18.2.1矩形第1課時矩形的性質課時目標1.通過操作活動發(fā)展學生的幾何直觀,增強學生主動探究的意識,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.2.經(jīng)歷探索矩形性質的過程,掌握矩形的性質定理,培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.達成目標1的標志:學生通過演示四邊形的不穩(wěn)定性,能說出什么時候出現(xiàn)特殊的平行四邊形,即矩形,并能用語言描述矩形的定義.達成目標2的標志:學生通過動手操作,能猜想并論證矩形的性質,并能運用性質獨立完成檢測練習.學習重點矩形的定義及性質.學習難點矩形性質的應用.課時活動設計回顧平行四邊形研究了哪些內容?平行四邊形的性質是從哪幾方面研究的?平行四邊形的性質與判定有什么聯(lián)系?思考我們還要研究哪些內容,請設計研究路徑.設計意圖:引導學生回顧平行四邊形性質及判定的研究路徑,讓學生回憶平行四邊形性質是從對稱性以及邊、角、對角線間的關系進行研究的,為矩形性質的研究提供研究思路,讓學生體會它們的研究路徑和方法是一致的.請拿出提前準備好的可滑動的平行四邊形學具,如下圖,改變平行四邊形的角度,在運動過程中四邊形還是平行四邊形嗎?為什么?在運動過程中四邊形不變的是什么?在運動過程中四邊形改變的是什么?在運動過程中有沒有出現(xiàn)特殊的情況?特殊在哪里?這種特殊的平行四邊形叫做矩形,你能試著給矩形下個定義嗎?定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.設計意圖:學生通過觀察平行四邊形的運動變化,在運動變化過程中找到平行四邊形的特例,讓學生體會矩形與平行四邊形的關系,通過分析、比較、交流,揭示事物的本質屬性,最后得出定義.培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力,學會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.探究矩形的性質:問題1:請設計矩形的研究路徑?并說一說你這樣設計的依據(jù).問題2:思考矩形是特殊的平行四邊形,那么矩形具有平行四邊形的性質嗎?你能列舉一些這樣的性質嗎?矩形還有特殊的性質嗎?應該如何進行研究?問題3:請先根據(jù)矩形的定義畫出標準的矩形,然后從要素間的關系,即邊、角、對角線的數(shù)量關系與位置關系,按照觀察—猜想—驗證—證明的順序對其性質進行研究.猜想:1.矩形的四個角都是直角;2.矩形的對角線相等.1.如圖,四邊形ABCD是矩形.求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.證明:由定義,可知矩形必有一個角是直角,設∠A=90°,∵AB∥CD,AD∥BC,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.2.如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相交于點O.求證:AC=DB.證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.∵BC=CB,∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.設計意圖:通過問題串的設計,讓學生體會知識間研究路徑與研究方法的相通之處,讓學生學會學習、學會思考.在證明性質的過程中,培養(yǎng)學生合情推理與演繹推理的能力.總結矩形性質的探索過程,你能用兩種語言表達這些性質嗎?1.文字語言:(1)矩形的四個角都是直角;(2)矩形的對角線相等.2.符號語言:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)如圖2,∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD.設計意圖:引導學生反思研究矩形性質的過程,體會幾何圖形研究路徑與研究方法的相通之處,體會發(fā)現(xiàn)、提出、證明一個幾何命題的一般方法.讓學生關注自己的思考過程和表達過程,以提高歸納概括的能力.再次理解定理:問題:如圖,根據(jù)矩形的性質我們知道OA=OB=OC=OD,在直角三角形ABC中你能發(fā)現(xiàn)一些特殊的性質嗎?你能用不同的語言描述這一性質嗎?解:能.BO=12理由:∵四邊形ABCD是矩形,∴AO=12AC,BO=12BD,AC∴AO=BO=CO=DO.∴BO=121.文字語言:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2.符號語言:如圖,在△ABC中,∵∠ABC=90°,AO=CO,∴BO=12設計意圖:讓學生再次感知性質,加深對矩形的性質的理解,通過從中抽象出直角三角形,得到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,感知矩形與直角三角形有密切的聯(lián)系,有助于學生生成系統(tǒng)化的知識,這樣符合數(shù)學由一般到特殊再到一般的認識規(guī)律,使學生較自然的獲得數(shù)學知識,較好地突破了本課時的難點.例題練習,鞏固理解先獨立完成教材第53頁例1,然后學生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.例如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,∠AOB=60°,AB=4,求矩形對角線的長.解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AC與BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°,∴△OAB是等邊三角形.∴OA=AB=4.∴AC=BD=2OA=8.設計意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學生運用知識的能力和推理能力,培養(yǎng)學生的語言表達能力,加深學生對性質的理解.本節(jié)課我們研究了矩形的定義和性質,請同學們帶著以下問題進行總結:(1)在探尋矩形的定義及性質時,你經(jīng)歷了怎樣的研究過程?這個過程中用到了哪些數(shù)學方法?積累了哪些活動經(jīng)驗?(2)在研究一個圖形時,圖形的定義、性質、判定是重要的研究問題,你能說一說矩形后續(xù)還會研究哪些內容嗎?怎樣研究呢?設計意圖:學生通過自主反思,可進一步加深對幾何圖形研究路徑與研究方法的理解,明確科學的探究方法要經(jīng)歷觀察—猜想—驗證—證明—得出結論的過程.反思是數(shù)學活動的核心和動力,只有以反思為核心的數(shù)學教育,才能使學生真正深入數(shù)學學習過程中,才能使學生真正抓住數(shù)學思維的內在實質.第1課時矩形的性質圖形邊角對角線對邊平行且相等對角相等,鄰角互補對角線互相平分具有平行四邊形所有的性質四個角都是90°對角線相等直角三角形的性質:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.知能演練提升能力提升1.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質是()A.對邊相等 B.對角相等C.對角線相等 D.對角線互相平分2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點,若EF+CH=8,則CH的值為()A.3 B.4 C.5 D.63.如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,以點B為圓心,BC的長為半徑畫弧交AD于點E,再分別以點C,E為圓心、大于12CE的長為半徑畫弧,兩弧交于點F,作射線BF交CD于點G,則CG的長為.4.如圖,將矩形紙片ABCD的四個角向內折起,恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,則邊AD的長是cm.

