第第頁第08講用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系1.理解與掌握直線的方向向量，平面的法向量.2.會用方向向量，法向量證明線線、線面、面面間的平行關(guān)系；會用平面法向量證明線面和面面垂直，并能用空間向量這一工具解決與平行、垂直有關(guān)的立體幾問題.知識點1空間中點、直線和平面的向量表示1．空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).注意點：(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數(shù)個．(3)空間任意直線都可以由直線上一點及直線的方向向量唯一確定．2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．注意點：(1)平面α的一個法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行．易錯辨析：（1）空間中給定一個點A和一個方向向量能唯一確定一條直線嗎？答案：能（2）一個定點和兩個定方向向量能否確定一個平面？答案：不一定，若兩個定方向向量共線時不能確定，若兩個定方向向量不共線能確定．（3）由空間點A和直線l的方向向量能表示直線上的任意一點？答案：能知識點2空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線線平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標系，通過坐標運算，利用向量平行的坐標表示．線面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強調(diào)直線在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進行證明．線線垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直1、理解直線方向向量的概念(1)直線上任意兩個不同的點都可構(gòu)成直線的方向向量．(2)直線的方向向量不唯一．2、利用待定系數(shù)法求法向量的步驟3、求平面法向量的三個注意點（1）選向量：在選取平面內(nèi)的向量時，要選取不共線的兩個向量（2）取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為04、用空間向量證明平行的方法(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示．②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證．③先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直．在證明線面平行時，需注意說明直線不在平面內(nèi)．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題．5、用空間向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：①基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．②坐標法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．③法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆键c一：求直線的方向向量例1．已知直線的一個方向向量為，另一個方向向量為，則________，________.【答案】－2012【分析】由直線的方向向量平行的性質(zhì)即可求解.【詳解】∵直線的方向向量平行，∴，∴，故答案為：；.變式1．【多選】如圖，在正方體中，E為棱上不與，C重合的任意一點，則能作為直線的方向向量的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】結(jié)合立體圖形，得到平行關(guān)系，從而確定答案.【詳解】因為，所以，，都可作為直線的方向向量.故選：ABD.變式2．已知直線l的一個方向向量，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于（

）A．0B．1C．2D．3【答案】A【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】由題知：，因為，所以，解得，所以.故選：A考點二：求平面的法向量例2．已知，則平面的一個單位法向量是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】待定系數(shù)法設(shè)平面的一個法向量為，由法向量的性質(zhì)建立方程組解出分析即可.【詳解】設(shè)平面的一個法向量為，又，由，即，又因為單位向量的模為1，所以B選項正確，故選：B.變式1．已知空間中三個向量，，，則下列說法正確的是（

）A．與是共線向量B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是D．平面ABC的一個法向量是【答案】BCD【分析】A：由向量共線定理，應(yīng)用坐標運算判斷是否存在使；B：與同向的單位向量是即可判斷；C：由投影向量的定義可解；D：應(yīng)用平面法向量的求法求平面ABC的一個法向量，即可判斷.【詳解】A：若與共線，存在使，則無解，故不共線，錯誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個法向量，則，令，則，正確.故選：BCD考點三：用空間向量證明平行問題判斷直線、平面的位置關(guān)系例3．若平面與的法向量分別是，，則平面與的位置關(guān)系是（

）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．無法判斷【答案】A【分析】利用平面法向量的位置關(guān)系，即可判斷兩平面的位置關(guān)系.【詳解】因為，是平面與的法向量，則，所以兩法向量平行，則平面與平行.故選：A變式1．已知平面與平面是不重合的兩個平面，若平面α的法向量為，且，，則平面與平面的位置關(guān)系是________.【答案】平行【分析】分別計算，，可得，，從而可知，，平面，所以可得平面與平面平行.【詳解】平面α的法向量為，且，，，，所以，，平面，平面的一個法向量為，又因為平面與平面是不重合的兩個平面，所以平面與平面平行.故答案為：平行.（二）已知直線、平面的平行關(guān)系求參數(shù)例4．已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量，若，則實數(shù)_______．【答案】10【分析】根據(jù)直線與平面平行，得到直線的方向向量與平面的法向量垂直，進而利用空間向量數(shù)量積為0列出方程，求出的值.【詳解】因為，所以直線的方向向量與平面的法向量垂直，即，解得：.故答案為：10變式1．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則的值為______【答案】6【分析】因為法向量定義，把轉(zhuǎn)化為，可得k的值.【詳解】因為平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，又因為，所以，可得，即得.故答案為：6.（三）證明直線、平面的平行問題例5．如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面ABCD，，，E是PD的中點．

證明：平面PAB；【解析】連接OC，因為，所以四邊形OABC為平行四邊形，所以，所以，以O(shè)C，OD，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，．，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，則，令，，平面PAB的一個法向量，，則，又平面PAB，所以平面PAB．變式1．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

求證：平面；【解析】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，

∴，∴，面的一個法向量為，∵，∴平面.考點四：利用空間向量證明垂直問題（一）判斷直線、平面的位置關(guān)系例6．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l和平面位置關(guān)系是（

