江蘇?？紨?shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作________。

A.A∩BB.A∪BC.A?BD.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口________。

A.向上B.向下C.平行D.無(wú)法確定

3.若復(fù)數(shù)z=a+bi，其中a、b為實(shí)數(shù)，則z的共軛復(fù)數(shù)記作________。

A.zB.-zC.z*D.bi

4.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+4)的值為_(kāi)_______。

A.0B.1/5C.3/5D.∞

5.函數(shù)f(x)=sin(x)在區(qū)間[0,2π]上的值域?yàn)開(kāi)_______。

A.[-1,1]B.[0,1]C.[-∞,∞]D.[1,2]

6.若向量a=(1,2)，向量b=(3,4)，則向量a和向量b的點(diǎn)積為_(kāi)_______。

A.5B.11C.7D.9

7.在三角函數(shù)中，sin(π/2-α)等于________。

A.sinαB.-sinαC.cosαD.-cosα

8.不等式|2x-1|<3的解集為_(kāi)_______。

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)

9.若直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)(1,3)，則直線l的方程為_(kāi)_______。

A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2x+3D.y=2x-3

10.在概率論中，事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)的值為_(kāi)_______。

A.0.7B.0.1C.0.8D.0.3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,∞)上連續(xù)的是________。

A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(x)C.f(x)=ln(x)D.f(x)=|x|

2.下列不等式中，正確的是________。

A.e^x>x^2(x>0)B.log_2(x)>log_2(y)(x>y>0)C.sin(x)>x(x>0)D.1+x>e^x(x>0)

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的是________。

A.f(x)=x^3B.f(x)=sqrt(x)C.f(x)=1/xD.f(x)=|x|

4.下列向量中，線性無(wú)關(guān)的是________。

A.a=(1,0,0)B.b=(0,1,0)C.c=(0,0,1)D.d=(1,1,1)

5.下列命題中，正確的是________。

A.若矩陣A可逆，則det(A)≠0B.若向量a和向量b線性相關(guān)，則存在不全為0的常數(shù)k1、k2，使得k1*a+k2*b=0C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值D.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)滿足f(2x)=3f(x)，且f(1)=2，則f(2)的值為_(kāi)_______。

2.微分方程y''-4y'+4y=0的一個(gè)通解為_(kāi)_______。

3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)到原點(diǎn)的距離為_(kāi)_______。

4.設(shè)A為3階矩陣，且det(A)=2，則矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式det(A*)為_(kāi)_______。

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+1)/(x^3+x)dx。

3.解微分方程y'+y=e^x。

4.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.計(jì)算行列式D=|123;456;789|的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C.A?B

解析：集合論中，A包含于B表示集合A的所有元素都屬于集合B，記作A?B。

2.A.向上

解析：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。

3.C.z*

解析：復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)定義為z*=a-bi。

4.B.1/5

解析：將分子分母同時(shí)除以x^2，得lim(x→∞)(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+4/x^2)=3/5。

5.A.[-1,1]

解析：正弦函數(shù)sin(x)的值域在任意區(qū)間[-π,π]內(nèi)都是[-1,1]。

6.B.11

解析：向量a和向量b的點(diǎn)積為a·b=1×3+2×4=11。

7.C.cosα

解析：根據(jù)三角函數(shù)的和差公式，sin(π/2-α)=cosα。

8.A.(-1,2)

解析：不等式|2x-1|<3可轉(zhuǎn)化為-3<2x-1<3，解得-1<x<2。

9.C.y=2x+3

解析：直線l的斜率為2，過(guò)點(diǎn)(1,3)，代入點(diǎn)斜式方程y-y1=m(x-x1)，得y-3=2(x-1)，即y=2x+3。

10.A.0.7

解析：事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B.f(x)=sin(x)D.f(x)=|x|

解析：f(x)=sin(x)是連續(xù)函數(shù)；f(x)=|x|也是連續(xù)函數(shù)；f(x)=1/x在x=0處不連續(xù)；f(x)=ln(x)在x≤0處無(wú)定義。

2.B.log_2(x)>log_2(y)(x>y>0)D.1+x>e^x(x>0)

