小學(xué)生奧數(shù)面積專題訓(xùn)練第19周題庫一、本周訓(xùn)練目標(biāo)1.鞏固長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積公式，能靈活運(yùn)用公式解決基礎(chǔ)問題；2.掌握割補(bǔ)法（分割與拼接）、等積變換（同底等高/等底同高三角形面積相等）、整體減部分（陰影面積=總面積-空白面積）等核心技巧；3.能解決組合圖形（如長方形與正方形拼接、三角形與梯形組合）的面積問題，培養(yǎng)空間想象能力；4.初步學(xué)會(huì)用設(shè)未知數(shù)、線段比例等方法解決復(fù)雜面積問題。二、基礎(chǔ)鞏固篇（5題）題1：長方形的長是寬的2倍，周長是30厘米，求面積。題2：正方形的邊長增加3厘米后，面積增加了39平方厘米，原正方形面積是多少？題3：三角形的底擴(kuò)大到原來的3倍，高縮小到原來的1/2，面積變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮款}4：平行四邊形的底是8厘米，高是底的1/2，與它等底等高的三角形面積是多少？題5：梯形的上底是5厘米，下底是上底的2倍，高是4厘米，求面積。三、能力提升篇（5題）題6：如圖1（想象圖：由一個(gè)長方形和一個(gè)正方形拼成，長方形長6厘米、寬4厘米，正方形邊長4厘米，拼成的圖形是長方形右邊接正方形，總寬度為4厘米，總長度為6+4=10厘米？不，等一下，應(yīng)該是長方形的寬與正方形的邊長相等，所以拼成的組合圖形是一個(gè)“L”形嗎？或者長方形和正方形并排，長分別為6和4，寬都是4，那么組合圖形的面積是長方形面積加正方形面積，即6×4+4×4=24+16=40平方厘米。對(duì)，這樣的題目是組合圖形的基礎(chǔ)，用加法求面積。題7：如圖2（想象圖：一個(gè)邊長為10厘米的正方形，內(nèi)部有一個(gè)邊長為6厘米的正方形，位于角落，求陰影部分面積）。陰影部分面積=大正方形面積-小正方形面積，即10×10-6×6=____=64平方厘米。這是“整體減部分”的基本應(yīng)用。題8：如圖3（想象圖：三角形ABC，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接BE，求三角形BDE的面積占三角形ABC面積的幾分之幾）。思路：D是BC中點(diǎn)，所以AD是中線，三角形ABD面積=三角形ADC面積=1/2三角形ABC面積；E是AD中點(diǎn)，所以BE是中線，三角形BDE面積=三角形BAE面積=1/2三角形ABD面積，因此三角形BDE面積=1/2×1/2三角形ABC面積=1/4。題9：如圖4（想象圖：梯形ABCD，上底AB=4厘米，下底CD=8厘米，高AE=5厘米，對(duì)角線AC把梯形分成兩個(gè)三角形，求三角形ABC和三角形ADC的面積比）。思路：三角形ABC和三角形ADC的高都是梯形的高（因?yàn)槎家訟C為對(duì)角線，其實(shí)應(yīng)該是它們的底分別是AB和CD，高都是梯形的高嗎？等一下，三角形ABC的底是AB=4厘米，高是梯形的高嗎？是的，因?yàn)樘菪蔚母呔褪巧舷碌字g的距離，所以三角形ABC的高=梯形的高=5厘米，面積=1/2×4×5=10平方厘米；三角形ADC的底是CD=8厘米，高也是梯形的高=5厘米，面積=1/2×8×5=20平方厘米，所以面積比是10:20=1:2?；蛘吒唵危叩膬蓚€(gè)三角形，面積比等于底的比，即AB:CD=4:8=1:2，所以面積比是1:2。題10：如圖5（想象圖：一個(gè)長方形，長12厘米，寬8厘米，里面有一個(gè)平行四邊形，底邊是長方形的長的一部分，長6厘米，高是長方形的寬的一部分，高4厘米，求陰影部分面積）。陰影部分面積=長方形面積-平行四邊形面積=12×8-6×4=96-24=72平方厘米。四、思維拓展篇（5題）題11：如圖6（想象圖：由三個(gè)正方形組成，邊長分別為3厘米、5厘米、7厘米，拼成一個(gè)“階梯”形，求整個(gè)圖形的面積）。