第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)【課標(biāo)要求】（1）理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系；（2）理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞命題和存在量詞命題1.全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示；（2）存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示.2.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中任意一個(gè)x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立簡(jiǎn)記?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）提醒（1）對(duì)省略了量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要結(jié)合命題的含義加上量詞，再改變量詞；（2）命題p和p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真假.（1）〔多選〕下列說(shuō)法正確的是（AB）A.?x∈R，ex＜ex＋1B.命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”C.命題“?x＞1，都有2x＋1＞5”的否定為“?x≤1，使得2x＋1≤5”D.“正方形是菱形”是全稱量詞命題，其否定為“至少有一個(gè)正方形是菱形”解析：（1）對(duì)于A，當(dāng)x＝1時(shí)，e＜e＋1成立，故A正確；對(duì)于B，命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”，故B正確；對(duì)于C，命題“?x＞1，都有2x＋1＞5”的否定為“?x＞1，使得2x＋1≤5”，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“正方形是菱形”等價(jià)于“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題，其否定為“至少有一個(gè)正方形不是菱形”，故D錯(cuò)誤.（2）（2024·新高考Ⅱ卷2題）已知命題p：?x∈R，｜x＋1｜＞1；命題q：?x＞0，x3＝x.則（B）A.p和q都是真命題B.p和q都是真命題C.p和q都是真命題D.p和q都是真命題解析：（2）對(duì)于命題p，取x＝－1，則有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命題，p是真命題；對(duì)于命題q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，故選B.規(guī)律方法1.含量詞命題的否定，一是要改寫(xiě)量詞，二是要否定結(jié)論.2.判定全稱量詞命題“?x∈M，p（x）”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p（x）成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p（x）”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p（x）成立即可.3.由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成p的真假求參數(shù)的范圍.練1（1）（2025·寶雞一模）已知命題p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，則p為（D）A.?x＜0，ex＜1且sinx＞1B.?x＜0，ex≥1或sinx≤1C.?x≥0，ex＜1或sinx＞1D.?x≥0，ex＜1且sinx＞1解析：（1）命題p：?x≥0，ex≥1或sinx≤1，為全稱量詞命題，則p：?x≥0，ex＜1且sinx＞1，故選D.（2）已知命題“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（C）A.（－18，0） B.（0，1C.（18，＋∞） D.（1，＋∞解析：（2）因?yàn)槊}“?x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，所以命題“?x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命題，當(dāng)a＝0時(shí)，得x＜2，不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，得a>0，Δ=1－知識(shí)點(diǎn)二充分條件、必要條件與充要條件若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp（1）（2024·天津高考2題）設(shè)a，b∈R，則“a3＝b3”是“3a＝3b”的（C）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：（1）由函數(shù)y＝x3是增函數(shù)可知，若a3＝b3，則a＝b；由函數(shù)y＝3x是增函數(shù)可知，若3a＝3b，則a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要條件，故選C.（2）（2024·全國(guó)甲卷理9題）設(shè)向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），則（C）A.x＝－3是a⊥b的必要條件B.x＝1＋3是a∥b的必要條件C.x＝0是a⊥b的充分條件D.x＝－1＋3是a∥b的充分條件解析：（2）a⊥b?x2＋x＋2x＝0?x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分條件，x＝0是a⊥b的充分條件，故A錯(cuò)誤，C正確.a∥b?2x＋2＝x2?x2－2x－2＝0?x＝1±3，故B、D錯(cuò)誤.規(guī)律方法充分、必要條件的三種判定方法（1）定義法：根據(jù)p?q，q?p是否成立進(jìn)行判斷；（2）集合法：根據(jù)p，q成立對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.練2（1）（2023·全國(guó)甲卷理7題改編）若直線l1：xtanθ＋y－2＝0，l2：xtanθ＋ytanθ＋3＝0，則“θ＝3π4”是“直線l1與l2垂直”的（AA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：（1）易得tanθ≠0，由題知直線l1的斜率為－tanθ，l2的斜率為－1，若直線l1與l2垂直，則－tanθ×（－1）＝－1，則tanθ＝－1，則θ＝kπ－π4（k∈Z），當(dāng)k＝1時(shí)，θ＝3π4.