蘇科版·九年級上冊2.5.1直線與圓的位置關(guān)系——位置關(guān)系、切線的判定與性質(zhì)

第二章

對稱圖形——圓章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標12理解直線與圓的三種位置關(guān)系，并能夠用定義法或幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系

掌握切線的判定定理3掌握切線的性質(zhì)定理新知探究大漠孤煙直，長河落日圓。——王維《使至塞上》新知探究山水相接的地方出現(xiàn)了一道紅霞。過了一會兒，那里出現(xiàn)了太陽的小半邊臉。慢慢兒，一縱一縱地使勁兒向上升，到了最后，它終于沖破了云霞，完全跳出了海面。

——巴金新知探究思

考1.下面三幅圖中太陽與地平線的公共點分別有多少個？●O●O●O兩個公共點一個公共點沒有公共點新知探究思

考2.完成下列填空?！馩①

如圖，直線和圓有______公共點，叫做直線和圓_____，這條直線叫做______；

兩個割線相交②

如圖，直線和圓有______公共點，叫做直線和圓_____，這條直線叫做______，這個公共點叫做______；

●O一個切線相切切點新知探究思

考2.完成下列填空。①

如圖，直線和圓______公共點，叫做直線和圓_____?！馩沒有相離新知探究直線與圓的位置關(guān)系：

1.直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。

2.直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。

3.直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。知識要點新知探究探

究判斷三種狀態(tài)下圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系。

d<r●r●r●rd=rd>r相交相切相離位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合數(shù)量關(guān)系dddDDD新知探究直線與圓的位置關(guān)系的幾何表達：

如果?O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么

1.直線l與?O相交

?

d

<

r；

2.直線l與?O相切

?

d

=

r；

3.直線l與?O相離

?

d

>

r。知識要點新知探究探

究點與圓有3種不同的位置關(guān)系，直線與圓也有3種不同的位置關(guān)系，這兩者之間有怎樣的聯(lián)系？d<r●r●r●rd=rd>r相交相切相離dddDDD如圖，直線與?O的3種位置關(guān)系，實質(zhì)就是點D

(

垂足

)

與?O的3種位置關(guān)系。新知探究直線與圓的位置關(guān)系的判斷：

1.定義法：看公共點的個數(shù)；

2.幾何法：看圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小比較。

注意：

在實際解題中，常采用第二種方法。知識要點典例分析典例1

已知?O的半徑為5，直線l與?O有2個公共點，則點O到直線l的距離可能是（）A．3

B．5

C．7

D．9解：∵直線l與?O有2個公共點，∴直線l與?O相交，∴點O到直線l的距<?O的半徑5。A方法技巧解題關(guān)鍵：2個公共點

?

直線l與?O相交

?

d

<

r新知探究思

考解：直線l與圓O相切，理由如下：∵l⊥OD，∴OD為圓心到直線的距離，∵OD為半徑，∴圓心到直線的距離=半徑，∴直線l與?O相切。ODl如圖，經(jīng)過?O的半徑OD的外端點D，作直線l⊥OD，直線l與?O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？新知探究切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。eg：∵OD為?O的半徑，OD⊥l，∴OD為?O的切線。知識要點切線的判定定理實際上是從“圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切”這個結(jié)論直接得出來的。ODl新知探究知識要點探

究下面哪一副圖中直線l是?O的切線？ODlODlODl沒有經(jīng)過半徑外端經(jīng)過半徑外端，但是沒有垂直于這條半徑√【總結(jié)】切線必須滿足兩個條件：①

經(jīng)過半徑的外端；②

垂直于這條半徑。典例分析典例2

如圖，OA

=

OB

=

13cm，AB

=

24cm，?O的直徑為10cm，求證：AB是?O的切線。分析：當已知條件中未明確指出直線與圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段

(過點O作OD⊥AB，垂足為點D)，證明該線段的長等于半徑(證明OD=半徑)即可。OABD典例分析典例2

如圖，OA

=

OB

=

13cm，AB

=

24cm，?O的直徑為10cm，求證：AB是?O的切線。OABD

典例分析典例3

如圖，AD是?O的弦，AB經(jīng)過圓心O交?O于點C，∠A

=

∠B

=

30°，連接BD。求證：BD是?O的切線。分析：當已知條件中明確指出直線與圓有公共點(點D)時，常連接過該公共點的半徑(連接OD)，證明該半徑垂直于這條直線(證明OD⊥BD)即可。ABOCD典例分析典例3

