第十六節(jié)：典型應(yīng)用題（一）和倍差問題和差問題【例1】某糧店購進大米和面粉共24噸，已知大米比面粉多6噸。這個糧店購進大米和面粉各多少噸？思路引導(dǎo)大米和面粉共24噸，大米比面粉多6噸，如果給面粉添上6噸，總質(zhì)量為（24＋6）噸，正好是大米質(zhì)量的2倍，可以用除法求出大米的質(zhì)量。同樣的道理，把大米質(zhì)量減去6噸，這時的總質(zhì)量為（24－6）噸，正好是面粉質(zhì)量的2倍。正確解答：解法一：大米：（24＋6）÷2＝15（噸）面粉：24－15＝9（噸）解法二：面粉：（24－6）÷2＝9（噸）大米：24－9＝15（噸）答：這個糧店購進大米15噸，面粉9噸。解答和差問題關(guān)鍵：首先找出兩個數(shù)的和是多少，然后找出這兩個數(shù)的差是多少，再用兩數(shù)和加上兩數(shù)差等于大數(shù)的2倍，可求出大數(shù)，或者用兩數(shù)和減去兩數(shù)差等于小數(shù)的2倍，可求出小數(shù)。如果以上兩數(shù)和或兩數(shù)差沒有直接給出，必須根據(jù)已知條件先求出來?！咀兪?】1.甲、乙兩班共有學(xué)生98人，從甲班調(diào)出4人到乙班后，兩班人數(shù)相等。兩班原來各有多少人？【答案】甲班53人，乙班45人【解析】【分析】甲、乙兩班共有學(xué)生98人，從甲班調(diào)出4人到乙班后，兩班人數(shù)相等。那么可以設(shè)甲班有x人，則乙班有（98－x）人，列方程為：x－4＝98－x＋4，解得x＝53，即甲班有53人，那么乙班有98－53＝45人，據(jù)此解答。【詳解】解：設(shè)甲班有x人，則乙班有（98－x）人，x－4＝98－x＋4x－4＝102－xx－4＋4＝102－x＋4x＝106－xx＋x＝106－x＋x2x＝1062x÷2＝106÷2x＝5398－53＝45（人）答：原來甲班53人，乙班45人?！军c睛】本題考查用簡易方程解決實際問題。和倍問題【例2】甲班和乙班共有圖書160本。甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？思路引導(dǎo)設(shè)：乙班的圖書本數(shù)為1倍數(shù)，則甲班圖書為3倍數(shù)，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和是4倍數(shù)。4倍數(shù)的數(shù)量是160本，可以求出1倍數(shù)，即乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù)。下圖表示它們的關(guān)系：正確解答：160÷（3＋1）＝40（本）乙班40×3＝120（本）或160－40＝120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。【變式2】（2022六上·江蘇南京）2.南京長江大橋是長江上第一座由我國自行設(shè)計和建造的雙層式鐵路、公路兩用橋，它的主橋比南昌八一大橋主橋長得多，這兩座橋主橋共長5630米。兩座大橋的主橋各長多少米？【答案】南京長江大橋4590米；南昌八一大橋1040米【解析】【分析】把南京長江大橋主橋長度看作“1”，南昌八一大橋主橋長度占“1”的，根據(jù)兩座橋主橋共長5630米，可以計算出南京長江大橋主橋長度，最后計算南昌八一大橋主橋長度即可?！驹斀狻磕暇╅L江大橋：5630÷（1＋）＝5630÷＝5630×＝4590（米）南昌八一大橋：5630－4590＝1040（米）答：南京長江大橋主橋長4590米，南昌八一大橋主橋長1040米。【點睛】掌握單位“1”的計算方法是解答題目的關(guān)鍵。差倍問題【例3】甲班的圖書本數(shù)比乙班80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？思路引導(dǎo)如圖：把乙班的圖書本數(shù)看作1倍數(shù)，則甲班的圖書本數(shù)是3倍數(shù)，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍數(shù)。