）A．B．C．D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)題意判斷直線l的方向向量和平面的法向量的關(guān)系，即可判斷直線l和平面位置關(guān)系.【詳解】由題意直線l的方向向量為，平面的法向量為,可知，故,故選：A（二）已知直線、平面的垂直關(guān)系求參數(shù)例7．已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A．B．C．1D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，進而得到方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，因為，可得，所以，即，解得，所以.故選：A.變式1．如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點P在線段DO上，且，若平面PBC，則實數(shù)（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由正棱錐的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件確定相關(guān)點坐標并求出面PBC的法向量，結(jié)合線面平行及向量共線定理求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，△為邊長為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以為原點，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實數(shù)，，故.故選：D（三）證明直線、平面的垂直問題例8．如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點E在上，．求證：平面平面；【解析】（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以，所以，所以，所以，即，因為,，所以平面，因為平面，所以平面平面.一、單選題1．若在直線l上，則直線l的一個方向向量為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得，再根據(jù)方向向量的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由共線向量可知與共線的非零向量都可以作為直線l的方向向量，又，所以是直線l的一個方向向量.故選：B.2．如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】建系，利用空間向量解決異面直線夾角的問題.【詳解】如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，則,∵，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.3．已知直線，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①直線的截距為

②向量是直線的一個法向量③過點與直線平行的直線方程為④若直線，則A．B．C．D．【答案】B【分析】求出直線的截距可判斷①，由直線的方向向量可判斷②，由直線平行設(shè)所求直線方程為，代入點即可判斷③，由直線垂直可判斷④.【詳解】對于①,令,則;令,則,故①錯誤;對于②,因為直線的方向向量為或,則,所以向量是直線的一個法向量,故②正確;對于③,設(shè)與直線平行的直線方程為,因為直線過點,所以,所以過點與直線平行的直線方程為,故③正確;對于④,直線,直線,則,所以兩直線垂直，故④正確,所以結(jié)論正確的個數(shù)為3，故選:B.4．不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．不重合的兩個平面，的法向量分別為，，直線，均在平面，外．下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系得到直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系，進而推導(dǎo)出答案.【詳解】A選項，因為，A正確；B選項，，所以，故錯誤；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：B5．如圖，在空間直角坐標系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個方向向量為；②直線的一個方向向量為；③平面的一個法向量為；④平面的一個法向量為．其中正確的個數(shù)為（

）．A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】由直線的方向向量及平面的法向量的定義即可求解.【詳解】解：設(shè)正方體的邊長為1，則，，，，，，對①：因為，所以直線的一個方向向量為正確；對②：因為，所以直線的一個方向向量為不正確；對③：因為平面，又，所以平面的一個法向量為不正確；對④：因為，，，，，所以平面的一個法向量為不正確.故選：A.6．設(shè)，是不重合的兩個平面，，的法向量分別為，，和是不重合的兩條直線，，的方向向量分別為，，那么的一個充分條件是（）A．，，且，B．，，且C．，，且D．，，且【答案】C【分析】利用面面平行的判定定理、向量位置關(guān)系及充分條件的定義即可判斷．【詳解】對于A，，，且，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，，，且，則與相交或平行，故B錯誤；對于C，，，且，得，則，故C正確；對于D，，，且，則與相交或平行，故D錯誤．故選：C．7．已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點P中，在平面內(nèi)的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用平面法向量的性質(zhì)，通過選項逐一排除.【詳解】設(shè)，則；由題意知，，則，∴，化簡得．驗證得，在A中，，不滿足條件；在B中，，滿足條件；在C中，，不滿足條件；在D中，，不滿足條件．故A，C，D錯誤.故選：B．二、填空題8．已知直線l在平面外，直線l的方向向量是，平面的法向量是，則l與的位置關(guān)系是___________（填“平行”或“相交”）【答案】平行【分析】根據(jù)題意可得，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，且直線l在平面外，所以//.故答案為：平行.9．設(shè)平面的一個法向量分別為，則的位置關(guān)系為________．【答案】平行【分析】利用向量的共線定理及平面與平面平行的法向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，故答案為：平行10．若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，且，則________.【答案】【分析】利用兩平面平行法向量的關(guān)系及向量共線定理即可求解.【詳解】因為，所以，所以，即，所以，解得，所以.故答案為：.11．已知是直線l的一個方向向量，是平面α的一個法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為________.【答案】【分析】根據(jù)空間線面垂直結(jié)合空間向量運算求解.【詳解】∵l⊥α，則∥，則，解得.故答案為：.三、解答題22．如圖，正三棱柱中，分別是棱上的點，.

證明：平面平面；【解析】（1）證明：取的中點,連接，在正三棱柱中，不妨設(shè);以為原點，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示，則,，；設(shè)平面的一個法向量為，則,，取，則，即；設(shè)平面的一個法向量為，則,即，取得.因為，所以平面平面；

12.如圖，在四棱錐中，平面，，四邊形滿足，，，點M為PC的中點.

求證：；【解析】證明：因為平面，平面，所以，.又，所以PA，AB，AD兩兩垂直.以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，，，點M為PC的中點，故，故，，所以，所以.

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系隨堂檢測1.已知直線的一個法向量是，則的傾斜角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，，直線的方向向量為，根據(jù)直線方向向量與法向量的關(guān)系得到得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，直線的方向向量為.則，即，則，又，解得，故選：A.2.若直線l的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，則（）A．l∥α或l?αB．l⊥αC．l?αD．l與α斜交【答案】A【分析】直線的一個方向向量，平面α的一個法向量為，計算數(shù)量積，可判斷出結(jié)論．【詳解】直線的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，，，或，故選：A3.直線的方向向量分別為，則（

）A．B．∥C．與相交不平行D．與重合【答案】A【分析】由題意可得，即得，從而得，即得答案.【詳解】解：因為直線的方向向量分別為，，所以，即.故選：A.4.已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點中，在平面內(nèi)的是（

）A．B．C．D．【答案】A【