大學統(tǒng)計學期末模擬試題與講解一、模擬試題（一）選擇題（每題3分，共15分）1.下列屬于統(tǒng)計量的是（）A.總體均值μB.樣本均值$\bar{x}$C.總體方差$\sigma^2$D.總體比例π2.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$已知，$\sigma^2$未知，$X_1,X_2,\dots,X_n$為樣本，則下列統(tǒng)計量中服從標準正態(tài)分布的是（）A.$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$B.$\frac{\bar{X}-\mu}{s/\sqrt{n}}$C.$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}$D.$\frac{\bar{X}-\mu}{s}$3.關(guān)于無偏估計量，下列說法正確的是（）A.樣本方差$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$是總體方差$\sigma^2$的無偏估計B.樣本均值$\bar{X}$是總體均值$\mu$的無偏估計C.樣本中位數(shù)是總體均值$\mu$的無偏估計D.樣本比例$\hat{p}$不是總體比例π的無偏估計4.假設(shè)檢驗中，第一類錯誤（拒真錯誤）的概率是（）A.$\beta$B.$1-\beta$C.$\alpha$D.$1-\alpha$5.方差分析的主要目的是檢驗（）A.多個總體方差是否相等B.多個總體均值是否相等C.兩個總體均值是否相等D.兩個總體方差是否相等（二）填空題（每題3分，共15分）1.樣本空間是指隨機試驗中__________的集合。2.皮爾遜相關(guān)系數(shù)的取值范圍是__________。3.置信區(qū)間的置信水平是指__________的概率。4.回歸分析中，判定系數(shù)$R^2$表示__________的比例。5.抽樣誤差是由于__________引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。（三）計算題（每題10分，共30分）1.已知樣本數(shù)據(jù)：10,12,15,18,20，計算樣本均值、樣本方差和中位數(shù)。2.某總體服從正態(tài)分布$N(\mu,100)$，從該總體中抽取容量為25的樣本，樣本均值$\bar{x}=80$。求$\mu$的95%置信區(qū)間（$Z_{0.025}=1.96$）。3.某總體服從正態(tài)分布$N(\mu,100)$，原假設(shè)$H_0:\mu=75$，備擇假設(shè)$H_1:\mu\neq75$。從該總體中抽取容量為25的樣本，樣本均值$\bar{x}=80$，$\alpha=0.05$。請完成假設(shè)檢驗。（四）應(yīng)用題（每題20分，共40分）1.某超市記錄了5天的銷售額（單位：萬元）：12,15,18,21,24。計算該樣本的均值、中位數(shù)、極差和樣本方差。2.某企業(yè)研究廣告費用（$x$，單位：萬元）與銷售額（$y$，單位：萬元）的關(guān)系，收集到以下數(shù)據(jù)：$x$:2,3,4,5,6$y$:18,22,25,29,33（1）建立$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程；（2）檢驗回歸系數(shù)的顯著性（$\alpha=0.05$）。二、試題講解（一）選擇題講解1.答案：B講解：統(tǒng)計量是不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)。樣本均值$\bar{x}$由樣本數(shù)據(jù)計算得到，不含未知參數(shù)；而總體均值$\mu$、總體方差$\sigma^2$、總體比例π均為總體參數(shù)（未知或已知但非樣本函數(shù)），故排除A、C、D。2.答案：A講解：當總體正態(tài)且$\mu$已知時，$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\simN(0,1)$（標準正態(tài)分布）。B選項中$s$是樣本標準差（未知參數(shù)的估計量），故服從$t$分布；C、D選項分母未除以$\sqrt{n}$，不符合抽樣分布的形式。3.答案：B講解：無偏估計量的定義是期望等于總體參數(shù)。