又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍數(shù)與80本相對應(yīng)，可以理解為2倍數(shù)是80，這樣可以算出1倍數(shù)是多少本。最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。正確解答：80（3－1）＝40（本）乙班403＝120（本）或40＋80＝120（本）甲班答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍數(shù)，再畫圖確定解題方法。被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍數(shù)，然后求出另一個數(shù)，最后答題和驗算?！咀兪?】（2022六上·廣東珠海）3.甲、乙兩個數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)了。如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，兩個數(shù)各是多少？【答案】甲數(shù)為390，乙數(shù)為710【解析】【分析】如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)，則甲數(shù)＋320＝乙數(shù)，如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍，則乙數(shù)＋460＝甲數(shù)×3，設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為（x＋320），據(jù)此列方程為x＋320＋460＝3x，然后解出方程即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為（x＋320）。x＋320＋460＝3xx＋320＋460－x＝3x－x320＋460＝2x780＝2x2x＝7802x÷2＝780÷2x＝390390＋320＝710答：甲數(shù)為390，乙數(shù)為710?！军c睛】本題可用列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。一、填空。（2021六下·湖南長沙）4.兩杯橙汁一共980g，將多一杯中的橙汁倒入另一杯40g，兩杯的橙汁就一樣多了，則原來兩杯橙汁分別是（）g和（）g?！敬鸢浮竣?530②.450【解析】【分析】將多的一杯中的橙汁倒入另一杯40g，兩杯的橙汁就一樣多了，那么多的一杯比少的一杯多40＋40＝80（g），然后再根據(jù)和差公式進行解答。【詳解】40＋40＝80（g）（980＋80）÷2＝1060÷2＝530（g）980－530＝450（g）原來兩杯橙汁分別是530g和450g。【點睛】本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，求出兩杯橙汁的質(zhì)量差，然后再根據(jù)和差公式：（和＋差）÷2＝較大數(shù)進行解答。（2021六下·浙江金華）5.果園里有蘋果樹和梨樹一共1690棵，蘋果樹的棵數(shù)是梨樹的9倍，果園里蘋果樹有（）棵，梨樹有（）棵?！敬鸢浮竣?1521②.169【解析】【分析】由題意可知，設(shè)梨樹有x棵，則蘋果樹有9x棵，根據(jù)等量關(guān)系：蘋果樹的棵數(shù)＋梨樹的棵數(shù)＝1690，據(jù)此列方程解答即可。【詳解】解：設(shè)梨樹有x棵，則蘋果樹有9x棵。x＋9x＝169010x＝169010x÷10＝1690÷10x＝169169×9＝1521（棵）則梨樹有169棵，蘋果樹有1521棵?！军c睛】本題考查用方程解決實際問題，明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。（2022六下·湖南長沙）6.有兩杯飲料，第一杯比第一杯多85毫升，兩杯同時倒掉30毫升后，第一杯剩下的是第二杯的2倍，則原來兩杯中共有（）毫升飲料。