重難專攻（二）不等式中的恒（能）成立問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀不等式中的恒（能）成立問題是高考的常考考點，常與導(dǎo)數(shù)及其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難度略大.目錄CONTENTS提能點1分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題01.提能點2分類討論法解決恒（能）成立問題02.提能點3雙變量的恒（能）成立問題03.課時跟蹤檢測04.PART01提能點1分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

（2024·邵陽第二次聯(lián)考節(jié)選）設(shè)函數(shù)f（x）＝m（x＋1）ex，m

＞0.若對任意x∈（－1，＋∞），有l(wèi)n

f（x）≤2ex恒成立，求m的最大

值.解：ln

f（x）≤2ex對?x∈（－1，＋∞）恒成立，即ln

m≤2ex－ln（x＋

1）－x對?x∈（－1，＋∞）恒成立.令g（x）＝2ex－ln（x＋1）－x，x∈（－1，＋∞），則只需ln

m≤g

（x）min即可.

∴g（x）min＝g（0）＝2.故ln

m≤2＝ln

e2，∴0＜m≤e2，故m的最大值為e2.規(guī)律方法

分離參數(shù)法是將含參不等式中的參數(shù)通過恒等變形，使參數(shù)與其變量

分離的一種方法.一般地，若a＞f（x）對x∈D恒成立，則只需a＞f

（x）max；若a＜f（x）對x∈D恒成立，則只需a＜f（x）min.若存在

x0∈D，使a＞f（x0）成立，則只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a

＜f（x0）成立，則只需a＜f（x）max.由此構(gòu)造不等式，求參數(shù)的范圍.練1（2025·濟寧一模）已知函數(shù)f（x）＝ex－ax－1.（1）當(dāng)a＝1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；解：當(dāng)a＝1時，f（x）＝ex－x－1，所以f'（x）＝ex－1，當(dāng)x＜0時，f'（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f'（x）＞0，所以f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝0時，函數(shù)f（x）有極小值f（0）＝0，無極大值.即f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞），

極小值為0，無極大值.（2）若f（x）≤x2在（0，＋∞）上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

所以當(dāng)0＜x＜1時，g'（x）＜0；當(dāng)x＞1時，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時，g（x）min＝e－2，所以a≥e－2，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是[e－2，＋∞）.PART02提能點2分類討論法解決恒（能）成立問題

規(guī)律方法

根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問

題，解此類問題的關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最

值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)

值不滿足題意即可.

①當(dāng)a≤1時，h'（x）≤0，所以函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，所以h（x）min＝h（2）＝－aln

2＋a≤0成立，解得a≤0.

PART03提能點3雙變量的恒（能）成立問題（1）如果存在x1，x2∈[0，2]使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求滿足

上述條件的最大整數(shù)M；

所以h（x）max＝h（1）＝1，所以a≥1，即實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞）.規(guī)律方法

“雙變量”的恒（能）成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)

含條件，進行等價變換，常見的等價變換有，對于某一區(qū)間I：（1）?x1，x2∈I，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈I1，?x2∈I2，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）min；（3）?x1∈I1，?x2∈I2，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）max.練3已知函數(shù)f（x）＝aex－4，g（x）＝ln

x－x－1，其中e為自然對數(shù)

的底數(shù)，a∈R.

若對任意的x2∈（0，1]，總存在x1∈（0，1]，使得f

（x1）≥g（x2），求a的取值范圍.

PART04課時跟蹤檢測

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解：f'（x）＝x2＋2x＋a，∵f（x）在[1，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成

立，∴a≥－x2－2x，當(dāng)x＝1時，（－x2－2x）max＝－1－2＝－3，∴a≥－3，∴實數(shù)a的最小值為－3.1234

1234

12344.

（2025·雅安模擬）已知函數(shù)f（x）＝（a－1）x－2sin

x.（1）若函數(shù)f（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍；解：依題意，f'（x）＝a－1－2cos

x，令f'（x）＝0，得a＝1＋2cos

x，因為1＋2cos

x∈[－1，3]，所以當(dāng)a≤－1時，f'（x）≤0，f（x）在R上

是減函數(shù)；當(dāng)a≥3時，f'（x）≥