第3節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系；（2）了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算；（3）理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率；（4）理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件與事件的關(guān)系及運(yùn)算01.知識(shí)點(diǎn)二古典概型02.知識(shí)點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)與實(shí)際情境中的概率估計(jì)03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件與事件的關(guān)系及運(yùn)算1.

樣本空間和隨機(jī)事件關(guān)鍵詞含義樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的

的基本結(jié)果，常用ω表示樣

本點(diǎn)樣本空間

樣本點(diǎn)的集合，常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，

則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間隨機(jī)事件樣本空間Ω的

，常用大寫(xiě)字母A，B，C，…

表示每個(gè)可能

全體

子集

關(guān)鍵詞含義基本事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件必然事件每次試驗(yàn)

?的事件不可能事件每次試驗(yàn)

?的事件一定發(fā)生

一定不發(fā)生

2.

事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω結(jié)論當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，

一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件.

（1）〔多選〕拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：E＝“點(diǎn)數(shù)

為奇數(shù)”，F(xiàn)＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，H＝“點(diǎn)數(shù)不大于

2”，R＝“點(diǎn)數(shù)為1”.則下列結(jié)論正確的是（

ACD

）A.

E，F(xiàn)為對(duì)立事件B.

G，H為互斥不對(duì)立事件C.

E，G不是互斥事件D.

G，R是互斥事件ACD解析：

點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)不大于2不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，G，H為互斥且對(duì)立事件，選項(xiàng)B不正確；點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于2可能同時(shí)發(fā)生，E，G不互斥，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)為1不可能同時(shí)發(fā)生，G，R為互斥事件，選項(xiàng)D正確.故選A、C、D.

（2）〔多選〕對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)

事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒(méi)擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰

有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，則下列關(guān)系正確的

是（

BC

）A.

A∩D＝?B.

B∩D＝?C.

A∪C＝DD.

A∪B＝B∪D解析：“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中、第二枚沒(méi)中或第一枚

沒(méi)中、第二枚擊中，“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況，一種是恰有

一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故A∩D≠?，B∩D＝?，A∪C＝

D，A∪B≠B∪D.

BC規(guī)律方法判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義，不可能同時(shí)發(fā)生的

兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為

對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件；（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，

則事件互斥；②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事

件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.練1（1）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)除顏色外完全相同的小球，從中

取出兩個(gè)球，事件A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至

少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出

的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷正

確的是（

）A.

A與D為對(duì)立事件B.

B與C是互斥事件C.

C與E是對(duì)立事件D.

A∩B＝B∩E√解析：當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，B不正確；當(dāng)

取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，C不正確；顯然A

與D是對(duì)立事件，A正確；A∩B含有“黃黃”一個(gè)事件，而B(niǎo)∩E含有

“黃紅”“黃白”“黃黃”三個(gè)事件，故A∩B≠B∩E，故D錯(cuò)誤.（2）〔多選〕下列說(shuō)法正確的是（

）A.

若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件B.

《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著.若在

這四大名著（各一本）中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進(jìn)行閱讀，設(shè)

事件E＝“甲取到《紅樓夢(mèng)》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢(mèng)》”，則

E與F是互斥但不對(duì)立事件C.

擲一枚骰子，記錄其向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A＝“向上的點(diǎn)數(shù)不大于

5”，事件B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則B?AD.10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)次品，從中抽取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含

有2個(gè)樣本點(diǎn)√√√解析：對(duì)于A，事件A與B互斥時(shí)，A∪B不一定是必然事件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，事件E與F不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E

與F之外還有事件“丙取到《紅樓夢(mèng)》”“丁取到《紅樓夢(mèng)》”，所以E

與F不是對(duì)立事件，故E與F是互斥但不對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，事

件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B?A，故C正確；對(duì)

于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個(gè)樣本點(diǎn)，故D正確.PART02知識(shí)點(diǎn)二古典概型1.

古典概型的特征（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有

個(gè)；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性

?.2.

古典概型的概率公式

有限

相等

（1）（2025·八省聯(lián)考）有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，

5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字

之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為

?；

（2）（2024·新高考Ⅰ卷14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)

有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有

數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持

有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1

分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此

后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率

為

?.解析：

甲出1一定輸，所以最多得3分，要得3分，就只有一種組合1

－8，3－2，5－4，7－6.得2分有三類，分別列舉如下：

①出3和出5時(shí)贏，其余輸：1－6，3－2，5－4，7－8；②出3和出7時(shí)贏，其余輸：1－4，3－2，5－8，7－6；1－8，3－2，5－

6，7－4；1－6，3－2，5－8，7－4；

2.

求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題；（2）樹(shù)狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹(shù)狀圖在解決求樣本點(diǎn)

總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)直觀、方便，但畫(huà)樹(shù)狀圖時(shí)要注

意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列、組

合的知識(shí).練2（1）（2025·上海模擬）已知向量a＝（x，y），b＝（1，－2），

從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5，6的卡片中，有放回地抽取

兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b

＞0的概率是（

D

）A.

