隱圓問題有這樣一類有關圓的題目，條件中沒有直接給出有關圓的信息，而是以隱性的形式出現(xiàn)，處理這類題目的關鍵在于能否把“隱形圓”找出來，一方面可以利用圓的幾何性質，從“形”的角度找出來，例如：定義法、定角（動點P對兩定點A，B的張角是直角）、定理（四點共圓定理）等；另一方面，可以從“數(shù)”的角度找出來，例如：圓的普通方程、定值法（已知兩定點A，B，動點P滿足PA·PB是定值、PAPB是定值）等一、利用圓的定義（方程）確定隱圓（1）已知平面內一個動點A和兩個定點B，C滿足｜BC｜＝5，△ABC的邊AB上的中線長為3，則動點A的軌跡方程為；（2）已知A，B是圓O：x2＋y2＝1上的動點，｜AB｜＝3，P是圓C：（x－2）2＋（y－1）2＝94上的動點，則｜PA＋PB｜的取值范圍是聽課記錄規(guī)律方法對于動點的軌跡問題，一是利用曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義識別動點的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過方程識別軌跡.二、由圓周角的性質（垂直關系）確定隱圓（1）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點P，則當實數(shù)k變化時，點P到直線x－y－4＝0的距離的最大值為（）A.2 B.22C.32 D.42（2）已知點P（2，t），Q（2，－t）（t＞0），若圓C：（x＋2）2＋（y－3）2＝1上存在點M，使得∠PMQ＝90°，則實數(shù)t的取值范圍是（）A.[4，6]B.（4，6）C.（0，4）∪[6，＋∞） D.（0，4）∪（6，＋∞）聽課記錄規(guī)律方法利用圓的性質，即可得到若PA⊥PB或∠APB＝90°，則點P的軌跡是以AB為直徑的圓.注意軌跡中要刪除不滿足條件的點.三、由向量關系確定隱圓（1）在平面直角坐標系xOy中，A（－12，0），B（0，6），點P在圓O：x2＋y2＝50上，若PA·PB≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是；（2）已知點A（2，3），點B（6，－3），點P在直線3x－4y＋3＝0上，若滿足等式AP·BP＋2λ＝0的點P有兩個，則實數(shù)λ的取值范圍是.聽課記錄規(guī)律方法兩點A，B，動點P滿足PA·PB＝λ，確定隱圓.特別地，若A，B為定點，且MA·MB＝0，則點M的軌跡是以AB為直徑的圓.四、由平方關系確定隱圓在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，點A（0，2），若圓C上存在點M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，則實數(shù)a的取值范圍是.聽課記錄變式在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x＋1）2＋y2＝2，點A（2，0），若圓C上存在點M，滿足｜MA｜2＋｜MO｜2≤10，則點M的縱坐標的取值范圍是.規(guī)律方法兩定點A，B，動點P滿足｜PA｜2＋｜PB｜2＝λ，確定隱圓.五、由兩定點A，B，動點P滿足｜PA｜｜PB｜＝λ（λ＞0，λ≠1（1）已知點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為12，則點M的軌跡方程為（）A.（x＋1）2＋y2＝4 B.x2＋（y＋1）2＝4C.（x＋1）2＋y2＝2 D.x2＋（y＋1）2＝2（2）已知點P是圓（x－4）2＋（y－4）2＝8上的動點，A（6，－1），O為坐標原點，則｜PO｜＋2｜PA｜的最小值為.聽課記錄規(guī)律方法1.到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓，如圖，點A，B為兩定點，動點P滿足｜PA｜＝λ｜PB｜.則當λ＝1時，動點P的軌跡為直線；當λ＞0且λ≠1時，動點P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓.2.阿波羅尼斯圓的逆用：當題目給了一個圓的方程和一個定點，我們可以假設另一個定點，構造相同的阿氏圓，利用兩圓是同一個圓，便可以求出定點的坐標.1.已知點A（－1，0），B（1，0），若圓（x－a＋1）2＋（y－a－2）2＝1上存在點M滿足MA·MB＝3，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[－2，0） B.[－2，1]C.（0，1] D.（1，3]2.（2025·秦皇島一模）已知點A（－m，0），B（m，0），若圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在點P，使得PA⊥PB，則實數(shù)m的最大值是（）A.4 B.5C.6 D.73.（2025·濟寧一模）已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.［1－22，2＋22］ B.［1＋22，2C.［2－22，1＋22］ D.［2－22，24.（2025·杭州一模）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使｜MA｜＝2｜MO｜，則圓心C的橫坐標的取值范圍是（）A.[0，1] B.［0，32C.［0，85］ D.［0，125.（2025·綿陽模擬）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（－t，0）（t＞0），B（t，0），點C滿足AC·BC＝8，且點C到直線l：3x－4y＋24＝0的最小距離為95，則實數(shù)t的值