第1節(jié)函數(shù)的概念及其表示【課標(biāo)要求】（1）了解函數(shù)的含義；（2）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；（3）了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單應(yīng)用.知識點一函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)三要素對應(yīng)關(guān)系y＝f（x），x∈A定義域x的取值范圍值域與x的值相對應(yīng)的y值的集合{f（x）｜x∈A}2.同一個函數(shù)（1）前提條件：①定義域相同；②對應(yīng)關(guān)系完全一致.（2）結(jié)論：這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.結(jié)論直線x＝a（a是常數(shù)）與函數(shù)y＝f（x）的圖象至多有1個交點.（1）〔多選〕下列說法中正確的有（BC）A.f（x）＝｜x｜x與g（xB.函數(shù)f（x）＝x+1－1x的定義域是[－1，0）∪（0，＋C.f（x）＝x2－2x＋1與g（t）＝t2－2t＋1是同一個函數(shù)D.若f（x）＝｜x－1｜－x，則f（f（12））＝（2）（人A必修一P65例2改編）設(shè)函數(shù)f（x）＝8－2x，則函數(shù)f（x2）的定義域為（A.（－∞，2] B.[2，＋∞）C.（－∞，6] D.[6，＋∞）解析：（1）對于A，函數(shù)f（x）＝｜x｜x的定義域為（－∞，0）∪（0，＋∞），函數(shù)g（x）＝1，x≥0，－1，x<0的定義域為R，兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B，由題意，在f（x）＝x+1－1x中，x+1≥0，x≠0，解得x≥－1且x≠0，故B正確；對于C，函數(shù)f（x）＝x2－2x＋1與g（t）＝t2－2t＋1的定義域與對應(yīng)關(guān)系都相同，所以兩函數(shù)是同一個函數(shù)，故C正確；對于D，由f（x）＝｜x－1｜－x，可得f（12）（2）由題意得，8－2x≥0，解得x≤3，所以函數(shù)f（x2）滿足x2≤3，解得x≤6，即函數(shù)f（x2）的定義域為（－∞，規(guī)律方法1.求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子（運算）有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.2.求復(fù)合函數(shù)定義域的方法（1）若已知函數(shù)f（x）的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的定義域可由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函數(shù)f[g（x）]的定義域為[a，b]，則f（x）的定義域為g（x）在x∈[a，b]上的值域.練1（1）〔多選〕（蘇教必修一P115練習(xí)4題改編）下列所給圖象是函數(shù)圖象的是（CD）解析：（1）由結(jié)論知，選項A、B均不是函數(shù)圖象，C、D是函數(shù)圖象.（2）已知函數(shù)y＝f（2x＋1）的定義域為[－1，2]，則函數(shù)y＝f（x－1）的定義域為[0，6].解析：（2）函數(shù)y＝f（2x＋1）的定義域為[－1，2]，即－1≤x≤2，所以－1≤2x＋1≤5，所以－1≤x－1≤5，即0≤x≤6，所以函數(shù)y＝f（x－1）的定義域為[0，6].知識點二分段函數(shù)1.若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).2.分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.（1）〔多選〕（2025·佛山模擬）已知函數(shù)f（x）＝x2,?2≤x<1，－A.f（x）的定義域為RB.f（x）的值域為（－∞，4]C.若f（x）＝2，則x的值是－2D.f（x）＜1的解集為（－1，＋∞）解析：（1）函數(shù)f（x）＝x2,?2≤x<1，－x+2，x≥1的定義域是[－2，＋∞），故A錯誤；當(dāng)－2≤x＜1時，f（x）＝x2，值域為[0，4]，當(dāng)x≥1時，f（x）＝－x＋2，值域為（－∞，1]，故f（x）的值域為（－∞，4]，故B正確；當(dāng)x≥1時，令f（x）＝－x＋2＝2，無解，當(dāng)－2≤x＜1時，令f（x）＝x2＝2，解得x＝－2，故C正確；當(dāng)－2≤x＜1時，令f（x）＝x2＜1，解得x∈（－1，1），當(dāng)x≥1時，令f（x）＝－x＋2＜1，解得x∈（1，＋∞），故f（x）＜1的解集為（－（2）（人A必修一P101復(fù)習(xí)參考題7題改編）已知函數(shù)f（x）＝2x+1－8，x≤1，4log12（x+1),x>1解析：（2）由題意知，當(dāng)m≤1時，f（m）＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程無解；當(dāng)m＞1時，f（m）＝4log12（m＋1）＝－12，得log12（m＋1）＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f（6－m）＝f（－1）＝2－1＋1－規(guī)律方法1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論.