第頁第11講直線和圓的方程章末總結(jié)一、思維導(dǎo)圖二、題型精講題型01直線的傾斜角和斜率【例1】直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】C【詳解】由題意知,若a=0

,則傾斜角為,若,則,①當(dāng)時，(當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”)，②當(dāng)時，(當(dāng)且僅當(dāng)時，取“”)，，故，綜上，，故選：C.【例2】已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】直線恒過定點(diǎn)，且，，由圖可知，或.故選：C.【變式1】若過點(diǎn)的直線與以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段相交，則直線的傾斜角取值范圍為（

）A． B．C．D．【答案】A【詳解】如圖所示，設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，則所求直線的傾斜角的取值范圍為，易得，，又因?yàn)?，所以，所以所求直線的傾斜角的取值范圍為.故選：A..題型02直線方程【例1】過點(diǎn)且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線一般式方程為__________．【答案】或【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)，過點(diǎn)，則，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)，過點(diǎn)，則，即；綜上所述：直線方程為或.故答案為：或.【例2】過點(diǎn)作直線分別交，的正半軸于，兩點(diǎn)．(1)求面積的最小值及相應(yīng)的直線的方程；(2)當(dāng)取最小值時，求直線的方程；(3)當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【答案】(1)，此時直線的方程為．(2)(3)【詳解】（1）依題意設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，代入得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，此時直線的方程為，即，所以，此時直線的方程為．（2）由（1）可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，此時直線的方程為，即．（3）依題意直線的斜率存在且，設(shè)直線，令，解得，令，解得，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，取最小值，此時直線的方程為．【變式1】若過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為______.【答案】【詳解】設(shè)，則，連接，，，即，化簡即得.故答案為：題型03兩直線的平行與垂直【例1】已知，“直線與平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】直線與平行則，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意，故選：C.【例2】已知，，直線：，：，且，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．9【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為8.故選：C.【變式1】已知直線，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，則，∴，所以，二次函數(shù)的拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，取最小值.故選：A．題型04兩直線的交點(diǎn)與距離問題【例1】已知直線：，直線過點(diǎn)且與直線垂直.(1)求直線的方程；(2)直線與直線關(guān)于軸對稱，求直線，，所圍成的三角形的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知直線：的斜率為，直線過點(diǎn)且與直線垂直，則，故直線的方程為，即；（2）直線與直線關(guān)于軸對稱，則直線的方程為，即，

如圖示，設(shè)直線，，所圍成的三角形為,則,聯(lián)立，解得，即,聯(lián)立，解得，即,直線與y軸的交點(diǎn)為，故直線，，所圍成的三角形的面積為.【變式1】已知的三個頂點(diǎn)分別為．求：(1)邊上的中線所在直線的方程；(2)的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)AC邊上的中點(diǎn)為D，則，即，故AC邊上的中線BD所在直線的方程的斜率為，故為：，即．（2）邊AC所在直線的方程為：，且，點(diǎn)B到直線AC的距離為：，故的面積：題型05直線中的對稱問題【例1】的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以邊所在直線的方程為，即，故選：B【變式1】設(shè)直線與關(guān)于直線對稱，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A【變式2】已知直線，點(diǎn)．求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線，解得，所以，（2）解：設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立直線與直線，，解得，所以；在直線上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在直線上，設(shè)對稱點(diǎn)，則，解得，所以，經(jīng)過點(diǎn)，所以所以直線的方程為整理得．（3）解：設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的點(diǎn)的坐標(biāo)為，關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)為，在直線上，代入直線方程得：，所以直線的方程為：．題型06圓的方程【例1】已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與直線平行且與圓相切的直線方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線方程為，由垂徑定理可知，圓心在線段的垂直平分線上，所以它的坐標(biāo)是方程組的解，解之得所以圓心的坐標(biāo)是，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)所求直線方程為，圓心到直線的距離，所以，即，所以所求直線方程為．【變式1】已知圓C的圓心在直線2x－y－7＝0上，且圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝5【答案】B【詳解】設(shè)圓心，因?yàn)?，所以，解得，則半徑為，圓心.即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【變式2】已知圓的圓心在直線上，且圓過點(diǎn)，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓與圓關(guān)于直線對稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：設(shè)圓C的方程為，已知圓的圓心在直線上，且圓過點(diǎn)，，則，解得，即圓C的方程為，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解：由（1）得圓C的圓心，半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，∵圓與圓C關(guān)于直線對稱，則有，解得，即．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型07切線和切線長問題【例1】已知圓，過直線上的動點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【詳解】圓，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線：的距離為，則，易得，則，故當(dāng)圓心到直線上點(diǎn)的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，因?yàn)椋?，故最小值是．故選：D.【例2】已知為圓C：上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)．（1）求的最大值和最小值．（2）求的最大值和最小值．（3）求的最大值和最小值．【答案】【小問1】最大值為，最小值為

