專題2.5應(yīng)用一元二次方程 目錄TOC\o"12"\h\u一.知識(shí)梳理與題型精析 1知識(shí)點(diǎn)（一）解可化為一元二次方程的分式方程 1【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程 2知識(shí)點(diǎn)（二）傳播問題、增長(zhǎng)率問題、握手、循環(huán)賽問題 2【題型2】傳播問題 2【題型3】增長(zhǎng)率問題 2【題型4】握手和循環(huán)賽問題 3知識(shí)點(diǎn)（三）圖形問題和動(dòng)態(tài)幾何問題 3【題型5】圖形問題 4【題型6】動(dòng)態(tài)幾何問題 4知識(shí)點(diǎn)（四）數(shù)字問題、營(yíng)銷問題 5【題型7】數(shù)字問題 6【題型8】營(yíng)銷問題 6知識(shí)點(diǎn)（五）工程問題、行程問題 6【題型8】工程問題 7【題型9】行程問題 7二．同步練習(xí) 81.基礎(chǔ)夯實(shí)（選擇題6題，填空題6題，解答題2題） 82.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題） 113.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題） 14一.知識(shí)梳理與題型精析知識(shí)點(diǎn)（一）解可化為一元二次方程的分式方程解題步驟：1.

確定最簡(jiǎn)公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程2.

整理整式方程為標(biāo)準(zhǔn)形式3.

求解一元二次方程4.

驗(yàn)根（關(guān)鍵步驟，不可省略）5.

寫出原方程的解【題型1】解可化為一元二次方程的分式方程知識(shí)點(diǎn)（二）傳播問題、增長(zhǎng)率問題、握手、循環(huán)賽問題【題型2】傳播問題【例題2】（2425九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）若一人患上流感，經(jīng)過兩輪傳染后，共有144人被傳染上流感，這時(shí)引起有關(guān)部門注意，加以控制，以后每輪傳染少5人，問第四輪傳染后共有多少人患流感？【變式2】（2425九年級(jí)上·天津和平·期中）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感，設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，則下列結(jié)論不正確的是（

）【題型3】增長(zhǎng)率問題【例題3】．（2425八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）隨著旅游旺季的到來，煙臺(tái)某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，3月份游客人數(shù)為1.6萬人，5月份游客人數(shù)為2.5萬人．（1）求這兩個(gè)月該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；（2）預(yù)計(jì)6月份該景區(qū)游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不會(huì)超過前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知該景區(qū)6月1日至6月20日已接待游客2.125萬人，則6月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【變式2】（2025·四川綿陽(yáng)·二模）據(jù)調(diào)查，某村2022年的人均收入為30000元，2024年的人均收入為36300元．若從2022年到2024年該村人均收入的平均增長(zhǎng)率不變，按此平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)2025年該村的人均收入是元．【題型4】握手和循環(huán)賽問題【例題4】（2425八年級(jí)下·遼寧·階段練習(xí)）月份學(xué)校要組織本年度“校長(zhǎng)杯”籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排場(chǎng)比賽，請(qǐng)問參賽球隊(duì)有多少？【變式1】（2425八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在一次同學(xué)聚會(huì)時(shí)，大家相互握手問候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么參加這次聚會(huì)的同學(xué)共有（

）人．A．9 B．10 C．45 D．46【變式2】（2324九年級(jí)上·西藏拉薩·期中）組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參加比賽．知識(shí)點(diǎn)（三）圖形問題和動(dòng)態(tài)幾何問題基本圖形：靠墻問題盒子折疊問題平移問題等量關(guān)系：利用矩形周長(zhǎng)公式和面積公式建立等量關(guān)系

動(dòng)態(tài)幾何問題：三角形動(dòng)態(tài)問題四邊形動(dòng)態(tài)問題等量關(guān)系：由點(diǎn)的速度求出線段長(zhǎng)，利用圖形性質(zhì)建立等量關(guān)系【題型5】圖形問題【題型6】動(dòng)態(tài)幾何問題A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)（四）數(shù)字問題、營(yíng)銷問題

1.數(shù)字問題基本形式：一個(gè)三位數(shù)，設(shè)個(gè)位數(shù)字為，這個(gè)三位數(shù)為100+10+；2.

