第七章復數(shù)題型歸納【題型1復數(shù)的基本概念】【例1】下列命題正確的個數(shù)是（）①；②若，且，則；③若，則；④兩個虛數(shù)不能比較大小.A．1B．2C．0D．3【變式1-1】下列命題：①若，則是純虛數(shù)；②若，，且，則；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)；④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【變式1-2】復數(shù)，則（）A．的實部為B．的虛部為C．的實部為D．的虛部為【變式1-3】下列命題正確的是（）A．實數(shù)集與復數(shù)集的交集是空集B．任何兩個復數(shù)都不能比較大小C．任何復數(shù)的平方均非負D．虛數(shù)集與實數(shù)集的并集為復數(shù)集【題型2復數(shù)的分類】【例2】若是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．【變式2-1】若復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B．0 C．1 D．2【變式2-2】若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C．-1 D．【題型3復數(shù)的幾何意義】【例3】已知復數(shù)，則在復平面內對應的點位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【變式3-1】已知復數(shù)與在復平面內對應的點關于直線對稱，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式3-3】在復平面內，平行四邊形ABCD的3個頂點A，B，C對應的復數(shù)分別是，0，則點D對應的復數(shù)是（）A． B． C． D．【題型4復數(shù)的模的計算】【例4】若復數(shù)滿足，i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【變式4-1】如圖，在復平面內，復數(shù)對應的向量分別為，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-2】若復數(shù)z滿足(其中是虛數(shù)單位，)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】若復數(shù)（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【題型5復數(shù)的模的幾何意義】【例5】已知為虛數(shù)單位，如果復數(shù)滿足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【變式5-1】已知復數(shù)z滿足，則的最小值為（）A．1 B．3 C． D．【變式5-2】設，在復平面內對應的點為，若，則點所在區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．【變式5-3】已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．【題型6復數(shù)的四則運算】【例6】已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【變式6-1】記復數(shù)的共軛復數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．【變式6-2】計算：(1)；(2).【變式6-3】已知i是虛數(shù)單位，設復數(shù)，．(1)若是實數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【題型7復數(shù)范圍內方程的根的問題】【例7】已知是關于的方程的一個根，則（）A． B． C．1 D．9【變式7-1】已知，為關于的實系數(shù)方程的兩個虛根，則（）A．B．C．D．【變式7-2】已知復數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，其中，是實數(shù)(1)求和的值；(2)若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值【變式7-3】已知復數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)如果，是關于的方程的一個復根，求的值.【題型8復數(shù)的三角表示】【例8】（24-25高一下·上?！て谀蛿?shù)的三角形式是（）A．； B．；C．； D．.【變式8-1】棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式8-2】復數(shù)的三角形式是（）A． B．C． D．【變式8-3】歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為【題型9復數(shù)乘、除運算的三角表示】【例9】已知復數(shù)對應的向量繞原點逆時針旋轉后得到的向量對應的復數(shù)為，且，則（）A．B．C．D．【變式9-1】歐拉公式（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，被稱為“數(shù)學中的天橋”，則下列運算一定正確的是（）A．B．C．D．【變式9-2】計算：(1)；(2).