學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運用正弦、余弦定理解決航海測量中的實際問題.2.了解解三角形在物理中的應(yīng)用.3.掌握三角形的面積公式的簡單推導(dǎo)和應(yīng)用．知識點一航海中的測量問題思考在浩瀚無垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．閱讀教材，看看船只是如何表達(dá)位置和航向的？梳理方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角．方向角：從指定方向到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.知識點二解三角形在物理中的應(yīng)用思考我們知道，如圖中的向量eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).那么物理中的哪些量可以解釋為向量？梳理數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，某種角度上說，物理題實際上是數(shù)學(xué)應(yīng)用題，解物理題就是先把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，解決后再還原成實際問題的答案．知識點三三角形面積公式的拓展思考如果已知底邊和底邊上的高，可以求三角形面積．那么如果知道三角形兩邊及夾角，有沒有辦法求三角形面積？梳理在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則△ABC的面積S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB.類型一航海中的測量問題例1如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離？(角度精確到0.1°，距離精確到0.01nmile)反思與感悟解決航海問題一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不動點(三角形頂點)，然后根據(jù)條件，畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為解三角形問題．跟蹤訓(xùn)練1甲船在A點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，乙船以每小時a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時eq\r(3)a海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？類型二解三角形在物理中的應(yīng)用例2如圖所示，對某物體施加一個大小為10N的力F，這個力被分解到OA，OB兩個方向上，已知∠AOB＝120°，力F與OA的夾角為45°，求分力的大?。此寂c感悟解決物理等實際問題的步驟(1)把實際問題受力平衡用圖示表示．(2)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過正余弦定理解三角形．(3)把數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解．跟蹤訓(xùn)練2有一兩岸平行的河流，水速為1m/s，小船的速度為eq\r(2)m/s，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝________方向行駛．()A．與水速成45° B．與水速成135°C．垂直于對岸 D．不能確定類型三三角形面積公式的應(yīng)用命題角度1求面積例3在△ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S(精確到0.1cm2)：(1)已知a＝14.8cm，c＝23.5cm，B＝148.5°；(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16cm；(3)已知三邊的長分別為a＝41.4cm，b＝27.3cm，c＝38.7cm.反思與感悟三角形面積公式S＝eq\f(1,2)absinC，S＝eq\f(1,2)bcsinA，S＝eq\f(1,2)acsinB中含有三角形的邊角關(guān)系．因此求三角形的面積，與解三角形有密切的關(guān)系．首先根據(jù)已知，求出所需，然后求出三角形的面積．跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面積．命題角度2已知三角形面積例4在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，C＝eq\f(π,3).若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b.反思與感悟題目條件或結(jié)論中若涉及三角形的面積，要根據(jù)題意靈活選用三角形的面積公式．跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，已知半圓O的直徑為2，點A為直徑延長線上的一點，OA＝2，點B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC，求B在什么位置時，四邊形OACB的面積最大．1．一艘海輪從A處出發(fā)，以40nmile/h的速度沿南偏東40°方向直線航行，30min后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)nmile B．10eq\r(3)nmileC．20eq\r(2)nmile D．20eq\r(3)nmile2．已知三角形面積為eq\f(1,4)，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為()A．1B．2C.eq\f(1,2)D．43．作用于同一點的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡，已知|F1|＝30N，|F2|＝50N，F(xiàn)1和F2之間的夾角是60°，求F3的大小與方向．(精確到0.1°)1．在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解．2．解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考用方向角和方位角．知識點二思考力、速度、加速度、磁場強(qiáng)度等．知識點三思考在△ABC中，如果已知邊AB、BC和角B，邊BC上的高記為ha，則ha＝ABsinB．從而可求面積．題型探究類型一例1解在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根據(jù)余弦定理，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC)＝eq\r(67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos137°)≈113.15.根據(jù)正弦定理，eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠CAB＝eq\f(BCsin∠ABC,AC)≈eq\f(54.0sin137°,113.15)≈0.3255，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.所以此船應(yīng)該沿北偏東56.0°的方向航行，需要航行113.15nmile.跟蹤訓(xùn)練1解如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，則在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇．類型二例2解如圖，作eq\o(OF,\s\up6(→))＝F，eq\o(OG,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OC,\s\up6(→))＝F2，作?OGFC，由題設(shè)知|eq\o(OF,\s\up6(→))|＝10，∠FOG＝45°，∠AOB＝120°，則∠FOC＝∠AOB－∠FOG＝120°－45°＝75°，由?OGFC知，∠GFO＝∠FOC＝75°，在△FOG中，∠FGO＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得eq\f(OG,sin∠GFO)＝eq\f(OF,sin∠FGO)，即eq\f(OG,sin75°)＝eq\f(10,sin60°)，解得OG＝5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))，由正弦定理得eq\f(OF,sin∠OGF)＝eq\f(FG,sin∠FOG)，即eq\f(10,sin60°)＝eq\f(FG,sin45°)，解得FG＝eq\f(10\r(6),3).所以O(shè)A方向的力大小為5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))N，OB方向的力大小為eq\f(10\r(6),3)N.跟蹤訓(xùn)練2B[如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))為水速，eq\o(AD,\s\up6(→))為船在靜水中的速度，eq\o(AC,\s\up6(→))為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).依題意，當(dāng)eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))時，所走路程最短，現(xiàn)需求∠BAD，只要求∠CAD即可，在Rt△CAD中，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴sin∠CAD＝eq\f(|\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，且∠CAD為銳角．∴∠CAD＝45°，∴∠BAD＝45°＋90°＝135°.即小船應(yīng)朝與水速成135°的方向行駛．]類型三命題角度1例3解(1)應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S＝eq\f(1,2)×23.5×14.8×sin148.5°≈90.9(cm2)．(2)根據(jù)正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)，S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)b2eq\f(sinCsinA,sinB)，A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，S＝eq\f(1,2)×3.162×eq\f(sin65.8°sin51.5°,sin62.7°)≈4.0(cm2)．(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(38.72＋41.42－27.32,2×38.7×41.4)≈0.7697，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－0.76972)≈0.6384.應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×38.7×41.4×0.6384≈511.4(cm2)．跟蹤訓(xùn)練3解由正弦定理，得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(3),sinC)，∴sinC＝eq\f(\r(3),2).∵0°<C<180°，且AB＞AC，C＞B，∴C＝60°或120°.①當(dāng)C＝60°時，A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2)；②當(dāng)C＝120°時，A＝30°，S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×sin30°＝eq\f(\r(3),4).命題角度2例4解由余弦定理及已知條件，得a2＋b2－ab＝4，又因為△ABC的面積等于eq\r(3)，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得AB2＝12＋22－2×1×2cosα＝5－4cosα，α∈(0，π)，∴S＝S△AOB＋S△ABC＝eq\f(1,2)OA·OB·sinα＋eq\f(\r(3),4)AB2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＋eq\f(5,4)eq\r(3).當(dāng)α－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，α＝e