營(yíng)銷問題基本形式：（1）單件利潤(rùn)=售價(jià)成本價(jià)；（2）總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷量.【題型7】數(shù)字問題【例題7】（2425九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字小2，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這個(gè)數(shù)小1，求這個(gè)兩位數(shù)．【變式1】（2425九年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）若一個(gè)兩位數(shù)比它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字和的平方少2，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大1，則這個(gè)兩位數(shù)是（

）A．23 B．34 C．23或34 D．或【變式2】（2425九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）若一個(gè)數(shù)的平方與的差等于這個(gè)數(shù)的倍，則這個(gè)數(shù)為．【題型8】營(yíng)銷問題【例題8】（2425九年級(jí)上·重慶合川·期中）今年11月份，某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了一批T恤和襯衣，商家用16000元購(gòu)買T恤，12000元購(gòu)買襯衣，每件T恤和每件襯衣進(jìn)價(jià)之和為100元，且購(gòu)進(jìn)T恤的數(shù)量是襯衣的2倍．（1）求商場(chǎng)購(gòu)買T恤和襯衣的進(jìn)貨單價(jià)；（2）商場(chǎng)在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)T恤的銷售單價(jià)為每件80元，襯衣的銷售單價(jià)為每件120元時(shí)，平均每天可賣出50件T恤，30件襯衣，據(jù)統(tǒng)計(jì)，襯衣的銷售單價(jià)每降低5元，平均每天可以多賣出5件．為減少庫(kù)存，商家在保證T恤的售價(jià)和銷量不變且不考慮其他因素的情況下，想使T恤和襯衣平均每天的總獲利為4000元，則每件襯衣的售價(jià)為多少元？【變式1】（2425八年級(jí)下·山東·期末）在2020年元旦期間，某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能銷售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)，商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的定價(jià)應(yīng)為多少元？設(shè)每臺(tái)冰箱定價(jià)元，根據(jù)題意，可列方程為（

）【變式2】（2324九年級(jí)上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件．若要使一天的總利潤(rùn)為1120元，則該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為．知識(shí)點(diǎn)（五）工程問題、行程問題工程問題：（1）工作量=工作效率×工作時(shí)間；（2）工作效率=工作量÷工作時(shí)間（單位時(shí)間完成的工作量）；（3）工作時(shí)間=工作量÷工作效率；

行程問題：（1）路程=速度×?xí)r間；（2）速度=路程÷時(shí)間；（3）時(shí)間=路程÷速度【題型8】工程問題【例題8】（2023·遼寧鞍山·一模）某花木園，計(jì)劃在園中栽96棵桂花樹，開工后每天比原計(jì)劃多栽2棵，結(jié)果提前4天完成任務(wù)．問原計(jì)劃每天栽多少棵？【變式1】（2223八年級(jí)下·上海靜安·期中）為加強(qiáng)防汛工作，市工程隊(duì)準(zhǔn)備對(duì)蘇州河一段長(zhǎng)為2240米的河堤進(jìn)行加固，由于采用新的加固模式，現(xiàn)在計(jì)劃每天加固的長(zhǎng)度比原計(jì)劃增加了20米，因而完成此段加固工程所需天數(shù)將比原計(jì)劃縮短2天，為進(jìn)一步縮短該段加固工程的時(shí)間，如果要求每天加固224米，那么在現(xiàn)在計(jì)劃的基礎(chǔ)上，每天加固的長(zhǎng)度還要再增加多少米？【變式2】（2223九年級(jí)上·重慶渝中·期末）某工程隊(duì)采用A、B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為4800米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則32小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．（1）求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；【題型9】行程問題【例題9】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）今年年初一美麗的白鵝潭江而進(jìn)行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點(diǎn)之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當(dāng)晚該公園附近路段實(shí)施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場(chǎng)后，再步行2千米到達(dá)目的地，共花了1小時(shí)．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．（1）求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？（1）甲運(yùn)動(dòng)后的路程是多少？（2）甲、乙從開始運(yùn)動(dòng)到第三次相遇時(shí)，它們運(yùn)動(dòng)了多少時(shí)間？【變式2】（2324九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運(yùn)動(dòng)，叫做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)時(shí)間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時(shí)間與平均速度的乘積．若一個(gè)小球以5米/秒的速度開始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動(dòng)．（1）小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少多少？二．同步練習(xí)?1.基礎(chǔ)夯實(shí)（選擇題6題，填空題6題，解答題2題）一、單選題1．（2425八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）淇淇同學(xué)在計(jì)算正數(shù)的平方時(shí)，誤算成與的積，求得的答案比正確答案小，則正數(shù)的值是（