樣本均值$\bar{X}$的期望$E(\bar{X})=\mu$，故是$\mu$的無偏估計；A選項中樣本方差的無偏估計應(yīng)為$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$（分母為$n-1$），故A錯誤；C選項樣本中位數(shù)不是$\mu$的無偏估計（除非總體對稱）；D選項樣本比例$\hat{p}$是總體比例π的無偏估計（$E(\hat{p})=\pi$），故D錯誤。4.答案：C講解：第一類錯誤（拒真錯誤）是原假設(shè)$H_0$為真時，拒絕$H_0$的概率，記為$\alpha$；第二類錯誤（納偽錯誤）是$H_0$為假時，接受$H_0$的概率，記為$\beta$。故選C。5.答案：B講解：方差分析（ANOVA）的核心目的是檢驗多個總體均值是否相等（如三種不同營銷方案的銷售額均值是否相同）。其原理是通過分解總變異為組間變異和組內(nèi)變異，判斷組間變異是否顯著大于組內(nèi)變異。（二）填空題講解1.答案：所有可能結(jié)果講解：樣本空間是隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果的集合，通常用$\Omega$表示。例如，擲骰子的樣本空間為$\{1,2,3,4,5,6\}$。2.答案：$[-1,1]$講解：皮爾遜相關(guān)系數(shù)（PearsonCorrelationCoefficient）衡量兩個變量線性相關(guān)的強度和方向，取值范圍為$[-1,1]$：$r=1$：完全正線性相關(guān)；$r=-1$：完全負線性相關(guān)；$r=0$：無線性相關(guān)（但可能存在非線性相關(guān)）。3.答案：區(qū)間包含總體參數(shù)講解：置信區(qū)間是包含總體參數(shù)的隨機區(qū)間，置信水平（如95%）表示“在多次抽樣中，該區(qū)間包含總體參數(shù)的概率為95%”。注意：置信水平不是“總體參數(shù)落在該區(qū)間的概率”（總體參數(shù)是固定值）。4.答案：回歸平方和占總平方和講解：判定系數(shù)$R^2=\frac{SSR}{SST}$，其中$SSR$（回歸平方和）是因變量$y$由自變量$x$解釋的變異，$SST$（總平方和）是$y$的總變異。$R^2$反映回歸模型的擬合程度（$0\leqR^2\leq1$，$R^2$越接近1，擬合越好）。5.答案：抽樣的隨機性講解：抽樣誤差是樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異，其根源是抽樣的隨機性（如不同樣本會得到不同的$\bar{x}$）。抽樣誤差不可避免，但可通過增大樣本量減?。颖玖吭酱?，抽樣誤差越?。?。（三）計算題講解1.題目：計算樣本數(shù)據(jù)10,12,15,18,20的均值、樣本方差和中位數(shù)。答案：均值=15，樣本方差=17，中位數(shù)=15。講解：均值：$\bar{x}=\frac{10+12+15+18+20}{5}=15$；樣本方差：$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2=\frac{(10-15)^2+(12-15)^2+(15-15)^2+(18-15)^2+(20-15)^2}{5-1}=\frac{25+9+0+9+25}{4}=17$（分母用$n-1$是為了無偏估計）；中位數(shù)：將數(shù)據(jù)排序后中間的數(shù)（樣本量為奇數(shù)），排序后為10,12,15,18,20，中間數(shù)為15。2.題目：求$\mu$的95%置信區(qū)間（$\sigma^2=100$，$n=25$，$\bar{x}=80$，$Z_{0.025}=1.96$）。答案：(76.08,83.92)。講解：當總體正態(tài)且方差已知時，$\mu$的置信區(qū)間公式為：$$\bar{x}\pmZ_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$代入數(shù)據(jù)：$\sigma=10$（$\sigma^2=100$），$\sqrt{n}=5$，故邊際誤差為$1.96\times\frac{10}{5}=3.92$。因此，置信區(qū)間為$80\pm3.92$，即(76.08,83.92)。3.題目：檢驗$H_0:\mu=75$vs$H_1:\mu\neq75$（$\sigma^2=100$，$n=25$，$\bar{x}=80$，$\alpha=0.05$）。答案：拒絕$H_0$，認為總體均值不等于75。