故“θ＝3π4”是“直線l1與l（2）（2025·張家界一模）王安石在《游褒禪山記》中說(shuō)過(guò)一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（B）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：（2）因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件.提能點(diǎn)充分條件、必要條件的探究與應(yīng)用充分、必要條件與對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系設(shè)A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}：（1）若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；（2）若A?B，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；（3）若A＝B，則p是q的充要條件.（人A必修一P23習(xí)題4題改編）已知集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.是否存在實(shí)數(shù)m，使得x∈P是x∈S的充分不必要條件.若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：由題意，集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}.因?yàn)閤∈P是x∈S的充分不必要條件，所以P?S，則滿足1－m≤1＋m且1－m≤1，1+m≥4（經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m＝3時(shí)，滿足題意，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，＋∞）.變式（1）如果將“充分不必要”條件改為“必要不充分條件”，又該如何求解？（2）改為充要條件呢？解：（1）因?yàn)閤∈P是x∈S的必要不充分條件，所以S?P，當(dāng)S＝?時(shí)，1－m＞1＋m，解得m＜0，此時(shí)滿足題意；當(dāng)S≠?時(shí)，有1－m≤1＋m且1－m≥1，1+m≤4（綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，0].（2）因?yàn)閤∈P是x∈S的充要條件，所以P＝S，即1－m則不存在實(shí)數(shù)m，使得x∈P是x∈S的充要條件.規(guī)律方法求參數(shù)問(wèn)題的解題策略（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解；（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).練3（1）（北師必修一P45復(fù)習(xí)題1（3）題改編）不等式2x2－5x－3＜0成立的一個(gè)必要不充分條件是（C）A.－3＜x＜12 B.－12＜xC.－1＜x＜3 D.12＜x＜解析：（1）不等式2x2－5x－3＜0的解集是（－12，3），觀察四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)（－12，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0成立”的一個(gè)必要不充分條件，故選（2）（2025·常德聯(lián)考）已知命題p：｜x｜≤1，q：x＜a，若q是p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（C）A.（－∞，1） B.（－∞，1]C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）解析：（2）由｜x｜≤1，即－1≤x≤1，又q：x＜a，由q是p的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件，所以a＞1.故選C.一、單項(xiàng)選擇題1.（2025·宜賓一模）命題“?x＞1，lnx＞0”的否定是（）A.?x＞1，lnx＜0 B.?x＞1，lnx≤0C.?x＞1，lnx≤0 D.?x≤1，lnx≤0解析：C命題“?x＞1，lnx＞0”的否定是：?x＞1，lnx≤0，故選C.2.以下四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（）A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使x2≤0解析：BA選項(xiàng)為全稱量詞命題，且所給的命題為假命題；B選項(xiàng)為存在量詞命題，且所給的命題為真命題；C選項(xiàng)為全稱量詞命題，取x1＝2＋3，x2＝2－3，則x1＋x2＝4為有理數(shù)，所給的命題為假命題；D選項(xiàng)為存在量詞命題，若x＜0，則x2＞0，所給的命題為假命題.故選B.3.（2025·朔州模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b∈R，則“a＜1且b＜1”是“a＋b＜2”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A若a＜1且b＜1，則a＋b＜2，即充分性成立；若a＋b＜2，例如a＝1，b＝0，滿足a＋b＜2，但不滿足a＜1且b＜1，即必要性不成立.綜上所述，“a＜1且b＜1”是“a＋b＜2”的充分不必要條件.故選A.4.（2025·濟(jì)寧一模）已知A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍是（）A.（－∞，1] B.[1，＋∞）C.（－∞，2] D.[2，＋∞）解析：D因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以A?B，所以a≥2.故選D.5.（2025·赤峰一模）已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量ta＋b與a－2b共線；命題乙：t＝－12，則甲是乙的（A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：C對(duì)于命題甲，可設(shè)ta＋b＝λ（a－2b），即ta＋b＝λa－2λb，則t＝λ，1=－2λ，所以t＝λ＝－12；對(duì)于命題乙，t＝－12時(shí)，ta＋b＝－12（a－2b），則有向量ta＋b與6.