13.4課題學習最短路徑問題教學目標課題13.4課題學習最短路徑問題授課人素養(yǎng)目標1.掌握直線同側兩點到線上一點的距離和最小問題，了解運用平移法解決造橋問題，在解決實際問題的過程中強化應用意識.2.通過軸對稱變換、平移變換體會轉化思想. 教學重點利用軸對稱變換及平移變換解決最短路徑問題．教學難點確定最短路徑及其理論說明.教學活動教學步驟師生活動活動一：回顧舊知，引入新課設計意圖對過往知識進行回顧，為本課時學習做鋪墊.【情境引入】觀察圖①②.我們以前學過：(1)“兩點的所有連線中，線段最短”；(2)“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”.我們稱這種問題為最短路徑問題.今天我們將探究新情境下的最短路徑問題.【教學建議】讓學生根據圖片展示，完成填空.活動二：類比轉化，解決問題設計意圖借助恰當的工具，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題(兩點之間，線段最短)，提升解決實際問題的能力.探究點1利用軸對稱解決最短路徑問題(“將軍飲馬”問題)如圖①，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？提問：(1)你能組織語言，把這個問題抽象為數學問題嗎？可抽象為這樣的數學問題：如圖②，點A，B在直線l的同側，能不能在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最小？(2)兩點在同側我們不太好入手，先看看兩點在異側的情況：如圖③，點A，B是直線l異側的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A、點B的距離的和最??？依據是什么？如圖④，連接AB，交直線l于點C，則AC＋BC最?。罁簝牲c之間，線段最短.【教學建議】這里教師引導學生回答，不斷補充，最后達成共識：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和最短的直線l上的點．設C為直線l上的一個動點，實際問題就轉化為數學問題了.教學步驟師生活動設計意圖通過嚴格的證明，讓學生確信所找的點C是符合要求的.(3)現在我們回過頭去解決圖②中兩點在同側的情形，即：點A，B在直線l的同側，能不能在直線l上找到一點C，使AC與BC的和最?。咳鐖D⑤，我們可作出點B關于l的對稱點B′，利用軸對稱的性質，可以得到B′C＝BC.則AC＋BC＝AC＋B′C.問題再次轉化為：當點C在l的什么位置時，AC與B′C的和最??？(4)根據上面的分析，當點C在l的什么位置時，AC與BC的和最小？如圖⑥，在連接A，B′兩點的所有線段中，線段AB′最短．因此，線段AB′與直線l的交點C的位置即為所求，即此時AC＋BC也最?。?5)你能用所學的知識證明：上面求得的點C，使AC＋BC最小嗎？證明：如圖⑦，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質知，BC＝B′C，BC′＝B′C′.∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′，即AC＋BC最?。畾w納總結：【對應訓練】如圖，A，B是兩個蓄水池，都在河流a的同側，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個抽水站，同時將河水分別送到A，B兩地．該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短？試在圖中確定該點(保留作圖痕跡)．解：如圖，點P即為該點．【教學建議】要一步一步引導學生，將同側的兩點轉化為異側的兩點，為問題的解決提供思路．對于第(3)問，學生回答可能會有困難，教師可提問引導：如何將(3)中的點B“移”到l的另一側B′處，使直線l上的任意一點C，都滿足BC與B′C的長度相等？【教學建議】證明AC＋BC最小也是一個難點，可以告訴學生，證明“最大”“最小”這類問題，常常要另選一個量，通過與求證的那個“最大”“最小”量進行比較來證明．學生可能會對于只選一個C′不放心，教師可以讓學生再選一個C″證明一次，這時學生會發(fā)現，證明過程中，點C′在什么位置并不影響結論．教學步驟師生活動設計意圖通過更復雜的最短路徑問題，進一步體會轉化思想的應用.探究點2利用平移解決最短路徑問題(造橋選址問題)如圖①，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河岸上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直．)提問：(1)你能把它抽象為數學問題嗎？把河的兩岸看成兩條平行線a和b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于b，交直線a于點M.上面的問題就轉化為：如圖②，直線a∥b，N為直線b上的一個動點，MN⊥b，交直線a于點M，當點N在直線b的什么位置時，AM＋MN＋NB最小？(2)河的兩岸是平行的直線，橋與河垂直．那么AM＋MN＋NB最小能否進一步轉化？由于河岸寬度是固定的，因此當AM＋BN最小時，AM＋MN＋NB最?。@樣，問題就進一步轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AM＋NB最??？(3)能否通過圖形的變化(軸對稱、平移等)，把上面圖②的情況轉化為下面圖③的情況？將圖②中AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A′，如圖④，則AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.這樣，問題就轉化為：當點N在直線b的什么位置時，A′N＋NB最小．(4)你能找到所要求的N點的位置嗎？