形的邊長是 B．在數(shù)軸上可以找到表示的點【答案】D【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，算術平方根的應用，無理數(shù)的估算，實數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)相關知識點，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、面積為13的正方形的邊長是，正確，不符合題意；B、在數(shù)軸上可以找到表示的點，正確，不符合題意；∴的整數(shù)部分是3，故選：D．考點三.無理數(shù)整數(shù)部分的有關計算【答案】A故選：A．10．若整數(shù)是80的算術平方根的整數(shù)部分，則（）A．9 B．8 C．6 D．2【答案】B【分析】本題考查了求無理數(shù)的整數(shù)部分．找到兩個相鄰的整數(shù)，使其平方分別小于和大于80即可∴的整數(shù)部分為8．因此，整數(shù)m的值為8，故選：B．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的大小估算，熟練掌握無理數(shù)的估算是解題的關鍵．故選：C．【答案】A故選：A．考點四.實數(shù)概念理解13．在下列實數(shù)中，是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D由無理數(shù)的定義可得，四個數(shù)中，只有是無理數(shù)，故選；D．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，算術平方根，根據(jù)無理數(shù)的定義（無限不循環(huán)小數(shù)），逐一判斷各數(shù)是否為無理數(shù)．【詳解】解：是分數(shù)，屬于有理數(shù)；是整數(shù)，屬于有理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；綜上，無理數(shù)有2個，故選：B．15．下列實數(shù)是負數(shù)的是（

）A．7 B．1.9 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了負數(shù)的意義，利用負數(shù)的意義即比0小的數(shù)為負數(shù)解答即可．【詳解】解：A、7是正數(shù)，不符合題意；B、1.9是正數(shù)，不符合題意；C、是負數(shù)，符合題意；D、是正數(shù)，不符合題意．故選：C．16．下列各數(shù)中，負數(shù)是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查的是實數(shù)，根據(jù)實數(shù)的分類解答即可．【詳解】解：2，是正數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負數(shù)；是負數(shù)．故選：B．考點五.實數(shù)的分類17．下列四個數(shù)中，屬于有理數(shù)的是（

）A． B．C．3.1010010001…（相鄰1之間依次多一個0） D．【答案】B【分析】本題考查無理數(shù)和有理數(shù)，掌握其定義是解決此題的關鍵．根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，進行判斷即可．【詳解】A：是圓周率，屬于無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，故本選項不符合題意；B：是分數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項符合題意；C：3.1010010001…（相鄰1之間依次多一個0），屬于無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，故本選項不符合題意；D：無法化簡為整數(shù)或分數(shù)，屬于無理數(shù)，故本選項不符合題意；故選：B．【答案】A【分析】本題考查了無理數(shù)的概念，掌握無理數(shù)的概念是解題的關鍵．根據(jù)無理數(shù)的定義，即無限不循環(huán)小數(shù)，逐一判斷各選項是否為無理數(shù)即可．【詳解】1.選項A：，是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，負數(shù)不改變其性質(zhì)，故是無理數(shù)；2.選項B：，3.選項C：，4.選項D：3.，該數(shù)為有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；綜上，只有選項A是無理數(shù)；故選：A．19．下列實數(shù)中屬于有理數(shù)的是（）A． B．2.3 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的定義，根據(jù)有理數(shù)的定義，能表示為兩個整數(shù)之比的數(shù)（包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）即為有理數(shù)．對各選項逐一判斷即可．【詳解】解：A．：是無理數(shù)，除以2后仍為無理數(shù)，故A錯誤．B．2.3：是有限小數(shù)，可化為分數(shù)，屬于有理數(shù)，故B正確．C．：5不是立方數(shù)，無法表示為整數(shù)之比，屬于無理數(shù)，故C錯誤．D．：是無理數(shù)，其負數(shù)仍為無理數(shù)，故D錯誤．故選B．20．實數(shù)可分為（

）A．正數(shù)和負數(shù) B．整數(shù)和分數(shù) C．分數(shù)和小數(shù) D．有理數(shù)和無理數(shù)【答案】D【分析】本題考查了實數(shù)的分類，實數(shù)可分為正實數(shù)和負實數(shù)以及0或?qū)崝?shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)．熟練掌握實數(shù)的分類是解題的關鍵．根據(jù)實數(shù)的定義和分類進行判斷．【詳解】解：實數(shù)可分為：有理數(shù)和無理數(shù)，A、B、C均不嚴謹，不符合題意，D正確，符合題意，故選：D．考點六.實數(shù)的性質(zhì)21．的相反數(shù)是（

）【答案】B【分析】本題考查實數(shù)，相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)求解即可．故選：B．22．的相反數(shù)是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，因此，求的相反數(shù)只需改變其符號即可．故選：C．23．下列各數(shù)中，與實數(shù)6互為倒數(shù)的是（

）A． B．6 C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的倒數(shù)，乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此求解即可．∴實數(shù)6的倒數(shù)為，故選；A．24．下列說法正確的是（

）A．實數(shù)分為正實數(shù)和負實數(shù) B．兩個無理數(shù)的和還是無理數(shù)C．是最大的負數(shù) D．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)【答案】D【分析】本題考查實數(shù)的分類以及性質(zhì)，根據(jù)實數(shù)的分類以及性質(zhì)，逐一分析判斷即可．【詳解】解：A．實數(shù)分為正實數(shù)、負實數(shù)和零．所以原分類錯誤，故此選項不符合題意．D．根據(jù)實數(shù)定義，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，正確，故此選項符合題意．故選：D．考點七.實數(shù)與數(shù)軸結合25．直徑為1個單位長度的圓，從原點開始，將這個圓沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點O到達點，則點對應的數(shù)是（