）2．（2025·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）畢業(yè)將至，九（1）班全體學(xué)生互贈(zèng)祝?？?，共贈(zèng)祝?？?560張，問：九（1）班共有多少名學(xué)生？設(shè)九（1）班共有名學(xué)生，根據(jù)題意可列方程為（

）A．2 B． C．1 D．4．（2425八年級(jí)下·浙江寧波·期末）寧波市積極推進(jìn)綠色出行，某品牌共享電動(dòng)車2023年注冊(cè)用戶為50萬戶，2025年預(yù)計(jì)增長(zhǎng)至80萬戶，設(shè)這兩年用戶數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，可列方程為（

）5．（2425八年級(jí)下·安徽淮南·期末）如圖1是小明同學(xué)用手機(jī)拍攝的一張家鄉(xiāng)風(fēng)景照片，照片的長(zhǎng)為8分米，寬為6分米，現(xiàn)在想在原照片的四周圍用寬度相同的金色紙邊進(jìn)行裝裱，如圖2．如果要求裝裱后的圖片面積是80平方分米．則裝裱用的金色紙片的寬是（

）A．1分米 B．1.5分米 C．2分米 D．2.5分米二、填空題7．（2425九年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·期中）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字之和是5，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字對(duì)調(diào)后所得的數(shù)與原數(shù)相乘，得736，這個(gè)兩位數(shù)是．8．（2425八年級(jí)下·山東泰安·期末）小明在與Deepseek對(duì)話中輸入如下的文字，經(jīng)過40秒的深度思考和驗(yàn)證，Deepseek給出的這個(gè)數(shù)應(yīng)該是．有沒有這樣一個(gè)數(shù)，先計(jì)算它的平方，再減去它的3倍后再加上4，結(jié)果等于這個(gè)數(shù)？9．（2425九年級(jí)上·廣西南寧·期中）某地進(jìn)行“迎國(guó)慶振興杯”籃球邀請(qǐng)賽，賽制為單循環(huán)（每?jī)申?duì)之間賽一場(chǎng)），若計(jì)劃安排21場(chǎng)比賽，則邀請(qǐng)個(gè)球隊(duì)參賽．11．（2425九年級(jí)上·甘肅天水·期末）某大型樓盤陸續(xù)交付后，家裝燈具店紛紛推出各類優(yōu)惠政策．某燈具店通過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)成本為每個(gè)30元的臺(tái)燈的售價(jià)為每個(gè)40元時(shí)，平均每天售出600個(gè)；若售價(jià)每個(gè)每下降2元，每日銷售量就增加400個(gè)．為迎接“雙十一”，該店決定降價(jià)促銷．在庫(kù)存為1220個(gè)臺(tái)燈的情況下，若預(yù)計(jì)日銷售獲利恰好為8400元，則每個(gè)臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)為元．三、解答題（1）用含x的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．14．（2425八年級(jí)下·安徽合肥·期末）新能源汽車采用電能作為動(dòng)力來源，減少二氧化碳?xì)怏w的排放，達(dá)到保護(hù)環(huán)境的目的，其市場(chǎng)需求逐年上升．（1）某品牌新能源汽車1月份銷售量為30萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐月遞增，3月份的銷售量達(dá)到36.3萬輛．求從1月份到3月份該品牌新能源汽車銷售量的月平均增長(zhǎng)率．（2）某汽車銷售公司搶占先機(jī)，購(gòu)進(jìn)一款進(jìn)價(jià)為12萬元/輛的該品牌新能源汽車，經(jīng)銷一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該款汽車售價(jià)定為25萬元/輛時(shí)，平均每周售出8輛；售價(jià)每降低1萬元，平均每周多售出2輛，若該店計(jì)劃下調(diào)售價(jià)使平均每周的銷售利潤(rùn)為144萬元．為了推廣新能源汽車，并且此次銷售盡量讓利于顧客，求該店下調(diào)后每輛汽車的售價(jià)．2.鞏固提升（選擇題6題，填空題6題，解答題4題）一、單選題1．（2425八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了（