思路：三個(gè)正方形的面積相加，即3×3+5×5+7×7=9+25+49=83平方厘米。或者如果是拼成一個(gè)大的組合圖形，比如小正方形在中間，中等在左邊，大的在右邊，只要不重疊，面積就是各部分之和。題12：如圖7（想象圖：三角形ABC，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，連接AD、BE，求三角形BDE的面積）。思路：先求三角形ABC的面積，D是BC中點(diǎn)，所以AD是高，BD=6厘米，AD=√(AB2-BD2)=√(____)=8厘米，三角形ABC面積=1/2×12×8=48平方厘米。E是AC中點(diǎn)，所以AE=EC=5厘米，連接BE，三角形BEC的面積=1/2三角形ABC面積=24平方厘米（因?yàn)橥譈C，高是三角形ABC高的1/2？不，E是AC中點(diǎn)，所以三角形BEC和三角形BEA的面積相等，都是1/2三角形ABC面積）。D是BC中點(diǎn)，所以三角形BDE和三角形CDE的面積相等，都是1/2三角形BEC面積=12平方厘米。所以答案是12平方厘米。題13：如圖8（想象圖：平行四邊形ABCD，AB=6厘米，AD=4厘米，角A=60度，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，連接EF，求三角形AEF的面積）。思路：先求平行四邊形的面積，高=AD×sin60°=4×(√3/2)=2√3厘米，面積=AB×高=6×2√3=12√3平方厘米。三角形AEF的底AE=AB/2=3厘米，高是AD上的高嗎？不，F(xiàn)是AD中點(diǎn)，所以AF=AD/2=2厘米，角A=60度，所以三角形AEF的面積=1/2×AE×AF×sin60°=1/2×3×2×(√3/2)=(3√3)/2平方厘米?；蛘哂闷叫兴倪呅蚊娣e的比例，平行四邊形面積=底×高，三角形AEF的面積是平行四邊形面積的1/8？因?yàn)锳E=1/2AB，AF=1/2AD，角A相同，所以面積是1/2×1/2×1/2平行四邊形面積=1/8×12√3=(3√3)/2，對(duì)的。題14：如圖9（想象圖：梯形ABCD，上底AB=5厘米，下底CD=10厘米，高6厘米，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，求三角形AOB的面積）。思路：梯形的對(duì)角線把梯形分成四個(gè)三角形，其中三角形AOB和三角形COD相似，相似比=AB:CD=5:10=1:2，面積比=1:4。設(shè)三角形AOB的面積為x，則三角形COD的面積為4x。三角形AOD和三角形BOC的面積相等，設(shè)為y，因?yàn)樗鼈兊鹊椎雀撸ㄒ訟D和BC為底，高都是梯形的高的一部分？或者因?yàn)槿切蜛BD和三角形ABC的面積相等，都等于梯形面積的1/2，所以三角形ABD-三角形AOB=三角形ABC-三角形AOB，即三角形AOD=三角形BOC=y）。梯形面積=1/2×(5+10)×6=45平方厘米，所以x+y+y+4x=45→5x+2y=45。又因?yàn)槿切蜛OB和三角形AOD的高相同，底分別是OB和OD，所以面積比=OB:OD=AB:CD=1:2（因?yàn)橄嗨迫切蔚膶?duì)應(yīng)邊比），所以x:y=1:2→y=2x。代入上式，5x+2×2x=45→9x=45→x=5。所以三角形AOB的面積是5平方厘米。題15：如圖10（想象圖：兩個(gè)邊長為5厘米的正方形，拼成一個(gè)長方形，其中一個(gè)正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，求重疊部分的面積）。思路：正方形的中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以重疊部分是一個(gè)四邊形，連接中心到兩邊的垂線，形成一個(gè)小正方形，邊長為5/2=2.5厘米，面積=2.5×2.5=6.25平方厘米。