高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)提綱一、函數(shù)的概念與表示核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理1.1函數(shù)的定義與三要素1.1.1函數(shù)的定義設(shè)集合\(A,B\)是非空的實(shí)數(shù)集，若對(duì)\(A\)中的任意一個(gè)數(shù)\(x\)，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系\(f\)，在\(B\)中都有唯一確定的數(shù)\(y\)與之對(duì)應(yīng)，則稱\(f:A\toB\)為從\(A\)到\(B\)的函數(shù)，記作\(y=f(x)\)。定義域：集合\(A\)（\(x\)的取值范圍）；對(duì)應(yīng)法則：\(f\)（確定\(x\toy\)的規(guī)則）；值域：\(\{f(x)\midx\inA\}\)（\(y\)的取值范圍）。1.1.2相等函數(shù)的判斷若兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同，則它們是相等函數(shù)（與值域無(wú)關(guān)，因?yàn)橹涤蛴啥x域和對(duì)應(yīng)法則決定）。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略定義域，如\(f(x)=x\)與\(g(x)=\frac{x^2}{x}\)不是相等函數(shù)（\(g(x)\)定義域?yàn)閈(x\neq0\)）。1.2函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示（如\(y=x^2+1\)）；圖像法：用坐標(biāo)系中的曲線表示（滿足“垂直于\(x\)軸的直線與圖像至多一個(gè)交點(diǎn)”）；列表法：用表格表示（如三角函數(shù)表）。1.3復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)1.3.1復(fù)合函數(shù)若\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則\(y=f(g(x))\)稱為復(fù)合函數(shù)，其中\(zhòng)(g(x)\)是內(nèi)層函數(shù)，\(f(u)\)是外層函數(shù)。定義域求法：內(nèi)層函數(shù)的值域必須包含于外層函數(shù)的定義域，即\(g(x)\in\text{dom}(f)\)。易錯(cuò)點(diǎn)：已知\(f(x)\)定義域?yàn)閈([a,b]\)，求\(f(g(x))\)定義域：解\(g(x)\in[a,b]\)；已知\(f(g(x))\)定義域?yàn)閈([c,d]\)，求\(f(x)\)定義域：求\(g(x)\)在\([c,d]\)上的值域。1.3.2分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上有不同對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)（如\(f(x)=\begin{cases}x,&x\geq0\\-x,&x<0\end{cases}\)）。性質(zhì)：定義域是各段區(qū)間的并集，值域是各段值域的并集；圖像由各段圖像拼接而成（注意端點(diǎn)是否包含，用實(shí)心/空心點(diǎn)表示）。二、函數(shù)的基本性質(zhì)核心素養(yǎng)：邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算2.1單調(diào)性2.1.1定義設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x_1<x_2\inI\)，都有：\(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上遞增；\(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上遞減。2.1.2判定方法定義法：取值→作差→變形（因式分解、通分、配方）→定號(hào)→結(jié)論；圖像法：上升/下降區(qū)間即為遞增/遞減區(qū)間；導(dǎo)數(shù)法（選學(xué)）：若\(f'(x)\geq0\)（\(\leq0\)）且不恒為0，則\(f(x)\)遞增（遞減）。易錯(cuò)點(diǎn)：“任意”二字不可省略，不能用特殊值代替（如\(f(1)<f(2)\)不能說(shuō)明遞增）；單調(diào)區(qū)間不能合并（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)遞減，但不能說(shuō)在\(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)遞減）。2.2奇偶性2.2.1定義偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)（圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）；奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。2.2.2判定步驟1.檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（若否，非奇非偶）；2.計(jì)算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較：\(f(-x)=f(x)\)→偶函數(shù)；\(f(-x)=-f(x)\)→奇函數(shù)；否則→非奇非偶。易錯(cuò)點(diǎn)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是必要條件，如\(f(x)=x^2\)（定義域\(\mathbb{R}\)，偶），\(f(x)=x\)（定義域\(\mathbb{R}\)，奇），\(f(x)=x^2+1\)（定義域\([0,+\infty)\)，非奇非偶）；奇函數(shù)若在\(x=0\)處有定義，則\(f(0)=0\)（代入\(f(-0)=-f(0)\)得\(f(0)=0\)）。2.3周期性2.3.1定義若存在非零常數(shù)\(T\)，對(duì)任意\(x\in\text{dom}(f)\)，都有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為周期。最小的正周期稱為最小正周期（如\(\sinx\)最小正周期為\(2\pi\)）。2.3.2常見(jiàn)周期結(jié)論\(f(x+a)=-f(x)\)→周期\(2a\)；\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)）→周期\(2a\)；\(f(x+a)=f(x-a)\)→周期\(2a\)；\(f(x+a)=-\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)）→周期\(2a\)。