練2（1）若f（x）＝x－2，x>0，f（x+3（2）若函數(shù)f（x）＝mx+2，x≥－2，（12）x，x解析：（1）因為f（x）＝x－2，x>0，f（x+3),x≤0，所以f（1）＝－1，f（－1）＝f（－1＋3）＝（2）當(dāng)x＜－2時，f（x）＝（12）x∈（4，＋∞），由于函數(shù)f（x）的值域為R，所以當(dāng)x≥－2時，f（x）＝mx＋2的值域應(yīng)包含（－∞，4]，所以m＜0且f（－2）＝－2m＋2≥4，解得m≤－1提能點求函數(shù)的解析式（1）（2025·廣東模擬）已知f（x＋1）＝x＋2x，則f（x）＝（C）A.x2－1（x≥0） B.x＋1（x≥1）C.x2－1（x≥1） D.x－1（x≥0）解析：（1）法一（換元法）令t＝x＋1，t≥1，則t2＝（x＋1）2＝x＋2x＋1，由f（x＋1）＝x＋2x得，f（t）＝t2－1，t≥1，即f（x）＝x2－1，x≥1.故選C.法二（配湊法）f（x＋1）＝x＋2x＝（x）2＋2x＋1－1＝（x＋1）2－1，故f（x）＝x2－1，x≥1.（2）（2025·濰坊一模）已知f（x）是一次函數(shù)且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，則f（x）的解析式為（D）A.f（x）＝x＋6 B.f（x）＝x＋7C.f（x）＝2x＋6 D.f（x）＝2x＋7解析：（2）（待定系數(shù)法）∵f（x）是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）＝ax＋b（a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17，即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴a=2，5a＋b=17，解得a=2，（3）（2025·陜西模擬）若函數(shù)f（x）滿足f（x）－2f1x＝x＋2，則f（2）＝－3解析：（3）（解方程組法）由f（x）－2f1x＝x＋2，可得f1x－2f（x）＝1x＋2，聯(lián)立兩式可得f（x）＝－13x＋2x－2，代入x＝規(guī)律方法求函數(shù)解析式的4種方法練3（1）（2025·濰坊一模）已知f（1－sinx）＝cos2x，則f（x）的解析式為（A）A.f（x）＝2x－x2（x∈[0，2]）B.f（x）＝2x－x2（x∈[0，1]）C.f（x）＝x2－2x（x∈[0，2]）D.f（x）＝x2－2x（x∈[0，1]）解析：（1）設(shè)1－sinx＝t，則t∈[0，2]，sinx＝1－t，∵f（1－sinx）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].（2）（2025·九江一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋1）＝2f（x）.若當(dāng)0≤x≤1時，f（x）＝x（1－x），則當(dāng)－1≤x≤0時，f（x）＝－12x（x＋1）解析：（2）因為－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝12f（x＋1）＝12（x＋1）[1－（x＋1）]＝－12x（x＋1）.故當(dāng)－1≤x≤0時，f（x）＝－12x（一、單項選擇題1.函數(shù)f（x）＝ln（1－xA.（－∞，0] B.（－∞，1）C.[0，1） D.[0，＋∞）解析：A函數(shù)f（x）＝ln（1－x）有意義，等價于1－x>0，ln（1－x）2.函數(shù)f（x）＝xx+2的值域是（A.（－∞，1）B.（1，＋∞）C.（－∞，－2）∪（－2，＋∞）D.（－∞，1）∪（1，＋∞）解析：Df（x）＝xx+2＝x+2－2x+2＝1－2x+2，∵2x+2≠0，∴1－2x+2≠1，從而可知函數(shù)f（x3.（2025·重慶調(diào)研）已知函數(shù)f（x＋2）＝x2－3x＋4，則f（1）＝（）A.4 B.6C.7 D.8解析：D法一∵f（x＋2）＝（x2＋4x＋4）－7（x＋2）＋14＝（x＋2）2－7（x＋2）＋14，∴f（x）＝x2－7x＋14，故f（1）＝1－7＋14＝8.法二由x＋2＝1，得x＝－1，代入f（x＋2）＝x2－3x＋4，得f（1）＝（－1）2－3×（－1）＋4＝8.故選D.4.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（x）＝log2（2－x),x≤0A.0 B.1C.2 D.3解析：B由題設(shè)，當(dāng)x＞0時，f（x）＝f（x－3），即當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，則f（2025）＝f（3×675）＝f（0）＝log22＝1.5.如圖，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一個無水游泳池，是由一個長方體切掉一個三棱柱得到的.現(xiàn)在向游泳池內(nèi)注水，如果進水速度是均勻的（單位時間內(nèi)注入的水量不變），水面與AB的交點為M，則AM的高度h隨時間t變化的圖象可能是（）解析：A由題意可知，當(dāng)往游泳池內(nèi)注水時，游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀，且直棱柱的高不變，剛開始水面面積逐漸增大，水面的高度增長得越來越慢，當(dāng)水面經(jīng)過點D后，水面的面積為定值，水的高度勻速增長，故符合條件的函數(shù)圖象為選項A.6.已知函數(shù)f（x）＝ex，x≤0，lnx，x>0A.（－∞，－ln2]∪（0，e]B.（－∞，－ln2）C.（0，e]D.（－∞，－ln2）∪（0，e）解析：A當(dāng)x≤0時，由f（x）≤12得ex≤12，兩邊取以e為底的對數(shù)得x≤－ln2，當(dāng)x＞0時，由f（x）≤12得lnx≤12，解得0＜x≤e12＝e，綜上x≤－ln2或0＜x7.設(shè)函數(shù)f（x）＝1，x≤0，2x，x>0，則滿足f（x＋2）＜fA.