第3節(jié)不等式及其性質(zhì)【課標(biāo)要求】（1）理解用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù)；（2）理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小1.作差法a－b>0?a＞b，2.作商法a＞b（1）（2025·晉城一模）若實(shí)數(shù)m，n，p滿足m＝4e35，n＝5e23，p＝18e2A.p＜m＜n B.p＜n＜mC.m＜p＜n D.n＜p＜m（2）〔多選〕（人A必修一P43習(xí)題3題改編）下列不等式中正確的是（）A.x2－2x＞－3（x∈R）B.a3＋b3≥a2b＋ab2（a，b∈R）C.a2＋b2＞2（a－b－1）D.若a＞b＞0，則a2－b2＞1a－答案：（1）A（2）AD解析：（1）∵實(shí)數(shù)m，n，p滿足m＝4e35，n＝5e23，p＝18e2，∴m＞0，n＞0，p＞0，∴mn＝4e355e23＝45·e－115＜1，∴m＜n；又mp＝4e（2）∵x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，故A正確；a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.∵（a－b）2≥0，a＋b的符號(hào)不確定，∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯(cuò)誤；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝（a－1）2＋（b＋1）2≥0，∴a2＋b2≥2（a－b－1），故C錯(cuò)誤；a2－b2－（1a－1b）＝（a－b）（a＋b）－b－aab＝（a－b）（a＋b＋1ab）＞規(guī)律方法比較大小的常用方法（1）作差法：①作差；②變形；③定號(hào)；④得出結(jié)論.（2）作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.練1（1）若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，則A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c（2）（2025·石家莊調(diào)研）已知a＝12e34，b＝e，c＝e+1A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.b＜c＜a D.c＜b＜a答案：（1）B（2）A解析：（1）法一易知a，b，c都是正數(shù)，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，∴a＞b；bc＝5ln44ln5＝log6251024＞1，∴b＞c.即c＜法二構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnxx，則f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，＋∞）上單調(diào)遞減.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即（2）∵2c－2b＝e－2e＋1＝（e－1）2＞0，∴2c＞2b，即c＞b；又∵（2b）4－（2a）4＝16e2－e3＝e2（16－e）＞0，∴（2b）4＞（2a）4，又a，b均為正數(shù)，∴2b＞2a，即b＞a，∴a＜b＜c.知識(shí)點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1對(duì)稱性：a＞b?b＜a；性質(zhì)2傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；性質(zhì)3可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；性質(zhì)4可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；性質(zhì)5同向可加性：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；性質(zhì)6同向同正可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；性質(zhì)7同正可乘方性：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，n≥2）.結(jié)論（1）倒數(shù)性質(zhì)：①a＞b，ab＞0?1a＜1b；②a＜0＜b?1a＜1b；③a＞b＞0，d＞c＞0?（2）分?jǐn)?shù)性質(zhì)：若a＞b＞0，m＞0，則①真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ba＜b＋ma＋m；ba＞b②假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：ab＞a＋mb＋m；ab＜a（1）（人A必修一P43習(xí)題8題改編）已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是（D）A.若a＞b，c＜d?a＋c＞b＋dB.若a＞b，c＞d?ac＞bdC.若bc－ad＞0，ca－db＞0?bD.若a＞b＞0，c＞d＞0?ad＞解析：（1）對(duì)于A，若a＞b，c＜d，則－c＞－d，則a－c＞b－d，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，則ac＝bd＝0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若bc－ad＞0，ca－db＝bc－adab＞0，則ab＞0，無法得出b＜0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若a＞b＞0，則c＞d＞0，可得1d＞1c＞0，則ad＞bc＞0，所以ad（2）（2025·杭州質(zhì)檢）若a＞b，則（D）A.a2＞b2 B.ab＜C.1a＜1b D.a｜a｜＞b｜解析：（2）對(duì)于A，若取a＝2，b＝－3，滿足a＞b，此時(shí)a2＜b2，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＞b＞0時(shí)，由假分?jǐn)?shù)性質(zhì)知B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若取a＝1，b＝－1，滿足a＞b，此時(shí)1a＞1b，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，構(gòu)造函數(shù)y＝x｜x｜＝x2，x≥0，－x2，x<0，易知該函數(shù)在R上為增函數(shù)，所以當(dāng)a＞b時(shí)，有a規(guī)律方法判斷不等式的常用方法（1）直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；（2）利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.