【答案】315【解析】【分析】觀察題意可知，第一杯比第一杯多85毫升，兩杯同時倒掉30毫升后，兩杯剩下的差不變，已知第一杯剩下的是第二杯的2倍，則第一杯剩下的比第二杯多1倍，用85÷（2－1）即可求出第二杯剩下的量，再乘2即可求出第一杯剩下的量，然后將兩杯剩下的量分別加上30毫升，即可求出兩杯原來各自的量，最后相加即可。【詳解】第二杯剩下的量：85÷（2－1）＝85÷1＝85（毫升）第一杯剩下量：85×2＝170（毫升）第一杯原來的量：170＋30＝200（毫升）第二杯原來的量：85＋30＝115（毫升）總共：200＋115＝315（毫升）原來兩杯中共有315毫升飲料?！军c睛】本題主要考查了差倍問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是抓出差不變。（2022六下·福建三明）7.一個小數(shù)的小數(shù)點向右移動一位后，與原小數(shù)的和是12.1，原來這個小數(shù)是________?！敬鸢浮?.1【解析】【分析】小數(shù)點向右移動一位原小數(shù)擴大10倍，即和就是原數(shù)的11倍，據(jù)此分析解答?！驹斀狻坑煞治龅茫?2.1÷（10＋1）＝12.1÷11＝1.1即原來這個小數(shù)是1.1。（2022六下·江蘇蘇州）8.用一根60cm長的鐵絲搭一個長大方體框架，搭成的長方體的長、寬、高的厘米數(shù)是3個連續(xù)的奇數(shù)，搭成的長方體的體積是（）cm3?！敬鸢浮?05【解析】【分析】由題意可知，鐵絲的長度就是長方體的總棱長，根據(jù)長方體的總棱長＝（長＋寬＋高）×4，據(jù)此求出長方體的長、寬和高的和，再用它們的和除以3即可求出其中一個數(shù)，再用這個數(shù)減去2和加上2即可求出長方體的長、寬和高，最后根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此代入數(shù)值進行計算即可。【詳解】60÷4＝15（cm）15÷3＝5（cm）5－2＝3（cm）5＋2＝7（cm）5×3×7＝15×7＝105（cm3）則搭成的長方體的體積是105cm3?！军c睛】本題考查長方體的總棱長和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。二、解決問題。（2020六下·江蘇蘇州）9.在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和是200，減數(shù)比差小40，被減數(shù)和減數(shù)是多少？【答案】被減數(shù)是100，減數(shù)是30【解析】【分析】被減數(shù)、減數(shù)與差的和是200，被減數(shù)是100，減數(shù)與差的和是100，減數(shù)與差的差是40，按照和差問題求解。【詳解】如圖所示：答：被減數(shù)是100，減數(shù)是30?！军c睛】被減數(shù)、減數(shù)、差的和是被減數(shù)的2倍，這是解題的關(guān)鍵。（2022六下·天津）10.學(xué)校購買防疫物口罩和消毒液共花2.45萬元，口罩花的錢是消毒液的2.5倍，口罩花了多少錢？（先在線段圖中畫出題中的已知條件和所求問題，再列綜合算式計算。）【答案】1.75萬元【解析】【分析】由“口罩和消毒液共花2.45萬元，口罩花的錢是消毒液的2.5倍”可得：消毒液錢數(shù)的（1＋2.5）倍是2.45萬元，由此可得：消毒液的錢數(shù)是2.45÷（1＋2.5）＝0.7萬元，再乘2.5得出口罩的錢數(shù)?！驹斀狻慨媹D如下：2.45÷（2.5＋1）×2.5＝2.45÷3.5×2.5＝0.7×2.5＝1.75（萬元）答：口罩花了1.75萬元?！军c睛】本題主要考查和倍問題，解答方法：小數(shù)＝和÷（倍數(shù)＋1）；大數(shù)＝小數(shù)×倍數(shù)＝和－小數(shù)。（2021六下·山東濟南）11.佳佳和小華折紙星星，佳佳折的個數(shù)是小華的6倍，若佳佳給小華36個，則小華比佳佳多2個。佳佳和小華原來各折了多少個紙星星？【答案】小華折了14個，佳佳折了84個【解析】【分析】由題意可知，設(shè)小華折了x個，則佳佳折了6x個，根據(jù)等量關(guān)系：佳佳折個數(shù)－36＝小華折的個數(shù)＋36－2，據(jù)此列方程解答即可。