如圖，AD是?O的弦，AB經(jīng)過圓心O交?O于點C，∠A

=

∠B

=

30°，連接BD。求證：BD是?O的切線。證明：如圖，連接OD，∵OD

=

OA，∴∠ODA

=

∠A=

30°，∴∠DOB

=

∠ODA

+

∠A=

60°，∴∠ODB

=

180°

-

∠DOB

-

∠B

=

180°

-

60°

-

30°

=

90°，即OD⊥BD，又∵OD是?O的半徑，∴BD是?O的切線。ABOCD典例分析方法技巧切線的判定的解題關(guān)鍵：①

已知直線與圓的公共點：連接圓心與公共點，證明圓心與公共點的連線垂直于該直線，簡稱：“有交點，連半徑，證垂直”；②

未知直線與圓的公共點：過圓心作該直線的垂線段，證明圓心到垂足的距離等于半徑，簡稱：“無交點，作垂線段，證半徑”。新知探究思

考ODl解：直線l與半徑OD垂直，理由如下(反證法)：假設(shè)直線l與OD不垂直，如圖，過圓心O作OD’⊥l，垂足為D’，∵直線l與?O相切，∴圓心O到直線l的距離OD’等于的?O半徑，∴點D’在?O上，這樣直線l與?O有兩個公共點D、D’，這與“直線l與?O相切”矛盾，∴l(xiāng)⊥OD。D’如圖，直線l是?O的切線，切點為D，直線l與半徑OD有怎樣的位置關(guān)系？為什么？新知探究知識要點切線的性質(zhì)：

圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

eg：∵OD為?O的切線，∴l(xiāng)⊥OD。ODl典例分析典例4

如圖，AB為?O的切線，點A為切點，OB交?O于點C，點D在?O上，連接AD、CD、OA，若∠ADC

=

30°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．25° B．20° C．30° D．35°解：∵AB為圓O的切線，∴AB⊥OA，即∠OAB

=

90°，∵∠ADC

=

30°，∴∠AOB

=

2∠ADC

=

60°，∴∠ABO

=

90°

-

60°

=

30°。COADBC題型探究直線與圓的位置關(guān)系的判斷題型一【例1】如果?O的半徑為6cm，圓心O到直線l的距離為d，且d

=

7cm，那么?O和直線l的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定解：∵7>6，∴d>r，∴直線l與?O的位置關(guān)系是相離。A題型探究根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求值題型二【例2】已知⊙O與直線l相交，圓心到直線l的距離為6cm，則⊙O的半徑可能為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cmD解：∵⊙O和直線l相交，∴d<r，又∵圓心到直線l的距離為6cm，∴r>6cm。題型探究切線的判定題型三【例3】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，點C是弧BE的中點，AE⊥CD，垂足為點D。求證：CD是⊙O的切線。

BOCDAE題型探究切線的性質(zhì)題型四【例4】如圖，AC為?O的直徑，PA，PB是?O的切線，切點分別是A，B，若∠CBP

=

140°，則∠P的度數(shù)為（）A．100° B．80° C．75° D．70°解：如圖，連接OB，∵PB，PA分別切?O于B，A，∴∠PBO

=

∠PAO

=

90°，∵∠CBP

=

140°，∴∠OBC

=

∠PBC

-

∠PBO

=

50°，∵OC

=

OB，∴∠C

=

∠OBC

=

50°，∴∠AOB

=

∠C

+

∠OBC

=

100°，∴∠P

+

∠AOB

+

∠PAO+

∠PBO=

360°，∴∠P

=

80°。BPOCBA課堂小結(jié)直線與圓的位置關(guān)系：

1.直線與圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交。

2.直線與圓有唯一公共點時，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。

3.直線與圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。直線與圓的位置關(guān)系的幾何表達：

如果?O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么

1.直線l與?O相交

?

d

<

r；