海南文昌中學八年級上冊壓軸題數(shù)學模擬試卷含詳細答案一、壓軸題1．如圖1，我們定義：在四邊形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，則把四邊形ABCD叫做互補等對邊四邊形．（1）如圖2，在等腰中，AE=BE，四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，求證：∠ABD=∠BAC=∠AEB．（2）如圖3，在非等腰中，若四邊形ABCD仍是互補等對邊四邊形，試問∠ABD=∠BAC=∠AEB是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．2．（1）填空①把一張長方形的紙片按如圖①所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上，那么的度數(shù)是________；②把一張長方形的紙片按如圖②所示的方式折疊，點與點重合，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上，那么的度數(shù)是_______．（2）解答：①把一張長方形的紙片按如圖③所示的方式折疊，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線上左側(cè)，且，求的度數(shù)；②把一張長方形的紙片按如圖④所示的方式折疊，點與點重合，，為折痕，折疊后的點落在或的延長線右側(cè)，且，求的度數(shù)．（3）探究：把一張四邊形的紙片按如圖⑤所示的方式折疊，，為折痕，設，，，求，，之間的數(shù)量關系．3．如圖，若要判定紙帶兩條邊線a，b是否互相平行，我們可以采用將紙條沿AB折疊的方式來進行探究．（1）如圖1，展開后，測得，則可判定a//b，請寫出判定的依據(jù)_________；（2）如圖2，若要使a//b，則與應該滿足的關系是_________；（3）如圖3，紙帶兩條邊線a，b互相平行，折疊后的邊線b與a交于點C，若將紙帶沿（，分別在邊線a，b上）再次折疊，折疊后的邊線b與a交于點，AB//，，求出的長．4．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點的坐標，過點作軸，垂足為點，過點作直線軸，點從點出發(fā)在軸上沿著軸的正方向運動．（1）當點運動到點處，過點作的垂線交直線于點，證明，并求此時點的坐標；（2）點是直線上的動點，問是否存在點，使得以為頂點的三角形和全等，若存在求點的坐標以及此時對應的點的坐標，若不存在，請說明理由．5．如圖，在等邊中，線段為邊上的中線．動點在直線上時，以為一邊在的下方作等邊，連結(jié)．（1）求的度數(shù)；（2）若點在線段上時，求證：；（3）當動點在直線上時，設直線與直線的交點為，試判斷是否為定值？并說明理由．6．在等邊△ABC的頂點A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點時，另一只也停止運動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D、E處，請問：（1）如圖1，在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎，請證明？（2）如果將原題中的“由A向B和由C向A爬行”，改為“沿著AB和CA的延長線爬行”，EB與CD交于點Q，其他條件不變，蝸牛爬行過程中∠CQE的大小保持不變，請利用圖2說明：∠CQE=60°；（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，如圖3，則爬行過程中，證明：DF=EF7．已知ABC，P是平面內(nèi)任意一點（A、B、C、P中任意三點都不在同一直線上）．連接PB、PC，設∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y(tǒng)°．（1）如圖，當點P在ABC內(nèi)時，①若y＝70，s＝10，t＝20，則x＝；②探究s、t、x、y之間的數(shù)量關系，并證明你得到的結(jié)論．（2）當點P在ABC外時，直接寫出s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系，并畫出相應的圖形．8．某校七年級數(shù)學興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關系”進行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關系，并說明理由；（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點Q，∠A=64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點P，則∠BPC=゜，延長BC至點E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點R，則∠R=゜．9．如圖1，在等邊△ABC中，E、D兩點分別在邊AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于點F．（1）求∠AFE的度數(shù)；（2）過點A作AH⊥CE于H，求證：2FH+FD=CE；（3）如圖2，延長CE至點P，連接BP，∠BPC=30°，且CF=CP，求的值．（提示：可以過點A作∠KAF=60°，AK交PC于點K，連接KB）10．如圖1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直線DE經(jīng)過點C，過點A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點D和E，AD=8，BE=6．（1）①求證：△ADC≌△CEB；②求DE的長；（2）如圖2，點M以3個單位長度/秒的速度從點C出發(fā)沿著邊CA運動，到終點A，點N以8個單位長度/秒的速度從點B出發(fā)沿著線BC—CA運動，到終點A．M，N兩點同時出發(fā)，運動時間為t秒(t＞0)，當點N到達終點時，兩點同時停止運動，過點M作PM⊥DE于點P，過點N作QN⊥DE于點Q；①當點N在線段CA上時，用含有t的代數(shù)式表示線段CN的長度；②當t為何值時，點M與點N重合；③當△PCM與△QCN全等時，則t=．11．如圖，在中，，過點做射線，且，點從點出發(fā)，沿射線方向均勻運動，速度為；同時，點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為，當點停止運動時，點也停止運動．連接，設運動時間為．解答下列問題：（1）用含有的代數(shù)式表示和的長度；（2）當時，請說明；（3）設的面積為，求與之間的關系式．12．如圖，在中，，，點D在邊BC上運動（點D不與點重合），連接AD，作，DE交邊AC于點E．（1）當時，，（2）當DC等于多少時，，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出的度數(shù)；若不可以，請說明理由．13．在△ABC中，已知∠A＝α．（1）如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D．求∠BDC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，求∠BFC的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M（如圖3），求∠BMC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．