練2（1）〔多選〕（人B必修一P84復(fù)習(xí)題8題改編）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，則下列說法正確的是（BC）A.1a－c＞1b－c B.C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0解析：（1）對(duì)于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴1a－c＜1b－c，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0，∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正確；對(duì)于C，∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2＞b2，C正確；對(duì)于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b2（2）能夠說明“若ax＞ay，a＜0，則x＞y”是假命題的一組整數(shù)x，y的值依次為－1，1（答案不唯一）解析：（2）由ax＞ay，a＜0，可得1x＜1y.①當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，可得x＞y；②當(dāng)x，y異號(hào)時(shí)，可得y＞0＞x.又命題為假命題，故取整數(shù)x，y滿足y＞0＞x即可，可取x＝－1，提能點(diǎn)不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用（1）（人A必修一P43習(xí)題5題改編）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，則xy的取值范圍是（－12，2），3x＋2y的取值范圍是（1，18）解析：（1）因?yàn)椋?＜x＜4，2＜y＜3，所以13＜1y＜12，所以－12＜xy＜2.由－3＜3x＜12，4＜2y＜6，得1＜3x＋（2）（2025·杭州模擬）“雙節(jié)”遇上亞運(yùn)會(huì)，民宿成為潮流趨勢(shì).民宿的改造中，窗戶面積與地板面積之比越大，采光效果越好.現(xiàn)有一所地板面積為180平方米的民宿需要同時(shí)增加窗戶和地板的面積，已知地板增加的面積是窗戶增加的面積的2倍，且民宿改造后的采光效果不遜于改造前，則改造前的窗戶面積最大為90平方米.解析：（2）設(shè)改造前的窗戶面積為x，窗戶增加的面積為y，x＞0，y＞0，依題意x180≤x＋y180+2y，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90變式若將本例（1）條件改為“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，則3x＋2y的取值范圍為（92，192）解析：設(shè)3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜12規(guī)律方法利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍的注意點(diǎn)（1）必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；（2）多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，然后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.練3（1）（人B必修一P65例2（3）改編）已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，則xx－2y的取值范圍是（A.（110，14） B.（14C.（15，1） D.（23，解析：（1）原式分子和分母同時(shí)除以x，得xx－2y＝11－2yx，由條件得2＜－2y＜6，14＜1x＜12，所以24＜－2yx＜62，即12＜－2yx（2）（2025·通州一模）已知1＜a＜b＜3，則a－b的取值范圍是（－2，0），ab的取值范圍是（13，1）解析：（2）因?yàn)?＜a＜b＜3，所以1＜a＜3，－3＜－b＜－1，所以－2＜a－b＜2，因?yàn)閍＜b，所以－2＜a－b＜0；因?yàn)?3＜1b＜1，1＜a＜b，所以13＜a一、單項(xiàng)選擇題1.（2025·韶關(guān)模擬）已知a＞0，b＞0，設(shè)m＝a－2b＋2，n＝2a－b，則（）A.m≥n B.m＞nC.m≤n D.m＜n解析：A由題意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號(hào)成立，即m≥n，故選A.2.若1＜α＜3，－2＜β＜4，則α－｜β｜的取值范圍是（）A.（－3，1） B.（－3，3）C.（0，3） D.（－3，5）解析：B∵－2＜β＜4，∴0≤｜β｜＜4，－4＜－｜β｜≤0，又1＜α＜3，∴－3＜α－｜β｜＜3，故選B.3.（2025·濟(jì)寧一模）已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，則a2b的取值范圍為（A.（1，3） B.（43，9C.（23，34） D.（12解析：A因?yàn)椋?＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即14＜1b＜13，故a2b的取值范圍為4.