第6節(jié)用空間向量研究線面位置關(guān)系及距離高中總復(fù)習·數(shù)學課標要求（1）理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中的線面位置關(guān)系；（2）會求空間中點到直線以及點到平面的距離.目錄CONTENTS知識點一空間位置關(guān)系的向量表示01.知識點二空間距離02.課時跟蹤檢測03.PART01知識點一空間位置關(guān)系的向量表示1.

直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l

平行或重合，稱此向量a為直線l的方向向量；（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面

α的法向量.2.

空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向

向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?

＝0直線l的方向向量

為u，平面α的法

向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n??λ∈R，使得u＝λn平面α，β的法

向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝0u1·u2

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面

ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.

（1）證明：AP⊥BC；

（2）若點M是線段AP上一點，且AM＝3.試證明平面AMC⊥平面BMC.

所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.

又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.

規(guī)律方法利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟練1在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，

且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點.

證明：（1）B1D⊥平面ABD；

（2）平面EGF∥平面ABD.

PART02知識點二空間距離

（a·u）u

（1）已知直線l過定點A（2，3，1），且n＝（0，1，1）為其一個

方向向量，則點P（4，3，2）到直線l的距離為（

D

）A.

B.

C.

D.

D（2）（人A選一P34例6（1）改編）在空間直角坐標系中，已知A（1，－

1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），則點A到直線BC的距離為

（

D

）A.3B.

C.

D.

D

規(guī)律方法點線距的求解步驟

2.

直線到平面的距離、平面到平面的距離都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.

（蘇教選二P40例10改編）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面

ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點.（1）求點D到平面PEF的距離；

（2）求直線AC到平面PEF的距離.

規(guī)律方法利用向量法求點B到平面α的距離的步驟練2

〔多選〕（人A選一P35練習2題改編）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1

的棱長為2，E為棱DD1的中點，F(xiàn)為棱BB1的中點，則（

）A.

點A1到直線B1E的距離為

B.

直線FC1到直線AE的距離為2C.

點B到平面AB1E的距離為

D.

直線FC1到平面AB1E的距離為

√√解析：

建立如圖所示的空間直角坐標系，

PART03課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直線l上，則直線l的一個方向向

量是（

）A.

（2，2，6）B.

（1，2，3）C.

（3，1，1）D.

（－3，0，1）

√123456789101112131415162.

已知平面α的一個法向量為n＝（－1，0，－1），點A（3，3，0）在

平面α內(nèi)，則平面外一點P（－2，1，4）到平面α的距離為（

）A.

B.

C.

D.1

√123456789101112131415163.

（2025·濟南模擬）在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面

AB1C與平面A1C1D之間的距離為（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

若四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB

＝2，OC＝3，點D在棱OC上，且OC＝3OD，點G為△ABC的重心，則

點G到直線AD的距離為（

）A.

B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.10B.12C.15D.20√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則（

）A.

平面B1EF⊥平面BDD1B.

平面B1EF⊥平面A1BDC.

平面B1EF∥平面A1ACD.

平面B1EF∥平面A1C1D√12345678910111213141516解析：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD且

DD1⊥平面ABCD，又EF?平面ABCD，所以

EF⊥DD1，因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以

EF∥AC，所以EF⊥BD，又BD∩DD1＝D，BD，

DD1?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面

B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正確；如

圖，以點D為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AB＝2，12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

（1，1，1）B.

C.

D.

√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題

A.

EF∥BD1B.

EF⊥A1DC.

EF＝

D.

點F到平面ABD1的距離為

√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·梅州模擬）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，點

M，N分別在棱AB和BB1上運動（不含端點）.若D1M⊥MN，則下列命

題正確的是（

）A.

MN⊥A1MB.

MN⊥平面D1MCC.

線段BN長度的最大值為

D.

三棱錐C1-A1D1M的體積不變√√√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

AB∥α或AB?α1234567891011121314151611.

（2025·黃岡模擬）已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面

ABCD，CG＝2，E是AB的中點，F(xiàn)是AD上靠近A的四等分點，則點B

到平面GEF的距離為

?.

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.

如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M

為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）.若AM⊥MP，則點P在

圓錐底面上形成的軌跡的長度為

.

12345678910111213141516

12345678910111213141516四、解答題13.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方

形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點.

（1）求證：EF⊥CD；12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.

1234567891011121314151614.

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點.

（1）求點B到直線AC1的距離；

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）判斷直線FC與平面AEC1的位置關(guān)系；如果平行，求直線FC到平面

AEC1的距離.

12345678910111213141516

12345678910