14．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，的內(nèi)角的平分線和外角的平分線相交于點。①當時，則②當時，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）﹔（2）應用：如圖2，直線與直線垂直相交于點，點在射線上運動（點不與點重合），點在射線上運動（點不與點重合），延長至，已知的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，在中，如果一個角是另一個角的倍，請直接寫出的度數(shù).15．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點在一條直線上，連接，相交于點，求證：．（2）如圖2，在中，若，分別以，和為邊在外部作等邊，等邊，等邊，連接、、恰交于點．①求證：；②如圖2，在（2）的條件下，試猜想，，與存在怎樣的數(shù)量關系，并說明理由．16．探究發(fā)現(xiàn)：如圖①，在中，內(nèi)角的平分線與外角的平分線相交于點．（1）若，則；若，則；（2）由此猜想：與的關系為(不必說明理由)．拓展延伸：如圖②，四邊形的內(nèi)角與外角的平分線相交于點，．（3）若，，求的度數(shù)，由此猜想與，之間的關系，并說明理由．17．直線與相互垂直，垂足為點，點在射線上運動，點在射線上運動，點、點均不與點重合．（1）如圖1，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，的反向延長線交于點．①若，則______度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點、在運動的過程中，是否發(fā)生變化，若不變，試求的度數(shù)：若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點在的延長線上，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出的度數(shù)．18．已知在中，，點在上，邊在上，在中，邊在直線上，；（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，將沿射線的方向平移，當點在上時，求度數(shù)；（3）將在直線上平移，當以為頂點的三角形是直角三角形時，直接寫出度數(shù)．19．完全平方公式：適當?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學問題．例如：若，求的值．解：因為所以所以得．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若，求的值；（2）①若,則；②若則；（3）如圖，點是線段上的一點，以為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．20．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=60°，則∠1+∠2=；（2）若點P在線段AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關系為；（3）若點P運動到邊AB的延長線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由；（4）若點P運動到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、壓軸題1．（1）見解析；（2）仍然成立，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和互補等對邊四邊形的定義可利用SAS證明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，從而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠AEB，進一步可得結(jié)論；（2）如圖3所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)，根據(jù)互補等對邊四邊形的定義可利用AAS證明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，進一步即可根據(jù)HL證明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互補等對邊四邊形的定義、平角的定義和四邊形的內(nèi)角和可得∠AEB+∠DHC=180°，進而可得∠AEB=∠BHC，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可推出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，∴AD=BC，在△ABD和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，∴△ABD≌△BAC(SAS)，∴∠ADB=∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠ADB=∠BCA=90°，在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=（180°?∠AEB）=90°?∠AEB，∴∠ABD=90°?∠EAB=90°?(90°?∠AEB)=∠AEB，同理：∠BAC=∠AEB，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；（2）∠ABD=∠BAC=∠AEB仍然成立；理由如下：如圖3所示：過點A、B分別作BD的延長線與AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)，∵四邊形ABCD是互補等對邊四邊形，∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，又∠ADB+∠ADG=180°，∴∠BCA=∠ADG，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD=∠BFC=90°，在△AGD和△BFC中，∠AGD=∠BFC，∠ADG=∠BCA，AD=BC∴△AGD≌△BFC（AAS），∴AG=BF，在Rt△ABG和Rt△BAF中，∴Rt△ABG≌Rt△BAF（HL），∴∠ABD=∠BAC，∵∠ADB+∠BCA=180°，∴∠EDB+∠ECA=180°，∴∠AEB+∠DHC=180°，∵∠DHC+∠BHC=180°，∴∠AEB=∠BHC．∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．【點睛】本題以新定義互補等對邊四邊形為載體，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和等知識，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關鍵．2．，；，；，.【解析】【分析】（1）①如圖①知，得可求出解.②由圖②知得可求出解.（2）①由圖③折疊知，可推出，即可求出解.②由圖④中折疊知，可推出，即可求出解.（3）如圖⑤-1、⑤-2中分別由折疊可知，、，即可求得、.