【詳解】解：設(shè)小華折了x個，則佳佳折了6x個。6x－36＝x＋36－26x－36＝x＋346x－36＋36＝x＋34＋366x＝x＋706x－x＝x＋70－x5x＝705x÷5＝70÷5x＝1414×6＝84（個）答：小華折了14個，佳佳折了84個?！军c睛】本題考查用方程解決實際問題，明確等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。（2020六下·山西陽泉）12.剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，春節(jié)貼福字、貼窗花是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗。福字和春字各剪了多少個？（先畫一畫，再解答。）【答案】福字剪了42個；春字剪了26個【解析】【分析】已知數(shù)量一共有68個，再剪16個春字，福字和春字的數(shù)量一樣多，則總數(shù)量變?yōu)椋?8＋16）個，除以2即可求出福字的數(shù)量，然后用68減去福字的數(shù)量，即可求出春字的實際數(shù)量?！驹斀狻咳鐖D：福：（68＋16）÷2＝84÷2＝42（個）春：68－42＝26（個）答：福字剪了42個；春字剪了26個?！军c睛】本題主要考查了和差問題，關(guān)鍵是求出它們的總量是解題的關(guān)鍵。（2021六下·上海）13.秋天到了，橘子成熟了。小明與爸爸、媽媽一起去果園摘橘子，他們?nèi)艘还舱?8個橘子，爸爸比媽媽多摘11個，小明比媽媽少摘2個。他們?nèi)烁髡僮佣嗌賯€？（先用線段圖表示題意，再解答。）【答案】圖見詳解；媽媽摘了23個，爸爸摘了34個，小明摘了21個【解析】【分析】可以設(shè)媽媽摘了x個，則爸爸摘了（x＋11）個，小明摘了（x－2）個，于是依據(jù)“他們?nèi)艘还舱?8個橘子”這個等量關(guān)系，即可列方程求解。【詳解】作圖如下：解：設(shè)媽媽摘了x個，則爸爸摘了（x＋11）個，小明摘了（x－2）個，x＋（x＋11）＋x－2＝782x＋x＋11－2＝783x＋9＝783x＋9－9＝78－93x＝693x÷3＝69÷3x＝2323＋11＝34（個）23－2＝21（個）答：媽媽摘了23個，爸爸摘了34個，小明摘了21個。【點睛】解答此題的關(guān)鍵是：分析題意，弄清楚數(shù)量間的關(guān)系，得出等量關(guān)系式，問題即可得解。（2021六下·江蘇鹽城）14.端午佳節(jié)，明都社區(qū)給敬老院送去些肉粽和蜜粽，共3箱，每箱80個，第一箱里的肉粽與第二箱里的蜜粽同樣多，第三箱里肉粽比蜜粽多10個。這三箱粽里一共有多少個肉粽？【答案】125個【解析】【分析】根據(jù)題意可知，每箱80個，第一箱的肉粽＝第二箱的蜜粽，第二箱的肉粽＋第二箱的蜜粽＝80個，則第二箱的肉粽＋第一箱的肉粽＝80個，已知第三箱的肉粽比第三箱的蜜粽多10個，則第三箱的肉粽＝第三箱的蜜粽＋10，第三箱的肉粽＋第三箱的蜜粽＝80，設(shè)第三箱蜜粽有x個，第三箱肉粽有（x＋10）個，列方程為x＋x＋10＝80，然后解出方程，進而求出第三箱肉粽的個數(shù)，再加上80即可求出肉粽的總個數(shù)?！驹斀狻拷猓涸O(shè)第三箱蜜粽有x個，第三箱肉粽有（x＋10）個。x＋x＋10＝802x＋10＝802x＋10－10＝80－102x＝702x÷2＝70÷2x＝3535＋10＝45（個）45＋80＝125（個）答：這三箱粽里一共有125個肉粽?！军c睛】本題可列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。（2021六下·福建福清）15.原創(chuàng)文化類電視節(jié)目《中國詩詞大會》的熱播，帶領(lǐng)人們重溫經(jīng)典詩詞，感受傳統(tǒng)文化的魅力。某學(xué)校圖書館購進了與本節(jié)目同步出版的書籍《中國詩詞大會》，《中國詩詞大會》的本數(shù)是《人間詞話》的3倍，______，《中國詩詞大會》和《人間詞話》各有多