講解：步驟1：建立假設(shè)（$H_0$為原假設(shè)，$H_1$為備擇假設(shè)）；步驟2：選擇檢驗統(tǒng)計量（總體正態(tài)且方差已知，用$Z$統(tǒng)計量）：$$Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{80-75}{10/5}=2.5$$步驟3：確定臨界值（$\alpha=0.05$，雙側(cè)檢驗，$Z_{0.025}=1.96$）；步驟4：決策規(guī)則（$|Z|>Z_{\alpha/2}$時拒絕$H_0$）；步驟5：結(jié)論（$2.5>1.96$，拒絕$H_0$，認為$\mu\neq75$）。（四）應(yīng)用題講解1.題目：計算樣本數(shù)據(jù)12,15,18,21,24的均值、中位數(shù)、極差和樣本方差。答案：均值=18，中位數(shù)=18，極差=12，樣本方差=18。講解：均值：$\bar{x}=\frac{12+15+18+21+24}{5}=18$；中位數(shù)：排序后為12,15,18,21,24，中間數(shù)為18；極差：最大值-最小值=24-12=12；樣本方差：$s^2=\frac{1}{5-1}[(12-18)^2+(15-18)^2+(18-18)^2+(21-18)^2+(24-18)^2]=\frac{36+9+0+9+36}{4}=18$。2.題目：建立$y$關(guān)于$x$的線性回歸方程，并檢驗回歸系數(shù)的顯著性（$\alpha=0.05$）。數(shù)據(jù)：$x$:2,3,4,5,6；$y$:18,22,25,29,33。答案：（1）回歸方程為$y=8+4.5x$；（2）回歸系數(shù)顯著。講解：（1）建立線性回歸方程：線性回歸方程的形式為$y=a+bx$，其中：$b$（回歸系數(shù)）：表示$x$每增加1單位，$y$的平均變化量，計算公式為$b=\frac{\text{協(xié)方差}(x,y)}{\text{方差}(x)}$；$a$（截距）：表示$x=0$時$y$的預(yù)測值，計算公式為$a=\bar{y}-b\bar{x}$。計算過程：$\bar{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$，$\bar{y}=\frac{18+22+25+29+33}{5}=25.4$；協(xié)方差：$\text{cov}(x,y)=\frac{1}{5-1}[(2-4)(18-25.4)+(3-4)(22-25.4)+(4-4)(25-25.4)+(5-4)(29-25.4)+(6-4)(33-25.4)]=\frac{1}{4}[(-2)(-7.4)+(-1)(-3.4)+0+1*3.6+2*7.6]=\frac{1}{4}[14.8+3.4+0+3.6+15.2]=\frac{37}{4}=9.25$；方差：$\text{var}(x)=\frac{1}{5-1}[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2]=\frac{1}{4}[4+1+0+1+4]=\frac{10}{4}=2.5$；$b=\frac{9.25}{2.5}=3.7$？等一下，剛才計算協(xié)方差時可能出錯了，重新計算：哦，等一下，協(xié)方差的計算公式應(yīng)該是$\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$（未除以$n-1$，因為$b=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}$，不需要除以$n-1$）。讓我們重新計算：$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(2-4)(18-25.4)+(3-4)(22-25.4)+(4-4)(25-25.4)+(5-4)(29-25.4)+(6-4)(33-25.4)=(-2)(-7.4)+(-1)(-3.4)+0+1*3.6+2*7.6=14.8+3.4+0+3.6+15.2=37$；$\sum(x_i-\bar{x})^2=(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2=4+1+0+1+4=10$；所以$b=\frac{37}{10}=3.7$？不對，等一下，$y$的均值是不是算錯了？$18+22=40$，$25+29=54$，$33$，總和是$40+54+33=127$，$\bar{y}=127/5=25.4$，對的。那$x=2$時，$y=18$，$(2-4)(18-25.4)=(-2)(-7.4)=14.8$；$x=3$時，$(3-4)(22-25.4)=(-1)(-3.4)=3.4$；$x=4$時，$(4-4)(25-25.4)=0$；$x=5$時，$(5-4)(29-25.4)=1*3.6=3.6$；$x=6$時，$(6-4)(33-25.4)=2*7.6=15.2$，總和是$14.8+3.4+3.6+15.2=37$，對的。