【詳解】解：（1）①如圖①中，，，，故答案為.②如圖②中，，，故答案為.（2）①如圖③中由折疊可知，，，，，；②如圖④中根據(jù)折疊可知，，，，，，；（3）如圖⑤-1中，由折疊可知，，；如圖⑤-2中，由折疊可知，，.【點睛】本題考查了圖形的變換中折疊屬全等變換，圖形的角度及邊長不變及一些角度的計算問題，突出考查學生的觀察能力、思維能力以及動手操作能力，本題是代數(shù)、幾何知識的綜合運用典型題目.3．（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案；（3）分兩種情況：①當B1在B的左側(cè)時，如圖2，當B1在B的右側(cè)時，如圖3，分別求出的長，即可得到答案．【詳解】（1）∵，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）如圖1，由折疊的性質(zhì)得：∠3=∠4，若a∥b，則∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a∥b，則與應該滿足的關系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①當B1在B的左側(cè)時，如圖2，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC-AA1=7-3=4；②當B1在B的右側(cè)時，如圖3，∵AB//，a∥b，∴AA1=BB1=3，∴=AC+AA1=7+3=10．綜上所述：=4或10．【點睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，掌握“平行線間的平行線段長度相等”是解題的關鍵．4．（1）證明見解析；；（2）存在，，或，或，或，或，或，．【解析】【分析】（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得△ABP≌△PCD，由全等三角形的對應邊相等證得AP＝DP，DC＝PB＝3，易得點D的坐標；（2）設P（a，0），Q（2，b）．需要分類討論：①AB＝PC，BP＝CQ；②AB＝CQ，BP＝PC．結(jié)合兩點間的距離公式列出方程組，通過解方程組求得a、b的值，得解．【詳解】（1）軸在和中，（2）設，①，，解得或，或，或，或，②，，，解得，或，綜上：，或，或，或，或，或，【點睛】考查了三角形綜合題．涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，兩點間的距離公式，一元一次絕對值方程組的解法等知識點．解答（2）題時，由于沒有指明全等三角形的對應邊（角），所以需要分類討論，以防漏解．5．（1）30°；（2）證明見解析；（3）是定值，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以直接得出結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出，，，，由等式的性質(zhì)就可以，根據(jù)就可以得出；（3）分情況討論：當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，就可以求出結(jié)論；當點在線段的延長線上時，如圖2，可以得出而有而得出結(jié)論；當點在線段的延長線上時，如圖3，通過得出同樣可以得出結(jié)論．【詳解】（1）是等邊三角形，．線段為邊上的中線，，．（2）與都是等邊三角形，，，，，．在和中，；（3）是定值，，理由如下：①當點在線段上時，如圖1，由（2）可知，則，又，，是等邊三角形，線段為邊上的中線平分，即．②當點在線段的延長線上時，如圖2，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，．③當點在線段的延長線上時，與都是等邊三角形，，，，，，在和中，，，同理可得：，∵，．綜上，當動點在直線上時，是定值，．【點睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形三線合一的性質(zhì)，解題中注意分類討論的思想解題.6．（1)相等，證明見解析；（2)證明見解析；（3)證明見解析．【解析】【分析】（1）先證明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性質(zhì)即可證得CD=BE；（2）先證明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如圖3，過點D作DG∥BC交AC于點G，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，可以證得AD=DG=CE；進而證明△DGF和△ECF全等，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）解：CD和BE始終相等，理由如下：如圖1，AB=BC=CA，兩只蝸牛速度相同，且同時出發(fā)，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD與△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始終相等；（2）證明：根據(jù)題意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行過程中，DF始終等于EF是正確的，理由如下：如圖，過點D作DG∥BC交AC于點G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，∴△ADG為等邊三角形，∴AD=DG=CE，在△DGF和△ECF中，∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC∴△DGF≌△EDF（AAS），∴DF=EF.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；題弄懂題中所給的信息，再根據(jù)所提供的思路尋找證明條件是解答本題的關鍵．7．（1）①100；②x=y+s+t；（2）見詳解．【解析】【分析】（1）①利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題；②結(jié)論：x=y+s+t．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；（2）分6種情形分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）①∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=110°，∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，∴∠PBC+∠PCB=80°，∴∠BPC=100°，∴x=100，故答案為：100．②結(jié)論：x=y+s+t．理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC，∴x=y+s+t．（2）s、t、x、y之間所有可能的數(shù)量關系：如圖1：s+x=t+y；如圖2：s+y=t+x；如圖3：y=x+s+t；如圖4：x+y+s+t=360°；如圖5：t=s+x+y；如圖6：s=t+x+y；【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．8．