第二十四章圓第8課切線的判定

1．

(1)直線和圓有

?三種位置關(guān)系．

(2)設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)d

?r

時，直線l與⊙O相切．

(3)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的

并且

?于這條半徑

的直線是圓的切線．相交、相切、相離＝外端垂直

類型1

已知直線過半徑外端，證直角

2．

【例1】(人教九上P98練習(xí)T1改編)如圖，AB為⊙O的直徑，AB

＝BC，∠C＝45°.求證：BC是⊙O的切線．

證明：∵AB＝BC，∠C＝45°，∴∠A＝∠C＝45°.∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC.

∵AB為⊙O的直徑，∴OB是⊙O的半徑．∴BC是⊙O的切線．

∴OA2＋AB2＝OB2.∴∠A＝90°，即OA⊥AB.

∵OA為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線．

類型2

已知直線與圓有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直

4．

【例2】如圖，∠A＝25°，∠C＝40°，點(diǎn)A，B在⊙O上，

AC過點(diǎn)O.

求證：BC是⊙O的切線．

證明：如圖，連接OB.

∵∠A＝25°，OA＝OB，∴∠ABO＝25°.∴∠BOC＝50°.

又∠C＝40°，∴∠OBC＝90°.

∴OB⊥BC.

∵OB是半徑，∴BC是⊙O的切線．

5．

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC上(異于點(diǎn)A，C)的一點(diǎn)，⊙O

恰好經(jīng)過點(diǎn)A，B，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AB平分∠CAD.

判斷BC與

⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

解：BC與⊙O相切．

理由如下：如圖，連接OB.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．

∵AB平分∠CAD，∴∠DAB＝∠OAB.

∴∠DAB＝∠OBA．

∴AD∥OB.

∵AD⊥BC，∴OB⊥BC.

∵OB是⊙O的半徑，∴BC與⊙O相切．

類型3

直線與圓無明確的公共點(diǎn)，作垂線，證半徑

6．

【例3】(人教九上P98【例1】改編)如圖，△ABC為等腰三角

形，點(diǎn)O是底邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓

心，OD長為半徑作⊙O.

求證：AC是⊙O的切線．

證明：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA．

∵△ABC為等腰三角形，點(diǎn)O是底邊BC的中點(diǎn)，

∴AO是∠BAC的平分線．

又OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD.

∴OE是⊙O的半徑．∴AC是⊙O的切線．

證明：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C.

∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°．

∵⊙O的半徑為4，∴OC為⊙O的半徑．

又OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線．

1．

(北師九下P93習(xí)題T1改編)如圖，CD是⊙O的直徑，并且AC＝

BC，AD＝BD.

求證：直線AB是⊙O的切線．

證明：∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB.

∵CD是直徑，∴直線AB是⊙O的切線．

2．

(攀枝花中考)如圖，AB為⊙O的直徑，如果圓上的點(diǎn)D恰使

∠ADC＝∠B，求證：直線CD與⊙O相切．

證明：如圖，連接OD.

∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠A＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∴∠ODA＋∠ADC＝90°.∴∠CDO＝90°.∴CD⊥OD.

∵OD是⊙O的半徑，∴直線CD與⊙O相切．

3．

(2024廣東)如圖，在△ABC中，∠C＝90°.

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作∠A的平分線AD交BC于點(diǎn)D；(保

留作圖痕跡，不要求寫作法)

(1)解：如圖，AD即為所作．

(2)應(yīng)用與證明：在(1)的條件下，以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑作

⊙D.

求證：AB與⊙D相切．

(2)證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

∵AD是∠CAB的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DE＝DC.

∵DE是半徑，DE⊥AB，

∴AB