易錯(cuò)點(diǎn)：周期函數(shù)定義域必為無(wú)界集（如定義域\([0,10]\)的函數(shù)不可能是周期函數(shù)）；常數(shù)函數(shù)（如\(f(x)=5\)）是周期函數(shù)，但無(wú)最小正周期。2.4最值2.4.1定義最大值：存在\(x_0\in\text{dom}(f)\)，對(duì)任意\(x\in\text{dom}(f)\)，都有\(zhòng)(f(x)\leqf(x_0)\)；最小值：類似，將“≤”改為“≥”。2.4.2求最值的方法單調(diào)性法：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則端點(diǎn)取最值；配方法：二次函數(shù)（如\(f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，最小值為2）；換元法：無(wú)理函數(shù)、三角函數(shù)（如\(f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\)，令\(t=\sqrt{x}\)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)）；判別式法：分式函數(shù)（如\(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+x+1}\)，整理為關(guān)于\(x\)的二次方程，利用判別式\(\Delta\geq0\)）；導(dǎo)數(shù)法（選學(xué)）：求極值，再與端點(diǎn)值比較。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略定義域，如\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,3]\)上的最大值為\(f(3)=6\)（而非整個(gè)實(shí)數(shù)域的最小值2）。2.5函數(shù)的圖像變換平移變換：左加右減（橫坐標(biāo)）：\(y=f(x+a)\)（向左平移\(a\)個(gè)單位，\(a>0\)）；上加下減（縱坐標(biāo)）：\(y=f(x)+b\)（向上平移\(b\)個(gè)單位，\(b>0\)）。伸縮變換：橫縮縱伸（橫坐標(biāo)）：\(y=f(kx)\)（橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\(\frac{1}{k}\)倍，\(k>1\)）；縱伸橫縮（縱坐標(biāo)）：\(y=kf(x)\)（縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的\(k\)倍，\(k>1\)）。對(duì)稱變換：關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱：\(y=f(-x)\)；關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱：\(y=-f(x)\)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：\(y=-f(-x)\)；關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱：\(y=f^{-1}(x)\)（反函數(shù)，需滿足一一對(duì)應(yīng)）。易錯(cuò)點(diǎn)：平移方向與符號(hào)相反（如\(y=f(x+2)\)是向左平移2個(gè)單位，而非向右）；伸縮系數(shù)與倍數(shù)相反（如\(y=f(2x)\)是橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\(\frac{1}{2}\)，而非2倍）。三、基本初等函數(shù)核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模3.1指數(shù)函數(shù)3.1.1定義形如\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的函數(shù)，其中\(zhòng)(a\)為底數(shù)，\(x\)為指數(shù)。3.1.2圖像與性質(zhì)性質(zhì)\(a>1\)\(0<a<1\)定義域\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)值域\((0,+\infty)\)\((0,+\infty)\)單調(diào)性遞增遞減定點(diǎn)\((0,1)\)（\(a^0=1\)）\((0,1)\)奇偶性非奇非偶非奇非偶易錯(cuò)點(diǎn)：底數(shù)\(a\)必須滿足\(a>0\)且\(a\neq1\)（如\(y=(-2)^x\)不是指數(shù)函數(shù)）；值域?yàn)閈((0,+\infty)\)，故\(a^x>0\)恒成立（無(wú)零點(diǎn)）。3.2對(duì)數(shù)函數(shù)3.2.1定義形如\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)的反函數(shù)。3.2.2圖像與性質(zhì)性質(zhì)\(a>1\)\(0<a<1\)定義域\((0,+\infty)\)\((0,+\infty)\)值域\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)單調(diào)性遞增遞減定點(diǎn)\((1,0)\)（\(\log_a1=0\)）\((1,0)\)奇偶性非奇非偶非奇非偶3.2.3對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)（\(M>0,N>0\)）；\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)；\(\log_aM^n=n\log_aM\)（\(n\in\mathbb{R}\)）；換底公式：\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)（\(c>0\)且\(c\neq1\)）；常用結(jié)論：\(\log_aa=1\)，\(\log_a\frac{1}{a}=-1\)，\(a^{\log_ab}=b\)。易錯(cuò)點(diǎn)：定義域限制（\(\log_ax\)中\(zhòng)(x>0\)），解對(duì)數(shù)方程時(shí)需驗(yàn)根（如\(\log_2(x-1)=1\)的解為\(x=3\)，而非\(x=1\)）；運(yùn)算性質(zhì)僅適用于同底數(shù)對(duì)數(shù)（如\(\log_23+\log_32\neq\log_26\)）。3.3冪函數(shù)3.3.1定義形如\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\)為常數(shù)）的函數(shù)，其中\(zhòng)(x\)為底數(shù)，\(\alpha\)為指數(shù)。