【變式9-3】設復數(shù)對應的向量為，，為坐標原點，且，若把繞原點逆時針旋轉，把繞原點順時針旋轉，所得兩向量恰好重合，求復數(shù).【題型10復數(shù)中的新定義問題】【例10】定義運算，則滿足（為虛數(shù)單位）的復數(shù)在復平面內對應的點在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【變式10-1】定義復數(shù)的大小關系：已知復數(shù)，，，，，．若或（且），稱．若且，稱．其余情形均為．復數(shù)u，v，w分別滿足：，，，則下列各式一定錯誤的是（）A． B． C． D．【變式10-2】定義運算，則符合條件的復數(shù)．【變式10-3】已知復數(shù)，，，若一復數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù)，則稱此復數(shù)為“理想復數(shù)”，已知為“理想復數(shù)”．(1)求實數(shù)；(2)定義復數(shù)的一種運算“”：，求．第七章復數(shù)題型歸納答案【題型1復數(shù)的基本概念】【例1】下列命題正確的個數(shù)是（）①；②若，且，則；③若，則；④兩個虛數(shù)不能比較大小.A．1B．2C．0D．3【解答過程】對于①，因為，所以，故①正確；對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小，故②錯誤；對于③，當，時，成立，故③錯誤；④正確.故選：B.【變式1-1】下列命題：①若，則是純虛數(shù)；②若，，且，則；③若是純虛數(shù)，則實數(shù)；④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.其中正確的是（）A．① B．② C．③ D．④【解答過程】對于①，若，則不是純虛數(shù)，則①錯誤；對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小，則②錯誤；對于③，若，則，，此時不是純虛數(shù)，則③錯誤；對于④，由復數(shù)集與實數(shù)集的關系可知，實數(shù)集是復數(shù)集的真子集，則④正確.故選：.【變式1-2】復數(shù)，則（）A．的實部為B．的虛部為C．的實部為D．的虛部為【解答過程】因為，所以，所以與的實部均為1，A，C錯誤；的虛部為，B正確，D錯誤.故選：B.【變式1-3】下列命題正確的是（）A．實數(shù)集與復數(shù)集的交集是空集B．任何兩個復數(shù)都不能比較大小C．任何復數(shù)的平方均非負D．虛數(shù)集與實數(shù)集的并集為復數(shù)集【解答過程】解：實數(shù)集與復數(shù)集的交集是實數(shù)集，所以A不正確；任何兩個復數(shù)都不能比較大小，不正確，當兩個復數(shù)是實數(shù)時，可以比較大小，所以B不正確；任何復數(shù)的平方均非負，反例，所以C不正確；虛數(shù)集與實數(shù)集的并集為復數(shù)集，所以D正確，故選：D．【題型2復數(shù)的分類】【例2】若是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．2 D．【解答過程】因為是純虛數(shù)，所以，解得：，故選：C.【變式2-1】若復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B．0 C．1 D．2【解答過程】若復數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則，解得.故選：A.【變式2-2】若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C．-1 D．【解答過程】根據(jù)題意，復數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A.【題型3復數(shù)的幾何意義】【例3】已知復數(shù)，則在復平面內對應的點位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【解答過程】由題意得，所以在復平面內對應的點位于第三象限.故選：B.【變式3-1】已知復數(shù)與在復平面內對應的點關于直線對稱，則復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答過程】在復平面內對應的點為，其關于直線的對稱點為，所以，則，所以其在復平面內對應的點為，位于第一象限．故選：A.【變式3-2】已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答過程】，故在復平面內對應的點坐標為，位于第四象限.故選：D.【變式3-3】在復平面內，平行四邊形ABCD的3個頂點A，B，C對應的復數(shù)分別是，0，則點D對應的復數(shù)是（）A． B． C． D．【解答過程】由題知，點，設點D的坐標為，則有，.又因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以，即，得，所以點D對應的復數(shù)為.故選：C.【題型4復數(shù)的模的計算】【例4】若復數(shù)滿足，i為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．【解答過程】設，則，即，解得，所以，，故選：A.【變式4-1】如圖，在復平面內，復數(shù)對應的向量分別為，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答過程】由圖可得，所以，所以.