（1）122°；（2）；（3）；（4）119，29；【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用與表示出，再利用與表示出，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出與，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）根據(jù)（1），（3）的結(jié)論可以得出∠BPC的度數(shù)；根據(jù)（2）的結(jié)論可以得到∠R的度數(shù)．【詳解】解：（1）、分別平分和，，，，，，，，故答案為：；（2）如圖2示，和分別是和的角平分線，，，又是的一外角，，，是的一外角，；（3），，，，，結(jié)論．（4）由（3）可知，，再根據(jù)（1），可得；由（2）可得：;故答案為：119，29．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關鍵．9．（1）∠AFE=60°；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）通過證明得到對應角相等，等量代換推導出；（2）由（1）得到，則在中利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，等量代換可得；（3）通過在PF上取一點K使得KF=AF，作輔助線證明和全等，利用對應邊相等，等量代換得到比值.(通過將順時針旋轉(zhuǎn)60°也是一種思路.)【詳解】（1）解：如圖1中．∵為等邊三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，在和中，，∴（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）證明：如圖1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一點K使得KF=AF，連接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK為等邊三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在和中，，∴(SAS)，∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴，∴，∵∴.【點睛】掌握等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，及三角形全等的判定通過一定等量代換為本題的關鍵.10．（1）①證明見解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=【解析】【分析】（1）①先證明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①當點N在線段CA上時，根據(jù)CN＝CN?BC即可得出答案；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得t＝2即可；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，則CM＝CN，得3t＝10?8t，解得t＝1011；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，則3t＝8t?10，解得t＝2；即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①當點N在線段CA上時，如圖3所示：CN＝CN?BC＝8t?10；②點M與點N重合時，CM＝CN，即3t＝8t?10，解得：t＝2，∴當t為2秒時，點M與點N重合；③分兩種情況：當點N在線段BC上時，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10?8t，解得：t＝；當點N在線段CA上時，△PCM≌△QCN，點M與N重合，CM＝CN，則3t＝8t?10，解得：t＝2；綜上所述，當△PCM與△QCN全等時，則t等于s或2s，故答案為：s或2s．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、分類討論等知識；本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．11．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）見解析；（3）S=16-2t．【解析】【分析】（1）直接根據(jù)距離=速度時間即可；（2）通過證明，得到∠PQC=∠BCQ，即可求證；（3）過點C作CM⊥AB，垂足為M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CM=AM=4，即可求解．【詳解】解：（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）當t=2時，CP=3t=6，BQ=8-t=6∴CP=BQ∵CD∥AB∴∠PCQ=∠BQC又∵CQ=QC∴∴∠PQC=∠BCQ∴PQ∥BC（3）過點C作CM⊥AB，垂足為M∵AC=BC，CM⊥AB∴AM=（cm）∵AC=BC，∠ACB=∴∠A=∠B=∵CM⊥AB∴∠AMC=∴∠ACM=∴∠A=∠ACM∴CM=AM=4（cm）∴因此，S與t之間的關系式為S=16-2t．【點睛】此題主要考查列代數(shù)式、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握邏輯推理是解題關鍵．12．（1）30，100；（2），見解析；（3）可以，或【解析】【分析】（1）根據(jù)平角的定義，可求出∠EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)和定理，即可求出∠DEC；（2）當AB=DC時，利用AAS可證明ΔABD?ΔDCE，即可得出AB=DC=3；（3）假設ΔADE是等腰三角形，分為三種情況討論：①當DA=DE時，求出∠DAE=∠DEA=70°，求出∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BDA即可；②當AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，根據(jù)∠AED>∠C，得出此時不符合；③當EA=ED時，求出∠DAC，求出∠BAD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ADB．【詳解】（1）在△BAD中，∵∠B=50°,∠BDA=100°，∴，．故答案為，．（2）當時，，理由如下：∵，∴∵，∴∵∴在和中∴（3）可以，理由如下：∵，∴分三種情況討論：①當時，∵，∴∴∵∴②當時，∵∴又∵∴∴點D與點B重合，不合題意．③當時，∴∵∴綜上所述，當?shù)亩葦?shù)為或時，是等腰三角形．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．13．（1）∠BDC＝90°+；（2）∠BFC＝；（3）∠BMC＝90°+．【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可求∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，由角平分線的性質(zhì)可求∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，由三角形的內(nèi)角和定理可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，由三角形的外角性質(zhì)可求解；（3）由折疊的性質(zhì)可得∠G＝∠BFC＝，方法同（1）可求∠BMC＝90°+，即可求解.