）A．3 B．3.14 C． D．3.2【答案】C【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，計算求出圓的周長，結合數(shù)軸即可得解，采用數(shù)形結合的思想是解此題的關鍵．故點對應的數(shù)是，故選：C．【答案】D∵點表示的數(shù)為，故選：．【答案】D結合選項可知，只有選項D正確．故選：D．28．如圖，數(shù)軸上的點表示的無理數(shù)可能是（

）【答案】A故選：A．考點八.實數(shù)的大小比較29．下列各數(shù)中，比小的數(shù)是（

）【答案】C【分析】本題考查了實數(shù)的比較大小，解題關鍵是熟練掌握0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。容^各選項與的大小關系，利用負數(shù)絕對值越大數(shù)值越小的性質(zhì)判斷．故A不符合．B不符合．C符合．故D不符合．故選：C．30．下列實數(shù)比小的是（

）【答案】D【分析】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟練掌握實數(shù)的大小比較方法是解題的關鍵．故選：D．【答案】B【分析】本題考查了實數(shù)的運算，分別計算各選項的值，再比較大小即可．故選∶B．32．下列數(shù)字中，最大的數(shù)是（

）【答案】B【分析】本題考查了比較實數(shù)的大小，比較各選項的數(shù)值大小，確定最大值即可．∴最大的數(shù)為．故選：B．考點九.實數(shù)的混合運算【答案】B【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)題意求出的長，進而得到的長以及的長，即可確定點C對應的實數(shù)．點到點的距離與點到點的距離相等，故選：B．34．下列計算正確的是（

）【答案】B【分析】本題考查平方根、立方根的概念及實數(shù)的運算．根據(jù)算術平方根、平方根、立方根以及實數(shù)的加法逐項分析即可．故選B．35．下列各式計算正確的是（

）【答案】D【分析】此題主要考查了實數(shù)的運算,涉及算術平方根，立方根，實數(shù)的性質(zhì)等，熟練掌握各相關知識是解題的關鍵；依據(jù)平方根、立方根、實數(shù)的運算及絕對值的性質(zhì)進行判斷，逐一分析各選項的運算是否正確，進而得出答案．D．|5故選：D．【答案】B故選：B．考點十.實數(shù)運算的實際應用【答案】A【分析】本題考查實數(shù)的運算，根據(jù)實數(shù)的相關運算法則即可求得答案，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．根據(jù)選項代入判斷即可．【詳解】A．與4，無論是相加，相減，相乘，相除，結果都是無理數(shù)，故本選項符合題意；故選：A．38．下列計算正確的是（

）【答案】C【分析】本題考查了算術平方根、乘方、立方根以及實數(shù)運算，掌握相關定義和運算法則是解題關鍵．根據(jù)算術平方根、乘方、立方根以及實數(shù)運算法則逐一判斷即可．D、和不能合并，原計算錯誤，不符合題意；故選：C．A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克【答案】C【分析】根據(jù)實數(shù)的乘法解決此題．該飲料中蛋白質(zhì)的含量不少于克．故選：C．【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算，熟練掌握實數(shù)的乘法是解決本題的關鍵．40．下列等式成立的是（

）【答案】C【分析】根據(jù)求一個數(shù)算術平方根和乘方運算，即可一一判定．故選：C．【點睛】本題考查了一個數(shù)算術平方根和乘方運算法則，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關鍵．一、單選題1．下列四個數(shù)中，最小的數(shù)是（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】此題考查實數(shù)的大小，比較各數(shù)的大小，正數(shù)大于零，零大于負數(shù)，再比較負數(shù)的絕對值，絕對值大的負數(shù)更小即可【詳解】解：0與均為非負數(shù)，一定比負數(shù)大，故選：D2．在實數(shù)、、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【詳解】解：是分數(shù)，是有理數(shù)，是整數(shù)，是有理數(shù)，是開不盡方的數(shù)，是無理數(shù)，是用特殊字母表示的無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，是開不盡方的數(shù)，是無理數(shù)，是有限小數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成分數(shù)，是有理數(shù)，共有個無理數(shù)．故選：C．3．估計的值在（

）A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間【答案】D【分析】本題考查了無理數(shù)的估算：求一個數(shù)的算術平方根與哪個整數(shù)最接近，就要看被開方數(shù)的值在哪兩個相鄰正整數(shù)的平方之間．根據(jù)算術平方根的定義及無理數(shù)的估算計算判斷即可；故選：D．4．下列各數(shù)中，為無理數(shù)的是（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，其中初中階段接觸到的無理數(shù)有三種形式：帶根號且開不盡方的數(shù)，以及含的式子，無限不循環(huán)小數(shù)．無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)和分數(shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此可判斷得解．【詳解】解：A．是分數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意；B．是一個無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)，符合題意；C．是整數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意；D．是有限小數(shù)，是有理數(shù)，不符合題意．故選：B5．如圖，把兩個邊長為4的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼在一起，得到一個大正方形，則大正方形的邊長在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【分析】本題考查求一個數(shù)的算術平方根以及估算無理數(shù)的大小，正方形的性質(zhì)等，解題的關鍵是理解題意，靈活運用