3.3.2圖像與性質(zhì)（以\(\alpha\)符號(hào)為例）\(\alpha>0\)：圖像過(guò)原點(diǎn)\((0,0)\)和\((1,1)\)；遞增（\(\alpha>1\)時(shí)，圖像下凸；\(0<\alpha<1\)時(shí)，圖像上凸）。\(\alpha<0\)：圖像過(guò)\((1,1)\)，不過(guò)原點(diǎn)；遞減（定義域?yàn)閈(x\neq0\)）；圖像漸近于坐標(biāo)軸。易錯(cuò)點(diǎn)：冪函數(shù)系數(shù)必為1（如\(y=2x^2\)不是冪函數(shù)）；\(\alpha\)為分?jǐn)?shù)時(shí)，定義域需注意分母奇偶性（如\(y=x^{1/2}\)定義域?yàn)閈(x\geq0\)，\(y=x^{1/3}\)定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)）。四、函數(shù)與方程核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算4.1函數(shù)的零點(diǎn)4.1.1定義函數(shù)\(f(x)=0\)的解稱為\(f(x)\)的零點(diǎn)（即圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)）。4.1.2零點(diǎn)存在定理若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)：連續(xù)是必要條件（如\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-1,1)\)內(nèi)不連續(xù)，故無(wú)零點(diǎn)）；定理僅說(shuō)明“存在性”，不說(shuō)明“唯一性”（如\(f(x)=x^2-1\)在\((-2,2)\)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)）。4.2二分法4.2.1定義通過(guò)不斷將區(qū)間一分為二，縮小零點(diǎn)所在區(qū)間，從而得到零點(diǎn)近似值的方法（適用于連續(xù)函數(shù)且端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)）。4.2.2步驟1.確定初始區(qū)間\([a,b]\)，滿足\(f(a)f(b)<0\)；2.計(jì)算中點(diǎn)\(c=\frac{a+b}{2}\)；3.若\(f(c)=0\)，則\(c\)是零點(diǎn)；4.若\(f(a)f(c)<0\)，則零點(diǎn)在\((a,c)\)，令\(b=c\)；5.否則，零點(diǎn)在\((c,b)\)，令\(a=c\)；6.重復(fù)步驟2-5，直到區(qū)間長(zhǎng)度小于給定精度（如\(|b-a|<10^{-4}\)）。五、函數(shù)模型及其應(yīng)用核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析5.1常見(jiàn)函數(shù)模型指數(shù)模型：\(y=ab^x+c\)（\(a>0,b>1\)，增長(zhǎng)越來(lái)越快，如細(xì)菌繁殖、人口增長(zhǎng)）；對(duì)數(shù)模型：\(y=\log_ax+b\)（\(a>1\)，增長(zhǎng)越來(lái)越慢，如學(xué)習(xí)曲線、資源消耗）；冪函數(shù)模型：\(y=ax^b+c\)（\(a>0,b>0\)，增長(zhǎng)速度穩(wěn)定，如面積與邊長(zhǎng)、體積與半徑）；分段函數(shù)模型：\(y=\begin{cases}f(x),&x\inA\\g(x),&x\inB\end{cases}\)（不同區(qū)間有不同規(guī)律，如稅費(fèi)計(jì)算、階梯電價(jià)）。5.2模型應(yīng)用步驟1.收集數(shù)據(jù)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)、調(diào)查獲取實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)；2.建立模型：根據(jù)數(shù)據(jù)趨勢(shì)選擇合適的函數(shù)模型（如增長(zhǎng)快選指數(shù)模型）；3.驗(yàn)證模型：用數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性（如計(jì)算預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差）；4.應(yīng)用模型：用模型解決實(shí)際問(wèn)題（如預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)、優(yōu)化決策）。易錯(cuò)點(diǎn)：模型選擇需符合實(shí)際（如人口增長(zhǎng)不能用指數(shù)模型無(wú)限增長(zhǎng)，需考慮環(huán)境容量）；分段函數(shù)模型需注意各段的銜接（如稅費(fèi)計(jì)算中，起征點(diǎn)前后的稅率不同）。六、函數(shù)的綜合應(yīng)用核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象6.1函數(shù)與不等式利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式（將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小關(guān)系）：若\(f(x)\)遞增，\(f(a)>f(b)\Rightarrowa>b\)；若\(f(x)\)遞減，\(f(a)>f(b)\Rightarrowa<b\)。示例：解\(\log_2(x-1)>1\)，因\(\log_2x\)遞增，故\(x-1>2\Rightarrowx>3\)（需注意定義域\(x-1>0\)）。6.2函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（選學(xué)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：\(f'(x_0)\)是\(f(x)\)在\(x_0\)處的切線斜率；單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)>0\Rightarrowf(x)\)遞增，\(f'(x)<0\Rightarrowf(x)\)遞減；極值與最值：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)（臨界點(diǎn)）可能是極值點(diǎn)（需判斷左右導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化），極值與端點(diǎn)值比較得最值。6.3抽象函數(shù)6.3.1定義沒(méi)有具體解析式，僅通過(guò)函數(shù)方程（如\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)）定義的函數(shù)。6.3.2常用賦值法令