微拓展端點(diǎn)效應(yīng)及應(yīng)用高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)

在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，恒成立問題一直是一大難點(diǎn)問題，思維要求

高，運(yùn)算強(qiáng)度大，同時(shí)也是高考中常考常新的題型.端點(diǎn)效應(yīng)是指對(duì)一類

函數(shù)的恒成立問題，可以通過取函數(shù)定義域內(nèi)的某個(gè)端點(diǎn)值，或某幾個(gè)特

殊值，先得到一個(gè)必要條件，初步獲得參數(shù)的范圍，再在該范圍內(nèi)討論，

或去驗(yàn)證其充分條件，進(jìn)而解決問題，用該方法解決恒成立問題可以減少

分類討論的類別，常常起到事半功倍的效果.但并不是所有恒成立問題均

能通過端點(diǎn)效應(yīng)解答，很多題目初看是端點(diǎn)效應(yīng)問題，但在運(yùn)用時(shí)卻發(fā)現(xiàn)

端點(diǎn)效應(yīng)失效（如2020·全國Ⅰ卷理21題）.本文基于導(dǎo)數(shù)恒成立問題探討

端點(diǎn)效應(yīng)的應(yīng)用，如何快速識(shí)別端點(diǎn)效應(yīng)失效，若失效又將如何處理.一、端點(diǎn)效應(yīng)及應(yīng)用

對(duì)任意x≥0，ex≥ax2＋x＋1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

二、端點(diǎn)效應(yīng)失效的快速識(shí)別及處理方法

解得x0＝0或x0＝2或x0＝2a＋1，由此判斷最值點(diǎn)不一定是端點(diǎn)，端點(diǎn)效

應(yīng)失效，接下來需滿足：

變式設(shè)函數(shù)f（x）＝ex（ax2－2x＋3），x∈R.

若f（x）≥x＋3恒成

立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

規(guī)律方法1.

端點(diǎn)效應(yīng)失效的快速識(shí)別（1）對(duì)于函數(shù)h（x）＝f（x）－g（x，a）（x∈D），先按照端點(diǎn)效

應(yīng)的處理方法，將定義域的端點(diǎn)代入縮小參數(shù)的范圍，證明其充分性時(shí)發(fā)

現(xiàn)原函數(shù)并不單調(diào)，即此時(shí)的充分性無法論證，則端點(diǎn)效應(yīng)失效；（2）端點(diǎn)效應(yīng)失效的本質(zhì)為端點(diǎn)處并不是函數(shù)的最值，解決此類端點(diǎn)效

應(yīng)失效恒成立問題的關(guān)鍵在于找到函數(shù)的最值，根據(jù)上述例題不難發(fā)現(xiàn)，

恒成立時(shí)的“端點(diǎn)”既是函數(shù)的最值點(diǎn)又是函數(shù)的零點(diǎn).因此，解答此類

問題時(shí)，只需要通過構(gòu)造函數(shù)，聯(lián)立方程求解最值和零點(diǎn)，即可快速判斷

端點(diǎn)效應(yīng)是否失效.2.

端點(diǎn)效應(yīng)失效后的處理方法，最主要的是求出函數(shù)的最值點(diǎn)：（1）如果最值點(diǎn)好求，則求出最值點(diǎn)后，代入要滿足的條件即得參數(shù)的

取值范圍，隨后再證其充分性即可；（2）如果最值點(diǎn)難求，可先取0，1，e，e2等特殊點(diǎn)驗(yàn)證，求出一個(gè)最值

點(diǎn)，然后將最值點(diǎn)看作“端點(diǎn)”，利用端點(diǎn)效應(yīng)的解題步驟求解即可.1.

（2024·全國甲卷理21題節(jié)選）已知函數(shù)f（x）＝（1－ax）ln（1＋

x）－x.當(dāng)x