$\sum(x_i-\bar{x})^2=10$，所以$b=37/10=3.7$，$a=25.4-3.7*4=25.4-14.8=10.6$？那回歸方程是$y=10.6+3.7x$？等一下，可能我剛才的數(shù)據(jù)算錯了，再檢查一下：$x=2$時，$y=18$，$\bar{x}=4$，$\bar{y}=25.4$，$(2-4)=-2$，$(18-25.4)=-7.4$，乘積是14.8；$x=3$時，$(3-4)=-1$，$(22-25.4)=-3.4$，乘積是3.4；$x=4$時，$(4-4)=0$，$(25-25.4)=-0.4$，乘積是0；$x=5$時，$(5-4)=1$，$(29-25.4)=3.6$，乘積是3.6；$x=6$時，$(6-4)=2$，$(33-25.4)=7.6$，乘積是15.2；總和是14.8+3.4+0+3.6+15.2=37，對的。$\sum(x_i-\bar{x})^2=10$，所以$b=37/10=3.7$，$a=25.4-3.7*4=25.4-14.8=10.6$，回歸方程是$y=10.6+3.7x$。那預(yù)測$x=2$時，$\hat{y}=10.6+3.7*2=10.6+7.4=18$，對的；$x=3$時，$\hat{y}=10.6+3.7*3=10.6+11.1=21.7$？不對，$y=22$，殘差是0.3；$x=4$時，$\hat{y}=10.6+3.7*4=10.6+14.8=25.4$，$y=25$，殘差是-0.4；$x=5$時，$\hat{y}=10.6+3.7*5=10.6+18.5=29.1$，$y=29$，殘差是-0.1；$x=6$時，$\hat{y}=10.6+3.7*6=10.6+22.2=32.8$，$y=33$，殘差是0.2。那殘差平方和是$0.3^2+(-0.4)^2+(-0.1)^2+0.2^2=0.09+0.16+0.01+0.04=0.3$，對嗎？那回歸平方和$SSR=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^2$，$\hat{y}_1=18$，$\hat{y}_2=21.7$，$\hat{y}_3=25.4$，$\hat{y}_4=29.1$，$\hat{y}_5=32.8$，$\bar{y}=25.4$，所以$SSR=(18-25.4)^2+(21.7-25.4)^2+(25.4-25.4)^2+(29.1-25.4)^2+(32.8-25.4)^2=(-7.4)^2+(-3.7)^2+0+3.7^2+7.4^2=54.76+13.69+0+13.69+54.76=136.9$，總平方和$SST=\sum(y_i-\bar{y})^2=(18-25.4)^2+(22-25.4)^2+(25-25.4)^2+(29-25.4)^2+(33-25.4)^2=54.76+11.56+0.16+12.96+57.76=137.2$，所以$SSR=136.9$，$SSE=SST-SSR=137.2-136.9=0.3$，對的。那回歸系數(shù)的標準誤$se(b)=\sqrt{\frac{SSE}{(n-2)\sum(x_i-\bar{x})^2}}=\sqrt{\frac{0.3}{(5-2)*10}}=\sqrt{\frac{0.3}{30}}=\sqrt{0.01}=0.1$，所以$t$統(tǒng)計量$t=\frac{se(b)}=\frac{3.7}{0.1}=37$，臨界值$t_{0.025}(3)=3.182$，$37>3.182$，所以拒絕$H_0$，回歸系數(shù)顯著。哦，剛才我可能犯了計算錯誤，現(xiàn)在糾正過來了。（1）線性回歸方程：首先計算$x$和$y$的均值：$\bar{x}=4$，$\bar{y}=25.4$；計算協(xié)方差和$x$的方差：$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=37$（見上述計算）；$\sum(x_i-\bar{x})^2=10$（見上述計算）；因此，回歸系數(shù)$b=\frac{37}{10}=3.7$；截距$a=\bar{y}-b\bar{x}=25.4-3.7\times4=10.6$；故線性回歸方程為：$y=10.6+3.7x$。（2）回歸系數(shù)顯著性檢驗：原假設(shè)$H_0:\beta=0$（回歸系數(shù)為0，即$x$與$y$無線性關(guān)系）；備擇假設(shè)$H_1:\beta\neq0$（回歸系數(shù)不為0，