B.

DC.

D.

（2）（2024·寶雞三模）圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：

“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化

的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加

比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則

甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為

?.

PART03知識(shí)點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)與實(shí)際情境中的概率估計(jì)1.

概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P（A）≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P

（?）＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝

?

?；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P（B）＝1－P（A），

P（A）＝

?；P（A）＋P

（B）

1－P（B）

性質(zhì)5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意

事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P（A）≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P（A∪B）

＝

?.P（A）＋P（B）－P（A∩B）

2.

頻率和概率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻

率fn（A）會(huì)逐漸

事件A發(fā)生的概率P（A），我們稱頻率的這

個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用頻率fn（A）估計(jì)概率P

（

A

）.結(jié)論若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P

（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.穩(wěn)定于

A

A.

P（B）＝

B.

P（C）＝

C.

P（B∪C）＝

D.

P（B∩C）＝0ACD

（2）射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12則該選手射擊一次，命中9環(huán)或10環(huán)的概率為

；至少命中8環(huán)的概

率為

；命中不足8環(huán)的概率為

?.0.600.780.22

規(guī)律方法互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件的概

率加法公式求解概率；（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太

多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正

難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.練3（1）〔多選〕某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用

大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品（每人只選

一種），結(jié)果如表所示：總?cè)藬?shù)食用大米套餐人數(shù)食用面食人數(shù)1

000550260假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為

事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生

的概率，則下列結(jié)論正確的是（

ABC

）ABCA.

P（M）＝0.55B.

P（N）＝0.26C.

P（H）＝0.19D.

P（N∪H）＝0.65

（2）在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)（取整數(shù)）不低于90分的概率是0.18，

在[80，89]的概率是0.51，在[70，79]的概率是0.15，在[60，69]的概率

是0.09，在60分以下的概率是0.07，則小明在數(shù)學(xué)考試中成績(jī)不低于70分

的概率為

；小明數(shù)學(xué)考試及格（60分及以上）的概率為

?.0.840.93解析：分別記小明的成績(jī)“不低于90分”“[80，89]”“[70，79]”“[60，69]”為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件彼此互斥.則小明的成績(jī)不低于70分的概率是P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.法一小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1－0.07＝0.93.PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級(jí)參加一次活動(dòng)，

則樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A.5B.10C.15D.20

12345678910111213141516√

A.0.18B.0.42C.0.6D.0.7解析：

由于A?B，所以P（A∩B）＝P（A）＝0.6.故選C.

√123456789101112131415163.

（2024·濟(jì)南三模）哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩

個(gè)素?cái)?shù)的和”，如12＝5＋7，在不超過(guò)18的素?cái)?shù)2，3，5，7，11，13，17

中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于18的概率是（

）A.

B.

√C.

D.

123456789101112131415164.

兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（

）A.

拋一枚硬幣，正面朝上的概率B.

擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C.

轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率D.

從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率√12345678910111213141516

123456789101112131415165.

從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對(duì)

立的兩個(gè)事件的是（

）A.

至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B.

恰有一個(gè)紅球；都是白球C.

至少有一個(gè)紅球；都是白球D.

至多有一個(gè)紅球；都是紅球√12345678910111213141516解析：

對(duì)于A，“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至

少有一個(gè)白球”也可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，

所以不是互斥事件；對(duì)于B，“恰有一個(gè)紅球”，則另一個(gè)必是白球，與

“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對(duì)

立事件；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是

白球”顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D，“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅

一白，與“都是紅球”是對(duì)立事件.12345678910111213141516

A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子.每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一

顆星星只收到一個(gè)孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩

個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無(wú)法成真，則至

少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題8.

小張上班從家到公司開(kāi)車(chē)有兩條線路，所需時(shí)間（分鐘）隨交通堵塞狀

況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時(shí)間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.112345678910111213141516A.

任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是

對(duì)立事件B.

從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間C.

如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.

若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為

0.04則下列說(shuō)法正確的是（

）√√12345678910111213141516解析：對(duì)于選項(xiàng)A，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分鐘，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線路一所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為（50，60），（60，50）和（60，60）三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以選項(xiàng)D正確.故選B、D.

12345678910111213141516

A.

P（A）＝

B.

P（B）＝

C.

P（AB）＝

D.

P（

）＝

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

只有一人破譯出密碼

1234567891011121314151611.

某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)的85人中，有75人是

高級(jí)工程師.既沒(méi)有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)又不是高級(jí)工程師的員工共有

14人，公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工

是高級(jí)工程師的概率為

?.

1234567891011121314151612.

將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概

率為

?.

12345678910111213141516四、解答題13.

某食品公司在中秋節(jié)來(lái)臨之際開(kāi)發(fā)了一種月餅禮盒，禮盒中共有7個(gè)月

餅，其中有4個(gè)五仁月餅和3個(gè)棗泥月餅.（1）一次取出兩個(gè)月餅，求兩個(gè)月餅為同一種口味的概率；

123456789101112131