【小問2】最大值為，最小值為

【小問3】最大值為9，最小值為1【詳解】（1）圓C：，如圖所示，連接QC交圓C于AB兩點(diǎn)，當(dāng)M與A重合時取得最小值，即，與B重合時取得最大值即，故最大值為，最小值為；（2）易知，由圖形知當(dāng)與圓C相切時取得最值，如圖所示.可設(shè)，則C到其距離為，解得，故最大值為，最小值為（3）設(shè)，如圖所示，即過點(diǎn)M的直線的截距，如圖所示，當(dāng)該直線與圓相切時截距取得最值.圓心C到該直線的距離為，所以或9，故最大值為9，最小值為1.【變式1】已知的頂點(diǎn)分別為．(1)求外接圓的方程；(2)設(shè)P是直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，求最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，【詳解】（1）設(shè)外接圓的方程為，將分別代入圓方程可得，解得，所以△ABC外接圓的方程為.（2）外接圓的圓心為,半徑；因?yàn)椋砸棺钚?，只需最小即可，?dāng)時，最小，所以，所以；設(shè)，則；解得，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為.題型08弦長問題【例1】已知直線，直線過點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則_________．【答案】【詳解】由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長.故答案為：.【變式1】以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.【答案】【詳解】對于直線l：有，令，解得，所以直線l過定點(diǎn)，又當(dāng)時，不存在，所以直線l不過圓心，，所以點(diǎn)Q在圓P內(nèi)，當(dāng)是A，B的中點(diǎn)時，最短，又圓的直徑為6，.故答案為：.【變式2】若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，直線l的斜率為______.【答案】2【詳解】由題意，得圓C的圓心，半徑，直線l過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)P在圓C內(nèi).所以當(dāng)時，取得最小值，此時的斜率，故l的斜率為2.故答案為：2.題型09三角形面積問題【例1】已知圓，M是y軸上的動點(diǎn)，MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點(diǎn)，(1)如果點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求直線MA、MB的方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）由題意可知顯然切線斜率存在，故設(shè)過點(diǎn)的圓C的切線方程為，則圓心C到切線距離等于半徑1，即或.則直線MA方程為，MB的方程為.或直線MA方程為，MB的方程為.（2）設(shè)M，因MA、MB分別與圓C相切于A、B兩點(diǎn)，則，則以M為圓心，為半徑的圓的方程為：，將其與圓C方程相減得直線AB方程：.則中，AB邊上的高，即C到直線AB距離為：，則由垂徑定理，，則，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.則面積的最大值為.【變式1】已知直線.(1)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值和此時直線l的方程.【答案】(1)(2)4；【詳解】（1）直線可化為，要使直線不經(jīng)過第四象限，則,解得，∴k的取值范圍為；（2）由題意可得中取得,取得,故，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取“=”，此時S的最小值為4，直線l的方程為﹒題型10圓與圓的位置關(guān)系【例1】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．(1)求圓的方程；(2)若圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長．【答案】(1)(2)4【詳解】（1）曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為,，,．可知圓心在直線上，故可設(shè)該圓的圓心為，則有，解得，故圓的半徑為，所以圓的方程為；（2）的方程為．即圓D：，即兩圓方程相減，得相交弦AB所在直線方程為圓C的圓心到直線距離為，所以.【變式1】已知圓經(jīng)過，圓.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓與圓相切，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓，因?yàn)閳A過三點(diǎn)，則，所以，所以，即；（2）圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A與圓的半徑相等，故兩圓不會內(nèi)切，只有外切，且，則有，解得.題型11兩圓公共線方程和公共弦長【例1】已知圓和動圓交于A，B兩點(diǎn)．（1）若直線過原點(diǎn)，求a；（2）若直線交軸于Q，當(dāng)面積最小時，求．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由圓和動圓，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑都是，因?yàn)閳A和動圓交于A，B兩點(diǎn)，可得圓心距小于半徑之和，,即，解得，又由兩圓相減，可得公共弦直線，