數(shù)學(xué)中有一類數(shù)字被稱為水仙花數(shù)，水仙花數(shù)是指一個(gè)三位數(shù)，它的每一個(gè)數(shù)字的3次冪之和等于它本身，例如：33＋73＋03＝370.設(shè)集合U＝{153，155，212，371}，A＝{x｜x是水仙花數(shù)，x∈U}，B＝{x｜x＝3k，x∈U，k∈Z}，則“x∈A”是“x∈B”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：B因?yàn)?53＝13＋53＋33，371＝33＋73＋13，則集合A＝{153，371}，而B(niǎo)＝{153}，故B?A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.7.設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題，如果甲是乙的必要條件，丙是乙的充分條件，但不是乙的必要條件，那么（）A.丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件B.丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件C.丙既是甲的充分條件，又是甲的必要條件D.丙既不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件解析：A因?yàn)榧资且业谋匾獥l件，所以乙?甲.又因?yàn)楸且业某浞謼l件，但不是乙的必要條件，所以丙?乙，但乙丙，如圖.綜上，有丙?甲，但甲丙，即丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件.故選A.8.（2025·德陽(yáng)模擬）若命題“?x∈（－1，3），x2－2x－a≤0”為真命題，則實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）A.－1 B.0C.1 D.3解析：A由題意，?x∈（－1，3），a≥x2－2x，令h（x）＝x2－2x，則當(dāng)x∈（－1，3）時(shí)，a≥h（x）有解，即a≥h（x）min（x∈（－1，3））.因?yàn)楹瘮?shù)h（x）＝x2－2x在（－1，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，所以h（x）在（－1，3）上的最小值為h（1）＝1－2＝－1，所以a≥－1.所以實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是－1.故選A.二、多項(xiàng)選項(xiàng)題9.（2025·六安質(zhì)量檢測(cè)）下列命題正確的是（）A.命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”B.“至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全稱量詞命題C.“?x∈R，x－2＞x”是真命題D.“?x∈R，x2＞0”的否定是真命題解析：ACD對(duì)于A，因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定為全稱量詞命題，所以命題“?x∈R，y＞1”的否定是“?x∈R，y≤1”，故A正確；對(duì)于B，“至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量詞命題，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x＝9時(shí)，9－2＝7＞9＝3，所以“?x∈R，x－2＞x”是真命題，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以“?x∈R，x2＞0”是假命題，其否定是真命題，故D正確.故選A、C、D.10.（2025·綿陽(yáng)一模）下列命題正確的有（）A.“A∪B＝A”是“B?A”的充分不必要條件B.“x＝1”是“x≥1”的充分不必要條件C.“sinx＝12”的必要不充分條件是“x＝πD.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的充要條件解析：BD對(duì)于A，由A∪B＝A可得B?A，故充分性成立，由B?A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B?A”的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，“x＝1”是“x≥1”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)x＝π6時(shí)，sinx＝12；當(dāng)sinx＝12時(shí)，x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ，k∈Z，所以“x＝π6”是“sinx＝12”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)三角形的性質(zhì)，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊可知“A＞B”是“a＞b”的充要條件，故11.命題“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.m＞－2 B.m＞－1C.m＞0 D.m＞1解析：CD由題意，存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0，即m＞1－2xx2＝（1x）2－2×1x＝（1x－1）2－1，當(dāng)1x－1＝0時(shí)，即x＝1時(shí)，1－2xx2的最小值為－1，故m＞－1；所以命題“存在x＞0，使得mx2＋2x－1＞0”為真命題的充分不必要條件是{m｜m＞－1}三、填空題12.設(shè)a＞0，b＞0，則使得命題“若ln（a＋b）＞0，則lna＋lnb＞0”為假命題的一組a，b的值是a＝1，b＝1（答案不唯一）.解析：根據(jù)題意，滿足題意的a，b滿足ln（a＋b）＞0，且lna＋lnb≤0，即ln（a＋b）＞ln1，lnab≤ln1，解得a＋b＞1，0＜ab≤1，則答案不唯一，不妨取a＝1，b＝1，滿足題意.13.《墨子·經(jīng)說(shuō)上》上說(shuō)：“小故，有之不必然，無(wú)之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見(jiàn)之成見(jiàn)也.”這一段文字蘊(yùn)含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的必要不充分條件.解析：由“小故，有之不必然，無(wú)之必不然”，知“小故”只是構(gòu)成某一結(jié)果的幾個(gè)條件中的一個(gè)或一部分條件，故“小故”是邏輯中