5.已知四邊形ABCD是矩形,點E是矩形ABCD的邊上的點,且EA=EC.若AB=6,AC=210,則DE的長是.

6.如圖,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一點,F是AB上的一點,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周長為32cm,求AE的長.7.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M,N,與邊AD交于點E,垂足為點O.(1)求證:△AOM≌△CON;(2)若AB=3,AD=6,請直接寫出AE的長.8.如圖,?ABCD的四個內角的平分線分別相交于點E,H,G,F,連接EG,FH.求證:EG=FH.創(chuàng)新應用9.如圖,在?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E是?ABCD外一點,且∠AEC=∠BED=90°.求證:?ABCD是矩形.★10.如圖,在△ABC中,點O是AC邊上(端點除外)的一個動點,過點O作直線MN∥BC.設MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F,連接AE,AF.那么當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?并證明你的結論.

知能演練·提升能力提升1.C2.B∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點H,E,F分別是邊AB,BC,CA的中點,∴EF=12AB,CH=12AB,∴∵EF+CH=8,∴CH=EF=12×8=43.103如圖,連接EG由題意知,BF是∠EBC的平分線,∴∠EBG=∠CBG.在△EBG和△CBG中,EB∴△EBG≌△CBG(SAS),∴GE=GC.在Rt△ABE中,AB=6,BE=BC=10,∴AE=BE2∴DE=AD-AE=10-8=2.在Rt△DGE中,DE=2,DG=DC-CG=6-CG,EG=CG,EG2-DE2=DG2,∴CG2-22=(6-CG)2,解得CG=1035.2343或∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=6,AD=BC,∠ABC=∠ADC=90°,∴BC=AC2-AB2當點E在CD上時,∵AE2=DE2+AD2=EC2,∴(6-DE)2=DE2+4,∴DE=83當點E在AB上時,不妨設此時點E為E',∵CE'2=BE'2+BC2=AE'2,∴AE'2=(6-AE')2+4,∴AE'=103∴DE'=AD綜上所述,DE=2346.解在Rt△AEF和Rt△DCE中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC,∴Rt△AEF≌Rt△DCE.∴AE=CD.∵矩形ABCD的周長為32cm,∴2(AD+CD)=2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).7.(1)證明∵MN是AC的垂直平分線,∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠M=∠N.在△AOM和△CON中,∠∴△AOM≌△CON(AAS).(2)解如圖,連接CE,∵MN是AC的垂直平分線,∴CE=AE.設AE=CE=x,則DE=6-x,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠CDE=90°,CD=AB=3.在Rt△CDE中,CD2+DE2=CE2,即32+(6-x)2=x2,解得x=154,即AE的長為158.分析要證對角線EG=FH,只需證四邊形EHGF是矩形.由已知條件可得∠EFG=∠AFB=90°,同理四邊形EHGF的其余三角也為直角,因此四邊形EHGF是矩形.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF,BF分別平分∠DAB,∠ABC,∴∠FAB=12∠DAB,∠FBA=12∠∴∠FAB+∠FBA=12×180°=90°∴∠EFG=∠AFB=90°.同理,四邊形EHGF的其余三角也為直角.∴四邊形EHGF是矩形,∴EG=FH.創(chuàng)新應用9.證明如圖,連接OE.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠AEC=∠BED=90°,∴OE=12AC=12∴AC=BD.∴?ABCD是矩形.10.分析如圖,當點O運動到AC的中點(或OA=OC)時,四邊形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行線的性質有∠1=∠3,等量代換有∠2=∠3,于是有OE=OC,同理OC=OF.于是OE=OF,而OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形.又CE