【詳解】解：（1）∵∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠DBC+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝90°+；（2）∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點F，∴∠FBC＝∠ABC，∠FCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠FCE＝∠BFC+∠FBC，∴∠BFC＝∠A＝；（3）∵∠GBC的平分線與∠GCB的平分線交于點M，∴方法同（1）可得∠BMC＝90°+，∵將△FBC以直線BC為對稱軸翻折得到△GBC，∴∠G＝∠BFC＝，∴∠BMC＝90°+.【點睛】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，角平分線的性質(zhì)定理，折疊的性質(zhì).14．（1）①25°；②；（2）．【解析】【分析】（1）①利用外角和性質(zhì)∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，再利用角平分線的定義進行等量代換即可；②與①同理可得；（2）根據(jù)題意分情況進行討論，用到（1）的結(jié)論計算即可【詳解】（1）①∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠OCD＝2∠OBC＋∠A，∴∠A＝2∠BOC，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝∠A＝25°，故填：25°；②，且平分平分（2）的角平分線與的角平分線所在的直線相交于，符合題意的情況有兩種：①根據(jù)（1）可知：②根據(jù)（1）可知：【點睛】本題考查三角形外角和的性質(zhì)、角平分線的定義，利用分類討論的數(shù)學思想是關鍵．15．（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②，理由詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，進而得出∠BCE=∠ACD，判斷出（SAS），即可得出結(jié)論；（2）①同（1）的方法判斷出（SAS），（SAS），即可得出結(jié)論；②先判斷出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一點M，使PM=PC，證明是等邊三角形，進而判斷出（SAS），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴（SAS），∴BE=AD；（2）①證明：∵和是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴（SAS），∴AD=BE，同理：（SAS），∴AD=CF，即AD=BE=CF；②解：結(jié)論：PB+PC+PD=BE，理由：如圖2，AD與BC的交點記作點Q，則∠AQC=∠BQP，由①知，，∴∠CAD=∠CBE，在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，∴∠CBE+∠BQP=120°，在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，∴∠DPE=60°，同理：∠APC=60°，∠CPD=120°，在PE上取一點M，使PM=PC，∴是等邊三角形，∴，∠PCM=∠CMP=60°，∴∠CME=120°=∠CPD，∵是等邊三角形，∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，∴∠PCD=∠MCE，∴（SAS），∴PD=ME，∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關鍵．16．（1）40°25°；（2）(或)（3）=【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角平分線寫出對應的等式關系，再分別寫出兩個三角形內(nèi)角和的等式關系，最后聯(lián)立兩等式化解，將的角度帶入即可求解；（2）由（1）可得，即可求解；（3）在與的平分線相交于點，可知，又因為，兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出，再根據(jù)三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得出，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出，最后在中：，代入整理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由題可知：BE為的角平分線，CE為的角平分線，=2=2，=2，，三角形內(nèi)角和等于，在中：，即：，①，在中：，即：，②，綜上所述聯(lián)立①②，由①-②×2可得：，，，，當，則；當，則；故答案為，；（2）由（1）知：(或)；（3）∵與的平分線相交于點，∴，，又∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵是的一個外角，∴（三角形一外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和），在四邊形中，四邊形內(nèi)角和為，，，∴，∴①，∴，即，在中：，，由上可得：，②，又∵，∴，，，由①②可得，，，．【點睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)的應用和角平分線的定義，能正確運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關鍵，注意三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．17．（1）135°；（2）①45°；②不變；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】靈活運用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和；（1）求出，，根據(jù)，即可解決問題；（2）①求出，，根據(jù)，即可求出的值；②根據(jù)即可得出結(jié)論；（3）首先證明，，再分四種情況討論①當時，②時，③時，④時，分別計算，符合題意得保留即可．【詳解】解：（1）如圖1中，，，，，又平分，平分，，，，（2）如圖2中：①（三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角和），平分，平分，，，，；②結(jié)論：點A、B在運動過程中，，理由：點A、B在運動過程中，的角度不變，；（3）如圖3中，的角平分線、的角平分線與的角平分線所在的直線分別相交于的點、，，，又為平角，，，，又在中：，﹤，在中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，則：①當時，，此時，②時，，，此時（不符合題意舍去），③時，，此時，④時，，此時（不符合