或者用旋轉(zhuǎn)的方法，重疊部分的面積等于正方形面積的1/4，因?yàn)橹行牡竭叺木嚯x是邊長的1/2，所以重疊部分是一個(gè)邊長為邊長1/2的正方形，面積=(5/2)2=25/4=6.25平方厘米。五、解題思路與答案基礎(chǔ)鞏固篇題1：思路：設(shè)寬為\(x\)厘米，則長為\(2x\)厘米。周長\(=2(x+2x)=6x=30\)，解得\(x=5\)，長為\(10\)厘米。面積\(=5×10=50\)平方厘米。答案：50平方厘米。題2：思路：設(shè)原邊長為\(x\)厘米，新邊長為\(x+3\)厘米。面積差\(=(x+3)2-x2=6x+9=39\)，解得\(x=5\)。原面積\(=5×5=25\)平方厘米。答案：25平方厘米。題3：思路：原面積\(=\frac{1}{2}×底×高\(yùn))，變化后面積\(=\frac{1}{2}×3底×\frac{1}{2}高=\frac{3}{4}×原面積\)。答案：\(\frac{3}{4}\)倍。題4：思路：平行四邊形高\(yùn)(=8×\frac{1}{2}=4\)厘米，等底等高三角形面積\(=\frac{1}{2}×8×4=16\)平方厘米。答案：16平方厘米。題5：思路：下底\(=5×2=10\)厘米，面積\(=\frac{1}{2}×(5+10)×4=30\)平方厘米。答案：30平方厘米。能力提升篇題6：思路：組合圖形由長方形（6×4）和正方形（4×4）組成，面積相加。\(6×4+4×4=24+16=40\)平方厘米。答案：40平方厘米。題7：思路：陰影面積\(=大正方形面積-小正方形面積\)。\(10×10-6×6=100-36=64\)平方厘米。答案：64平方厘米。題8：思路：D是BC中點(diǎn)→\(S_{ABD}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)；E是AD中點(diǎn)→\(S_{BDE}=\frac{1}{2}S_{ABD}\)。故\(S_{BDE}=\frac{1}{4}S_{ABC}\)。答案：\(\frac{1}{4}\)。題9：思路：同高的兩個(gè)三角形（共梯形的高），面積比等于底的比。\(AB:CD=4:8=1:2\)，故面積比為\(1:2\)。答案：1:2。題10：思路：陰影面積\(=長方形面積-平行四邊形面積\)。\(12×8-6×4=96-24=72\)平方厘米。答案：72平方厘米。思維拓展篇題11：思路：三個(gè)正方形面積之和。\(32+52+72=9+25+49=83\)平方厘米。答案：83平方厘米。題12：思路：先求\(S_{ABC}=\frac{1}{2}×12×8=48\)平方厘米；E是AC中點(diǎn)→\(S_{BEC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=24\)平方厘米；D是BC中點(diǎn)→\(S_{BDE}=\frac{1}{2}S_{BEC}=12\)平方厘米。答案：12平方厘米。題13：思路：\(S_{AEF}=\frac{1}{2}×AE×AF×sin60°=\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)平方厘米（或用平行四邊形面積比例：\(\frac{1}{8}×12\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)）。答案：\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)平方厘米（或近似5.196平方厘米，若允許小數(shù)）。題14：思路：相似比\(1:2\)→面積比\(1:4\)，設(shè)\(S_{AOB}=x\)，則\(S_{COD}=4x\)，\(S_{AOD}=S_{BOC}=2x\)（面積比=相似比）。\(x+2x+2x+4x=45\)→\(x=5\)。答案：5平方厘米。題15：思