因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，可得，解得，檢驗(yàn)成立，所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由直線，令，即，解得，即則，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，且滿足，此時直線，又由圓心到直線距離為，所以弦長為.【變式1】已知兩圓C1：x2＋y2﹣2x﹣6y﹣1＝0，C2：x2＋y2﹣10x﹣12y＋45＝0．(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程和公共弦長．【答案】(1)證明見解析；(2)4x＋3y－23＝0；公共弦長【詳解】（1）圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0的圓心C1（1，3），半徑，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0的圓C2（5，6），半徑，|C1C2|＝，∵4－＜|C1C2|＝5＜4＋，∴圓C1和圓C2相交．（2）∵兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0，C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0，∴兩圓相減，得圓C1和圓C2的公共弦所在直線方程為：8x＋6y－46＝0，即4x＋3y－23＝0．圓心C2（5，6）到直線4x＋3y－23＝0的距離，∴圓C1和圓C2的公共弦長．題型12與圓有關(guān)的最值問題【例1】已知圓.(1)設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；(2)設(shè)P是直線上一點(diǎn)，過P作圓C的切線PE，PF，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求的最小值.【答案】(1)或；(2)50.【詳解】（1）圓的圓心，半徑，因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦AB長為8，則圓心C到直線l的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，因此直線l的方程可為：，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為：，即，則有，解得，直線l的方程為：，即，所以直線l的方程為或.（2）由（1）知，圓心到直線的距離，依題意，，≌，PC垂直平分弦EF，如圖，四邊形面積，于是，當(dāng)且僅當(dāng)垂直于直線時取等號，所以的最小值為50.【變式1】已知圓，直線.(1)證明：直線和圓恒有兩個交點(diǎn)；(2)若直線和圓交于兩點(diǎn)，求的最小值及此時直線的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)最小值為，此時直線方程為【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立解得所以不論取何值，直線必過定點(diǎn).圓，圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)部，則直線與圓恒有兩個交點(diǎn).（2）直線經(jīng)過圓內(nèi)定點(diǎn)，圓心，記圓心到直線的距離為d.因?yàn)椋援?dāng)d最大時，取得最小值，所以當(dāng)直線時，被圓截得的弦最短，此時，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以當(dāng)取得最小值時，直線的方程為，即，綜上：最小值為，此時直線方程為.

題型13軌跡方程【例1】已知圓，直線．(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；(3)設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)相交(2)或(3)【詳解】（1）直線l：，過定點(diǎn)，圓C的圓心到該點(diǎn)的距離為，所以直線l過圓內(nèi)一點(diǎn)，直線與圓相交.（2）設(shè)圓心到直線的距離為d，因?yàn)椋瑒t，解得，所以，，直線方程為或.（3）直線l：，過定點(diǎn)，設(shè)弦AB的中點(diǎn)，則，所以，即，所以弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為.【變式1】已知圓.(1)若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；(2)從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)或(2)【詳解】（1）根據(jù)題意，圓的方程為：，其圓心為，半徑為，當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，此時直線與圓的交點(diǎn)為，，，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，即，則圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為，綜上，直線的方程為或；（2）如圖，為圓的切線，連接，，則，所以為直角三角形，即.設(shè)，由（1）知，，因?yàn)?，所以，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為.題型14圓的對稱問題【例1】若圓被直線平分，則圓的半徑為__________.【答案】【詳解】若圓被直線平分，則直線過圓心，圓的圓心為，即，解得：，則圓，則圓的半徑為.故答案為：【例2】已知圓關(guān)于直線成軸對稱圖形，則____；的取值范圍是_____.【答案】【詳解】因?yàn)閳A可化為，所以其圓心為，由題意知，直線過圓心，所以，得，而圓的半徑滿足，故．故答案為：；.【變式1】若直線為圓的一條對稱軸，則__________．【答案】1【詳解】由題可知，圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故答案為：1.【變式2】圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【詳解】圓，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，設(shè)圓心關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，，故圓心關(guān)于直線對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故對稱圓的圓心為，因?yàn)閷ΨQ圓半徑不變，所以對稱圓半徑為1，故所求對稱圓方程為.故答案為：.

直線和圓的方程章節(jié)驗(yàn)收測評卷一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【詳解】因?yàn)榈男甭?，所以其傾斜角為30°.故選：A.2．已知命題：直線與平行，命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】直線與平行，則，解得或，所以命題等價于或，命題．則由命題不能得到命題，但由命題可得到命題，則是的充分不必要條件．故選：A．3．已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A4．已知圓：與圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題知：，，，，.因?yàn)楹陀泄颤c(diǎn)，所以，解得.故選：C5．已知、，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：設(shè)直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時，直線的傾斜角逐漸增大，此時；當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，直線的傾斜角逐漸增大，此時.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【詳解】法一：令，則，代入原式化簡得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.7．設(shè)，均為正實(shí)數(shù)，若直線被圓截得的弦長為2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑為，由題意可知，圓心到直線的距離為，兩邊平方并整理，得，由基本不等式可知，，即，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，于是有或,的取值范圍是.故選：C.二、填空題：8．若兩條平行直線：與：間的距離為2，則______.【答案】或【詳解】由題意可得：，解得或.故答案為：或.9．已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為_______【答案】2【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，的最小值為