解析：對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以log_2(x)>log_2(y)(x>y>0)成立；當(dāng)x>0時(shí)，1+x的增長(zhǎng)速度小于e^x的增長(zhǎng)速度，所以1+x>e^x(x>0)不成立。

3.A.f(x)=x^3B.f(x)=sqrt(x)

解析：f(x)=x^3和f(x)=sqrt(x)在其定義域內(nèi)都可導(dǎo)；f(x)=1/x在x=0處不可導(dǎo)；f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

4.A.a=(1,0,0)B.b=(0,1,0)C.c=(0,0,1)

解析：向量a、b、c是標(biāo)準(zhǔn)正交基，線性無(wú)關(guān)；向量d=(1,1,1)是向量a、b、c的線性組合，線性相關(guān)。

5.A.若矩陣A可逆，則det(A)≠0B.若向量a和向量b線性相關(guān)，則存在不全為0的常數(shù)k1、k2，使得k1*a+k2*b=0C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a,b]上必有最大值和最小值D.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

解析：以上四個(gè)命題都是正確的。

三、填空題答案及解析

1.6

解析：f(2)=3f(1)=3×2=6。

2.(x+1)^2e^(2x)

解析：特征方程為r^2-4r+4=0，解得r=2（重根），通解為y=(C1+C2x)e^(2x)。

3.sqrt(14)

解析：距離公式d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)=sqrt((1-0)^2+(2-0)^2+(3-0)^2)=sqrt(14)。

4.4

解析：det(A*)=det(A)^n-1=det(A)^2=2^2=4（n為矩陣階數(shù)）。

5.1/4

解析：紅桃有13張，總牌數(shù)為52張，概率為13/52=1/4。

四、計(jì)算題答案及解析

1.1/2

解析：利用洛必達(dá)法則，lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2=lim(x→0)(e^x-1)/2x=lim(x→0)e^x/2=1/2。

2.1/3x^3+x+ln|x|+C

解析：原式=∫(x^2/x+2x/x+1/x^2)dx=∫(x+2+1/x^2)dx=1/3x^3+2x-1/x+C。

3.y=e^x(C-cosx)

解析：這是一階線性非齊次微分方程，先解對(duì)應(yīng)的齊次方程y'+y=0，得y=Ce^-x，再用常數(shù)變易法，設(shè)y=ue^-x，代入原方程得u'+e^xu=sinx，積分得u=e^-x∫e^xsinxdx=-1/2e^-x(cosx+sinx)+C，所以y=e^x(-1/2(cosx+sinx)+C)。

4.最大值f(2)=0，最小值f(-1)=-10

解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0,2，f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，所以f(0)=2是極大值，f(2)=0是極小值；f(-1)=-10，f(3)=2，所以最大值為max{0,2,-10}=2，最小值為min{0,2,-10}=-10。

5.0

解析：按第一行展開(kāi)，D=1×|56;89|-2×|46;79|+3×|45;78|=1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(45-48)-2×(36-42)+3×(32-35)=-3+12-9=0。

知識(shí)點(diǎn)分類及總結(jié)

1.集合論：集合的包含關(guān)系、復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算、函數(shù)的基本性質(zhì)。

2.極限與連續(xù)：極限的計(jì)算（洛必達(dá)法則）、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的值域。

3.向量代數(shù)：向量的點(diǎn)積運(yùn)算、向量的線性相關(guān)性。

4.三角函數(shù)：三角函數(shù)的基本公式（和差公式）、三角函數(shù)的值域。

5.不等式：絕對(duì)值不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性。

6.直線方程：點(diǎn)斜式方程、直線的斜率。

7.概率論：互斥事件的概率計(jì)算。

8.微分方程：一階線性微分方程的解法。

9.矩陣與行列式：矩陣的行列式、伴隨矩陣的性質(zhì)、行列式的計(jì)算。

10.積分：不定積分的計(jì)算、有理函數(shù)的積分。

11.導(dǎo)數(shù)與最值：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（求極值和最值）、函數(shù)的單調(diào)性。

12.數(shù)列與級(jí)數(shù)：數(shù)列的極限、級(jí)數(shù)的收斂性。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念和基本公式的理解和記憶，例如集合論中的包含關(guān)系、三角函數(shù)的和差公式