）人A．2 B．8 C．10 D．42．（2425八年級(jí)下·安徽合肥·期末）某城市2022年新能源汽車公共充電樁數(shù)量為萬個(gè)，該市通過兩年建設(shè)，2024年底充電樁總數(shù)達(dá)到萬個(gè)，按相同的增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2025年底充電樁總數(shù)達(dá)到多少萬個(gè)（

）A．40 B．48 C．52 D．565．（2425九年級(jí)上·山東臨沂·期末）九州大廈將進(jìn)價(jià)為40元/件的襯衫以60元/件出售時(shí)，平均每天能賣出30件，若每降價(jià)1元，則每天可多賣出5件，如果降價(jià)元，每天盈利800元，那么可列方程為（

）

圖1

圖2A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題8．（2024·云南昆明·一模）如圖三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個(gè)點(diǎn)，第二行有個(gè)點(diǎn)第行有個(gè)點(diǎn)，已知前行共有個(gè)點(diǎn)，則的值為．11．（2024九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）望望同學(xué)和他的體育教練王老師同時(shí)從圓形跑道上的同一起點(diǎn)出發(fā)，都按順時(shí)針方向跑步，王老師的速度比望望的速度快多了，過一段時(shí)間后王老師第一次從后面追上了望望，這時(shí)王老師立即改變方向，按逆時(shí)針方向以原來的速度跑去，當(dāng)他們倆再次相遇時(shí)，望望恰好跑了4圈，則王老師的速度與望望的速度之比為．三、解答題13．（2425八年級(jí)下·上海松江·期末）學(xué)校購(gòu)買一批獎(jiǎng)品．已知種獎(jiǎng)品的單價(jià)比種獎(jiǎng)品單價(jià)便宜9元，用128元購(gòu)買種獎(jiǎng)品的數(shù)量和用272元購(gòu)買種獎(jiǎng)品的數(shù)量總共是32個(gè)．（1）求、兩種獎(jiǎng)品的單價(jià)各是多少元？（2）該校計(jì)劃購(gòu)買、兩種獎(jiǎng)品共80個(gè)，且種獎(jiǎng)品的數(shù)量不大于種獎(jiǎng)品數(shù)量的3倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案，并求出最低購(gòu)買費(fèi)用．15．（2425八年級(jí)下·山東威?！て谀┠畴娖魃虉?chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了，兩種型號(hào)的洗衣機(jī)，已知一臺(tái)型洗衣機(jī)的進(jìn)價(jià)比一臺(tái)型洗衣機(jī)的進(jìn)價(jià)多600元，用14400元購(gòu)進(jìn)型洗衣機(jī)與用10800元購(gòu)進(jìn)型洗衣機(jī)的臺(tái)數(shù)相同．（1）求一臺(tái)型洗衣機(jī)和一臺(tái)型洗衣機(jī)的進(jìn)價(jià)各為多少元？（2）在銷售過程中，型洗衣機(jī)因?yàn)樵煨途?，噪音小而更受消費(fèi)者的歡迎．該商場(chǎng)決定停止購(gòu)進(jìn)型洗衣機(jī)，并對(duì)庫(kù)存貨品進(jìn)行降價(jià)銷售，力求盡快清空庫(kù)存貨品．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)型洗衣機(jī)的售價(jià)為2800元時(shí)，每天可售出臺(tái)，在此基礎(chǔ)上，售價(jià)每降低100元，每天將多售出1臺(tái)，如果每天該商場(chǎng)銷售型洗衣機(jī)的利潤(rùn)為5400元，請(qǐng)問該商場(chǎng)應(yīng)將型洗衣機(jī)的售價(jià)定為多少元？16．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：（1）甲在3秒內(nèi)經(jīng)過的路程為_____________；（單位：m）（2）求出發(fā)后，甲、乙速度相等的時(shí)間；（3）求出發(fā)后，甲、乙相遇的時(shí)間．3.直通中考（選擇題4題，填空題4題，解答題3題）一、單選題1．（2025·黑龍江·中考真題）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車已經(jīng)逐漸成為人們喜愛的交通工具．某品