（2025·菏澤一模）若a＜b＜0，則下列不等式成立的是（）A.a2＜b2 B.a＋b＜b＋cC.1a＜1b D.1解析：D對(duì)于A，由于a＜b＜0，則a2＞b2，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于a，c關(guān)系不確定，故a＋b＜b＋c不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于a＜b＜0，所以1a＞1b，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于a＜b＜0，則｜a｜＞｜b｜＞0，故1｜a｜＜1｜b5.（2025·銅川質(zhì)檢）已知a，b為正實(shí)數(shù)，則“ab＜1”是“ab＜a+1b+1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：C若ab＜1，由真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知充分性成立；若ab＜a+1b+1，則ab＋a＜ba＋b，即a＜b且a，b∈R＋，故ab＜1，即必要性成立，所以“ab＜1”是“ab6.（2025·南通一模）已知x，y∈R，且x＞y，則（）A.1x－1y＜0 B.tanx－tanyC.（1e）x－（1e）y＜0 D.ln｜x｜－ln｜y解析：C對(duì)于A中，1x－1y＝y(tǒng)－xxy，其中y－x＜0，但xy的符號(hào)不確定，所以A不正確；對(duì)于B中，例如x＝π，y＝π4，此時(shí)tanx－tany＝0－1＝－1＜0，所以B不正確；對(duì)于C中，由函數(shù)f（x）＝（1e）x在R上為減函數(shù)，因?yàn)閤＞y，所以（1e）x＜（1e）y，可得（1e）x－（1e）y＜0，所以C正確；對(duì)于D中，例如x＝2，y＝－3，此時(shí)ln｜x｜－ln｜y｜＝ln2－ln3＝ln7.（2025·金華調(diào)研）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b勻速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后一半時(shí)間以速度b勻速跑，若a≠b，則（）A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)解析：B設(shè)馬拉松全程為x，所以甲用的時(shí)間為12（xa＋xb），乙用的時(shí)間為xa＋b2＝2xa＋b，因?yàn)閍≠b，所以12（xa＋xb）－2xa＋b＝bx（a8.（2025·北京西城一模）已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，則正數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為（）A.p＞m＞n B.m＞n＞pC.m＞p＞n D.p＞n＞m解析：A由m5＝4，得m＝415＝225＜2，由n8＝9，得n＝918＝314，因此，mn＝225314＝（225×20314×20）120＝（2835）120＝（256243）120＞1，即2＞m＞n，由0.9p＝0.8，得p＝log0二、多項(xiàng)選擇題9.已知a＞0＞b，a＋b＜0，則（）A.ba＞－1 B.a2＞bC.b－1b＜a+1a D.（a＋2）（解析：CD由題得0＜a＜－b，則－ba＞1，即ba＜－1，A錯(cuò)誤；由A項(xiàng)知0＜a＜－b，則a2＜b2，B錯(cuò)誤；因?yàn)閎－1b－a+1a＝－（1a＋1b）＝－a＋bab＜0，C正確；因?yàn)椋╝＋2）（b＋2）－4＝10.（2025·南昌一模）已知實(shí)數(shù)x，y滿足－3＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，則（）A.－1＜x＜2 B.－2＜y＜1C.－3＜x＋y＜3 D.－1＜x－y＜3解析：ABD因?yàn)椋?＜x＋2y＜2，－1＜2x－y＜4，所以－2＜4x－2y＜8，則－5＜5x＜10，即－1＜x＜2，故A正確；又－4＜－2x－4y＜6，－1＜2x－y＜4，所以－5＜－5y＜10，即－2＜y＜1，故B正確；x＋y＝3（x+2y）＋（2x－y）5∈（－2，2），故C錯(cuò)誤；x11.（2025·合肥質(zhì)檢）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且abc＝1，則下列說法正確的是（）A.（a＋c）2＞1B.1a－C.a2＞b2D.（a2b－1）（ab2－1）＞0解析：ABD對(duì)A，根據(jù)abc＝1可得1b＝ac，故（a＋c）2＞1b，即（a＋c）2＞ac，即a2＋ac＋c2＞0.因?yàn)閍2＋ac＋c2＝（a＋c2）2＋3c24＞0恒成立，故（a＋c）2＞1b成立，故A正確；對(duì)B，因?yàn)閍＞b＞c，故a－c＞b－c＞0，故1a－c＜1b－c成立，故B正確；對(duì)C，當(dāng)a＝12，b＝－1，c＝－2時(shí)，滿足a＞b＞c且abc＝1，但a2＞b2不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)閍bc＝1，（a2b－1）（ab2－1）＝（ac－1）（bc－1）＝（a三、填空題12.已知a＞0，－1＜b＜0，則a，ab，ab2由小到大依次排列是ab＜ab2＜a.解析：因?yàn)閍＞0，－1＜b＜0，所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a，故ab＜ab2＜a.13.若a，b同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①a＋b＞ab；②1a＋b＞1ab.請(qǐng)寫出一組a，b的值a＝－1，b＝2（解析：容易發(fā)現(xiàn)，若將①式轉(zhuǎn)化為②式，需使（a＋b）ab＜0，即a＋b與ab異號(hào)，顯然應(yīng)使a＋b＞0，ab＜0，當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)，a＋b＞0，則｜a｜＜｜b｜，可取a＝－1，b＝2；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，a＋b＞0，則｜a｜＞｜b｜，可取a＝2，b＝－1.綜上，取任意異號(hào)兩數(shù)，且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值皆為合理答案.14.已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則ca的取值范圍是（－3，－1）解析：因?yàn)閍＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以c