華東師大版·九年級上冊

22.2一元二次方程的解法

22.2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第22章

一元二次方程學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)123理解并掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.能驗(yàn)證一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.會用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決簡單的問題.回顧舊知

一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0)的求根公式是什么？思考探究問題1用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼夥匠獭栴}2

計(jì)算x1+x2和x1·x2的值，思考：它們與方程的系數(shù)有何關(guān)系？二次項(xiàng)系數(shù)為1一次項(xiàng)系數(shù)為3常數(shù)項(xiàng)為－4互為相反數(shù)相等兩根之和兩根之積思考探究問題3

猜想：二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，其兩根之和等于一次項(xiàng)

系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)。對于任何一個(gè)滿足條件的

一元二次方程，是否都有這樣的結(jié)果？換幾個(gè)方程試試吧！活動任務(wù)：同桌兩人一組，每人寫3個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，然后同桌交換求解方程的兩個(gè)根，再計(jì)算兩根之和與兩根之積，驗(yàn)證是否滿足猜想。思考探究問題4對于方程x2+px+q=0(p2－4q

≥0)，滿足上述猜想嗎？由一元二次方程的求根公式，可得所以，兩根之和思考探究問題4對于方程x2+px+q=0(p2－4q

≥0)，滿足上述猜想嗎？所以，兩根之積課堂新知二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

設(shè)一元二次方程x2+px+q=0的兩根為x1、x2，那么

注意事項(xiàng)強(qiáng)調(diào)：①該結(jié)論適用于滿足二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程；②一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)必須滿足p2－4q

≥0。典例分析不解方程，求出方程的兩根之和與兩個(gè)之積：【解】設(shè)方程兩根為x1、x2，由二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得解題的關(guān)鍵：二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，兩根之和與兩根之積的結(jié)果均與二次項(xiàng)系數(shù)無關(guān)，兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)，切不可混淆。方法技巧思考探究問題5

如何求方程2x2－3x－5=0的兩根之和與兩根之積？你遇到的困難

是什么？困難：二次項(xiàng)系數(shù)不為1已知：二次項(xiàng)系數(shù)為1轉(zhuǎn)化設(shè)方程兩根為x1、x2，由二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得思考探究問題6試探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根與系

數(shù)的關(guān)系。二次項(xiàng)系數(shù)不為1二次項(xiàng)系數(shù)為1轉(zhuǎn)化設(shè)方程兩根為x1、x2，由二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得思考探究問題6試探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根與系

數(shù)的關(guān)系。除上述方法外，你還有其他方法嗎？由一元二次方程的求根公式，可得所以，兩根之和思考探究問題6試探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的根與系

數(shù)的關(guān)系。除上述方法外，你還有其他方法嗎？所以，兩根之積課堂新知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a

≠0，b2－4ac

≥0)的兩根為x1、x2，那么

該結(jié)論也叫韋達(dá)定理，適用于所有一元二次方程典例分析不解方程，判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有實(shí)數(shù)根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積?！窘狻克苑匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根典例分析不解方程，判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有實(shí)數(shù)根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積?！窘狻克苑匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根典例分析不解方程，判斷下列方程是否有實(shí)數(shù)根，如果有實(shí)數(shù)根的話，求出方程的兩根之和與兩根之積。【解】所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（3）原方程可變形為思考探究問題3

結(jié)合上述典例，歸納總結(jié)求一元二次方程兩根之和與兩根之積

的步驟。整理確定判斷計(jì)算將方程整理成一般形式ax2

+bx+c=0(a

≠0)確定系數(shù)a、b、c的值計(jì)算Δ=b2

－4ac的值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根若方程有實(shí)數(shù)根，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可典例分析已知關(guān)于x的方程x2+

mx+n=0的兩個(gè)根是1和－3，求m和n的值.【解】解題的關(guān)鍵：利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可：對于任何一個(gè)一般形式的一元二次方程，兩根之和與二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，兩根之積與二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有關(guān)。方法技巧典例分析已知關(guān)于x的方程x2+

mx－20=0的一個(gè)根是－4，求另一個(gè)根和m的值.【解】解題的關(guān)鍵：由方程可知a、c的值，則根據(jù)兩根之積求出另一個(gè)根，再根據(jù)兩根之和求出m的值即可。方法技巧設(shè)x1=－4，另一個(gè)根為x2當(dāng)堂反饋1.

若是一元二次方程x2－6x+m=0的一個(gè)根為1，求另一個(gè)根和m的值?！窘狻吭O(shè)x1=1，另一個(gè)根為x2當(dāng)堂反饋2.

若方程x2－3x－2=0的兩根為x1、x2，求(x1+1)(x2+1)的值?！窘狻慨?dāng)堂反饋3.

如果m、n是方程x2