（－∞，－2） B.（－2，＋∞）C.（－∞，2） D.（2，＋∞）解析：D當(dāng)x≤－2時，f（x＋2）＝1，f（2x）＝1，則1＜1，矛盾；當(dāng)－2＜x≤0時，f（x＋2）＝2x＋2，f（2x）＝1，則2x＋2＜1?x＜－2，矛盾；當(dāng)x＞0時，f（x＋2）＝2x＋2，f（2x）＝22x，則2x＋2＜22x?x＋2＜2x?x＞2，符合題意.綜上x的取值范圍為（2，＋∞）.二、多項選擇題8.（2025·六安一模）南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻，后人將“這個精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”.已知圓周率π＝3.141592653589793…，如果記圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字為f（n），則下列說法正確的是（）A.y＝f（n），n∈N*是一個函數(shù)B.當(dāng)n＝5時，f（n）＝3.14159C.f（4）＝f（8）D.f（n）＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}解析：ACD對于選項A：對于任意n∈N*，均存在唯一的f（n）與之對應(yīng)，符合函數(shù)的定義，可知y＝f（n），n∈N*是一個函數(shù)，故A正確；對于選項B、C：因為f（4）＝5，f（5）＝9，f（8）＝5，故B錯誤，C正確；對于選項D：由f（n）為圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字，可知f（n）∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D正確.故選A、C、D.9.（2025·龍巖期末）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則（）A.f（f（3））＝1B.不等式f（x）≤1的解集為［2，103C.函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2D.f（x）的解析式可表示為f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）解析：BD根據(jù)題意，由圖象可得，在區(qū)間[0，3]上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點（0，3）和（3，0），則其方程為f（x）＝3－x（0≤x≤3），在區(qū)間[3，4]上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點（3，0）和（4，3），設(shè)f（x）＝kx＋b，x∈[3，4]，則3k＋b=0，4k＋b=3，解得k=3，b＝－9，所以其方程為f（x）＝3x－9（3≤x≤4），綜合可得f（x）＝3－x，0≤x≤3，3（x－3),3<x≤4，對于A，f（3）＝0，則f（f（3））＝f（0）＝3，故A錯誤；對于B，若f（x）≤1，則有3－x≤1，0≤x≤3或3（x－3）≤1，3<x≤4，解得2≤x≤3或3＜x≤103，即不等式的解集為［2，103］，故B正確；對于C，在區(qū)間[2，3]上，f三、填空題10.若函數(shù)y＝f（2x）的定義域為[－2，4]，則y＝f（x）－f（－x）的定義域為[－4，4].解析：因為函數(shù)y＝f（2x）的定義域為[－2，4]，則－2≤x≤4，可得－4≤2x≤8，所以函數(shù)y＝f（x）的定義域為[－4，8]，對于函數(shù)y＝f（x）－f（－x），則有－4≤x≤8，－4≤－x≤8，解得－4≤x≤4，因此，函數(shù)y＝f（x）－f（－11.已知函數(shù)f（x）滿足2f（x+1x）－f（x－1x）＝x，則f（x）＝13（解析：由2f（1＋1x）－f（1－1x）＝x①，得2f（1－1x）－f（1＋1x）＝－x②，由①②得3f（1＋1x）＝x，則f（1＋1x）＝13x（x≠0），令1＋1x＝t，則x＝1t－1（t≠1），所以f（t）＝13（t－112.已知函數(shù)f（x）＝12x＋x，x>0，ex，x≤0，若存在實數(shù)a，使得f（x）－a＝0，則實數(shù)解析：由題可得f（x）的圖象與直線y＝a存在交點，當(dāng)x＞0時，f（x）＝12x＋x≥212x·x＝2，當(dāng)且僅當(dāng)12x＝x，即x＝22時等號成立；當(dāng)x≤0時，0＜ex≤e0＝1，所以f（x）的值域為（0，1]∪[2，＋∞），故實數(shù)a的取值范圍為（0四、解答題13.求下列函數(shù)的解析式：（1）已知f（f（x））＝4x＋9，且f（x）為一次函數(shù)，求f（x）；解：（1）∵f（x）為一次函數(shù)，∴設(shè)f（x）＝kx＋b（k≠0），∴f（f（x））＝f（kx＋b）＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝4x＋9，∴k2=4，kb∴f（x）＝2x＋3或f（x）＝－2x－9.（2）已知函數(shù)f（x2＋1）＝x4，求f（x）.解：（2）f（x2＋1）＝x4＝（x2＋1）2－2（x2＋1）＋1，且x2＋1≥1，∴f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，x≥1.14.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y（米）與汽車的車速x（千米/時）滿足下列關(guān)系：y＝x2200＋mx＋n（m，n是常數(shù)）.如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y（