第9節(jié)解三角形應(yīng)用舉例高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求會(huì)運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)以及方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.測(cè)量中的幾個(gè)有關(guān)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線（兩者在同一鉛

垂面內(nèi)）所成的角中，目標(biāo)視線在水平

視線上方的角叫做

，目標(biāo)視線

在水平視線下方的角叫做

?

方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻?/p>

目標(biāo)方向線之間的夾角叫做

?

.方位角θ的范圍是

?

?

仰角

俯角

方位

角

0°≤θ＜

360°

術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的

銳角，通常表達(dá)為北（南）偏東（西）

α例：

坡角與坡比坡面與水平面所成銳二面角叫坡角（θ

為坡角）；坡面的垂直高度與水平寬度

之比叫坡比（坡度），即i＝

＝tan

θ

目錄CONTENTS知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題01.知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量高度問(wèn)題02.知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題03.課時(shí)跟蹤檢測(cè)04.PART01知識(shí)點(diǎn)一測(cè)量距離問(wèn)題

（1）（2025·綏化模擬）安邦河，在黑龍江省內(nèi)有兩條.一條屬于松

花江二級(jí)支流，位于黑龍江省中部，發(fā)源于小興安嶺支脈平頂山西坡；另

一條屬于松花江右岸支流，位于黑龍江省東部，發(fā)源于完達(dá)山支脈分水

崗，自南向北流經(jīng)雙鴨山、集賢、樺川3個(gè)市縣，在樺川縣新城鄉(xiāng)境內(nèi)注

入松花江.安邦河從雙鴨山一中旁流過(guò)，其中一河段的兩岸基本上是平行

的，根據(jù)城建工程計(jì)劃，需要測(cè)量出該河段的寬度，現(xiàn)在一側(cè)岸邊選取兩

點(diǎn)A，B并測(cè)得AB＝a，選取對(duì)岸一目標(biāo)點(diǎn)C并測(cè)得∠ABC＝α，∠BAC

＝β，則該段河流的寬度為（

A

）AA.

B.

C.

D.

（2）如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，

測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度（單位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝

3，DA＝5，且角B與角D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為（

A

）A.7

kmB.8

kmC.9

kmD.6

kmA

規(guī)律方法測(cè)量距離問(wèn)題的類型及解法（1）類型：①兩點(diǎn)間可視但不可達(dá)；②兩點(diǎn)間既不可視也不可達(dá).（2）解法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)

三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解.

PART02知識(shí)點(diǎn)二測(cè)量高度問(wèn)題

（1）（人A必修二P49例10改編）如圖，D，C，B在地平面同一直

線上，DC＝10

m，從D，C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°，則A

點(diǎn)離地面的高AB＝（

D

）A.10

mB.5

mC.5（

－1）mD.5（

＋1）mD

BA.58米B.60米C.66米D.68米

規(guī)律方法測(cè)量高度問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)（1）要理解仰角、俯角、方向（位）角的概念；（2）在實(shí)際問(wèn)題中，若遇到空間與平面（地面）同時(shí)研究的問(wèn)題，最好

畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形；（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.練2（1）（人A必修二P52習(xí)題8題改編）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD＝10

m，在點(diǎn)C和點(diǎn)D測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，則塔高AB為

m；10

（2）“倫敦眼”坐落在英國(guó)倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天

輪，又稱“千禧之輪”，該摩天輪的半徑為6（單位：10

m），游客在乘

坐艙P(yáng)升到上半空時(shí)鳥(niǎo)瞰倫敦建筑BC，倫敦眼與建筑之間的距離AB為12

（單位：10

m），游客在乘坐艙P(yáng)看建筑BC的視角為θ.當(dāng)乘坐艙P(yáng)在倫

敦眼的最高點(diǎn)D時(shí)，視角θ＝30°，試求建筑BC的高度.（單位：10

m）

PART03知識(shí)點(diǎn)三測(cè)量角度問(wèn)題

（1）（人A必修二P51練習(xí)1題改編）如圖所示，兩座燈塔A和B與海

岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向上，燈塔B在觀

察站南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的（

D

）A.

北偏東10°方向上B.北偏西10°方向上C.

南偏東80°方向上D.南偏西80°方向上D解析：由條件及題圖可知，△ABC為等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°方向上.故選D.

（2）（2025·南京模擬）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一

建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100

m到達(dá)B處，

又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°，若CD＝50

m，山坡對(duì)于地平面的坡度

為θ，則cos

θ＝（

C

）CA.

B.

－2C.

－1D.

－1

規(guī)律方法測(cè)量角度問(wèn)題的求解策略（1）測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫(huà)出表示實(shí)際問(wèn)題的

圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正、余弦定理解三角形，最

后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解；（2）方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚

是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.

30°

解：如圖，設(shè)救援艇在C處追趕上故障船，D為島A正南方

向上一點(diǎn)，救援艇的速度為x海里/小時(shí)，結(jié)合題意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－

22°＝120°.

PART04課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、單項(xiàng)選擇題1.

某班同學(xué)利用課外實(shí)踐課，測(cè)量A，B兩地之間的距離，在C處測(cè)得

A，C兩地之間的距離是4千米，B，C兩地之間的距離是6千米，且

∠ACB＝60°，則A，B兩地之間的距離是（

）A.

2

千米B.4

千米C.

2

千米D.6

千米

123456789101112√2.

（2025·濟(jì)南外國(guó)語(yǔ)模擬）小明利用測(cè)角儀和校園旗桿的拉繩測(cè)量校園

旗桿的高度，如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等，小明先將PB拉

到PB'的位置，測(cè)得∠PB'C＝α（B'C為水平線），測(cè)角儀B'D的高度為1

米，則旗桿PA的高度為（

）A.

米B.

米C.

米D.

米√

1234567891011123.

一艘船航行到點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得燈塔C與其相距30海里，如圖所示.隨后

該船以20海里/小時(shí)的速度，沿直線向東南方向航行1小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)

得燈塔C在其北偏東25°方向，則sin∠ACB＝（

）A.

sin

70°B.

sin

75°C.

cos

70°D.

√1234567891011124.

某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，海軍艦艇在A處獲悉后，立

即測(cè)出該漁輪在方位角為45°距離為10海里的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位

角為105°的方向，以9海里/小時(shí)的速度向小島靠攏，海軍艦艇立即以21海

里/小時(shí)的速度前去營(yíng)救，則艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為（

）A.

小時(shí)B.

小時(shí)C.

小時(shí)D.1小時(shí)√123456789101112

1234567891011125.

古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地

圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).現(xiàn)根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高

度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C

兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè).若在B，C處分別測(cè)得球體

建筑物的最大仰角為60°和20°，且BC＝100

m，則該球體建筑物的高度

約為（cos

10°≈0.985）（

）A.49.25

mB.50.76

mC.56.74

mD.58.60

m√123456789101112

123456789101112

A.

LB.

LC.

LD.2

L√123456789101112

123456789101112

A.

A處與D處之間的距離是24

n

mileB.

燈塔C與D處之間的距離是16

n

mileC.

燈塔C在D處的南偏西30°方向D.

D處在燈塔B的北偏西30°方向√√123456789101112

123456789101112

123456789101112

A.

∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADCC.

∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADC√√√123456789101112

123456789101112三、填空題9.

臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30

千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東方向40千米處，則城市B處于

危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間為

小時(shí).1

123456789101112

12345678910111210.

（2025·貴陽(yáng)診斷）鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如

圖所示的模型中，已知人眼距離地面高度h＝1.5

m，某建筑物高h(yuǎn)1＝4