故選：C.【變式4-2】（2024·四川德陽·模擬預測）若復數(shù)z滿足(其中是虛數(shù)單位，)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解答過程】由得，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式4-3】若復數(shù)（為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)可得，即可根據(jù)模長公式求解.【解答過程】解：復數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得，則故選：B.【題型5復數(shù)的模的幾何意義】【例5】已知為虛數(shù)單位，如果復數(shù)滿足，那么的最小值是（）A．1 B． C．2 D．【解答過程】設在復平面內對應的點分別為，因，且，則復數(shù)對應的點的軌跡為線段，如圖所示.故的最小值問題可理解為：動點在線段上移動，求的最小值，故只需作，交線段于點，則即為所求的最小值1，故的最小值是1.故選：A.【變式5-1】已知復數(shù)z滿足，則的最小值為（）A．1 B．3 C． D．【解答過程】設復數(shù)在復平面內對應的點為，因為復數(shù)滿足，所以由復數(shù)的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．【變式5-2】設，在復平面內對應的點為，若，則點所在區(qū)域的面積為（）A． B． C． D．【解答過程】因為，所以點所在區(qū)域為兩個同心圓所形成的圓環(huán)，其中一個半徑為，另一個半徑為，則其面積為.故選：A.【變式5-3】已知，，則的最大值為（）A． B． C． D．【解答過程】設，則，所以，表示以為圓心，半徑為的圓，則，表示與之間的距離，即與圓上任意一點的距離，因，所以在圓外，所以.故選：D.【題型6復數(shù)的四則運算】【例6】已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【解答過程】因為，所以.故選：B.【變式6-1】記復數(shù)的共軛復數(shù)為，若，則（）A． B． C． D．【解答過程】由，得，所以.故選：A.【變式6-2】計算：(1)；(2).【解答過程】（1）.（2）.【變式6-3】已知i是虛數(shù)單位，設復數(shù)，．(1)若是實數(shù)，求；(2)若是純虛數(shù)，求．【解答過程】（1）因為是實數(shù)，所以，即，所以，所以.（2）因為是純虛數(shù)，所以且，解得，所以，所以.【題型7復數(shù)范圍內方程的根的問題】【例7】已知是關于的方程的一個根，則（）A． B． C．1 D．9【解答過程】由題意可得關于的方程的另一個根為，則，解得，則.故選：D.【變式7-1】已知，為關于的實系數(shù)方程的兩個虛根，則（）A．B．C．D．【解答過程】由，，∴方程的兩個虛根為，或，，不妨取，，則，，∴.故選：B.【變式7-2】已知復數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根，其中，是實數(shù)(1)求和的值；(2)若是純虛數(shù)，求實數(shù)的值【解答過程】（1）因為復數(shù)（是虛數(shù)單位）是方程的根（，是實數(shù)），所以也為方程的根，所以，所以；（2）由（1）可知，又是純虛數(shù)，所以，解得.【變式7-3】已知復數(shù)，其中是正實數(shù)，是虛數(shù)單位(1)如果為純虛數(shù)，求實數(shù)的值；(2)如果，是關于的方程的一個復根，求的值.【解答過程】（1）因為，所以，因為為純虛數(shù)，所以，解得（負值舍去），所以.（2）因為，所以，則，因為是關于的方程的一個復根，所以與是的兩個復根，故，則，所以.【題型8復數(shù)的三角表示】【例8】復數(shù)的三角形式是（）A．； B．；C．； D．.【解答過程】，故選：C.【變式8-1】棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答過程】，在復平面內所對應的點為，在第二象限.故選：B.【變式8-2】復數(shù)的三角形式是（）A． B．C． D．【解答過程】依題意，令，則，所以，因為，所以，所以的三角形式是.故選：D.【變式8-3】歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為【解答過程】對于A，，其虛部為1，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，則，故C錯誤；對于D,，故的共軛復數(shù)為，D正確，故選：D.【題型9復數(shù)乘、除運算的三角表示】【例9】已知復數(shù)對應的向量繞原點逆時針旋轉后得到的向量對應的復數(shù)為，且，則（）A．B．C．D．【解答過程】逆時針旋轉后得，所以=.故選：A.【變式9-1】歐拉公式（為自然對數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）由瑞士數(shù)學家（歐拉）首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，被稱為“數(shù)學中的天橋”，則下列運算一定正確的是（）A．B．C．D．【解答過程】.故選：C.【變式9-2】計算：(1)；(2).【解答過程】（