如圖⑤，連接A′B，交直線b于點N，則點N即為所求．即在點N處建橋MN，所得路徑AMNB最短．(5)你能證明點N的位置即為所求嗎？如圖⑥，在直線b上另外任意取一點N′，過點N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B.由作圖可知M′N′＝MN＝AA′.由平移的性質可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.根據“兩點之間，線段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.∴AM′＋N′B＞AM＋NB.∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.∵N′為不同于N的任意一點，∴AM＋NB＋MN最?。帱cN的位置即為所求．歸納總結：【教學建議】引導學生理解：要確定橋MN的位置，只需確定兩動點M，N的位置即可．由于橋MN垂直于河岸，只要確定其中一個動點，比如點N的位置，另一個動點M的位置便能隨之確定．【教學建議】對于提問(2)，有條件的地方可以利用幾何畫板動態(tài)呈現橋可能建造的位置，并讓學生觀察橋MN位置變化時，線段AM，MN，NB長度的變化情況，引導學生找出定長MN，于是當線段AM＋NB最小時，線段AM＋MN＋NB的和最小．【教學建議】在解決提問(3)(4)的過程中，教師注意引導學生注意平移起到的作用．由于河寬固定，因此可以考慮將點A(或點B)按與河岸垂直的方向平移跟河寬相等的距離，使問題轉化為可以利用“兩點之間，線段最短”解決的問題．【教學建議】對于提問(5)，這個證明與前面的探究點1類似，利用平移變換的基本性質和“兩點之間，線段最短”可以證明這樣的路徑是最短的．對于這個證明，如課堂時間有限，可以要求學生課下完成．教學步驟師生活動【對應訓練】如圖，平行河岸的兩側各有一城鎮(zhèn)P，Q，根據發(fā)展規(guī)劃，要修建一條公路連接P，Q兩鎮(zhèn)．已知相同長度造橋總價遠大于陸上公路造價，為了盡量減少總造價，橋應與河岸垂直而建，以使橋的長度最短．為了使總造價最低，橋應建在何處？請在圖中畫出橋的位置．解：①如圖，將點P沿與河岸垂直的方向平移至點P′，使PP′等于河寬；②連接QP′，與河岸b相交于點N；③作NM⊥a，垂足為M，連接PM，則MN即為橋的位置.活動三：隨堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：1.你能說出哪些求最短路徑的依據？2.今天我們學習的兩種求最短路徑的情境，用草圖怎么表示？3.今天解決最短路徑問題時，我們用到了哪些圖形變化手段？【知識結構】【作業(yè)布置】《》主體本部分相應課時訓練．板書設計13.4課題學習最短路徑問題1.兩點之間，線段最短. 2.軸對稱、平移，轉化線段，求最短路徑．教學反思本課題的極值問題，學生初次接觸，難度較大，無從下手，解決問題需要用到轉化手段，學生也缺乏這種理念．先給學生講解這方面的知識，待學生經驗積累到一定程度后，再次回顧梳理.解題大招一利用軸對稱解決最短路徑問題對于直線同側的兩點，利用軸對稱變換將其中一點轉化到直線另一側，再用“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”解決問題．小王準備在街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩居民區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應該在（B）解析：B選項中，A與A′關于街道對稱，CA＝CA′，點A′，C，B在一條直線上，則CA＋CB最?。鐖D，在等邊三角形ABC中，D，E分別為邊BC，AB的中點，AD＝10，且P為AD上的動點，連接EP，BP，則BP＋EP的最小值為（B）A．8B．10C．12D．14解析：易知AD是等邊三角形ABC的對稱軸，∴點B與點C關于AD對稱，∴BP＝CP.如圖，連接CE交AD于點P，則此時，BP＋EP的值最小，且等于CE的長．由點E是AB的中點，△ABC是等邊三角形，易知CE＝AD，∴BP＋EP的最小值為10.解題大招二利用平移解決最短路徑問題例3有一條河流，兩岸a，b平行，河的兩側有小鎮(zhèn)A和小鎮(zhèn)B，現在要在河上建一座橋梁MN(橋與河岸垂直)，使從A到B的路徑AMNB最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（D）解析：對比各選項中作圖痕跡，除去MN的長度，剩余的線段和中，D選項的最小(可通過平移BN進行比較)．故選D.培優(yōu)點靈活利用軸對稱變換求最短路徑例“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”問題．如圖①，若點A和點B分別在直線l的兩側，要在直線l上找到點C，使得CA＋CB有最小值，請你作一個示意圖確定點C的位置，并說明作圖依據：兩點之間，線段最短；(2)如圖②，若點A和點B在直線l的同側，請在直線l上作出點P，使得PA＋PB有最小值；(3)如圖③，已知∠AOB＝30°，點Q在∠AOB內部，點M，N分別在射線OA，OB上運動，若OQ＝6，請求出△QMN周長的最小值．分析：(1)連接AB交l于點C，依據是“兩點之間，線段最短”；(2)作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，點P即為所求；(3)分別作點Q關于OA，OB的對稱點C，D，連接CD，分別交OA，OB于點M，N，則△QMN的周長最?。猓?1)如圖①所示．(2)如圖②，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，連接PA，則點P即為所求．(3)如圖③.(Ⅰ)作點Q關于OA的對稱點C.(Ⅱ)作點Q關于OB的對稱點D.(Ⅲ)連接CD，分別交OA于點M，交OB于點N，