九年級數(shù)學(xué)期中試題及解析一、期中試題（一）選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1.二次函數(shù)\(y=(x-1)^2+2\)的頂點坐標(biāo)是（）A.(1,2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(-1,-2)2.一元二次方程\(x^2+2x-3=0\)的根的判別式的值是（）A.-8B.8C.16D.-163.點\(P(2,3)\)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°后的坐標(biāo)是（）A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-2,3)D.(2,-3)4.圓的半徑為5，弦\(AB\)的長為8，則圓心到\(AB\)的距離為（）A.3B.4C.5D.65.二次函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的最小值是（）A.2B.3C.-2D.-36.一元二次方程\(x^2=2x\)的解是（）A.\(x=0\)B.\(x=2\)C.\(x=0\)或\(x=2\)D.\(x=0\)或\(x=-2\)7.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.矩形C.平行四邊形D.圓8.拋物線\(y=-x^2+2x+3\)與x軸的交點個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.39.如圖，\(\triangleABC\)繞點A旋轉(zhuǎn)得到\(\triangleADE\)，若\(\angleBAC=60^\circ\)，則旋轉(zhuǎn)角度是（）A.30°B.60°C.90°D.180°10.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(a>0\),\(b>0\),\(c>0\)B.\(a>0\),\(b<0\),\(c>0\)C.\(a<0\),\(b>0\),\(c>0\)D.\(a<0\),\(b<0\),\(c>0\)（二）填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11.二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+1\)的對稱軸是直線________。12.一元二次方程\(2x^2-3x+1=0\)的兩根之和是________。13.點\(A(1,-2)\)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是________。14.圓的直徑為10，則圓的周長是________（結(jié)果保留π）。15.拋物線\(y=x^2+bx+c\)經(jīng)過點(1,0)和(0,3)，則\(b=\)________，\(c=\)________。16.如圖，將\(\triangleABC\)繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到\(\triangleDEC\)，若\(AC=3\),\(BC=4\)，則\(BE\)的長為________。（三）解答題（共8小題，滿分52分）17.（6分）解一元二次方程：\(x^2-5x+6=0\)。18.（6分）已知二次函數(shù)\(y=x^2+2x-3\)，求其圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)。19.（6分）如圖，\(\triangleABC\)是等邊三角形，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到\(\triangleBDE\)，連接AD、CE，求證：\(AD=CE\)。20.（6分）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,-1)，且過點(3,1)，求該拋物線的解析式。21.（7分）某商品的進(jìn)價為每件20元，售價為每件30元，每月可賣出180件；如果售價每上漲1元，每月就會少賣出10件，設(shè)每件商品的售價上漲\(x\)元（\(x\)為整數(shù)），每月的銷售利潤為\(y\)元，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)\(x\)為何值時，\(y\)最大？22.（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若\(AB=10\),\(CD=8\)，求BE的長。23.（8分）已知二次函數(shù)\(y=-x^2+bx+c\)的圖像經(jīng)過點(1,4)和(-1,0)，求該函數(shù)的解析式，并畫出其大致圖像（標(biāo)出頂點和對稱軸）。24.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，\(\triangleABC\)的頂點坐標(biāo)為\(A(0,3)\),\(B(-2,0)\),\(C(1,0)\)，將\(\triangleABC\)繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到\(\triangleA'B'C'\)，求點\(A'\)、\(B'\)的坐標(biāo)，并求\(\triangleA'B'C'\)的面積。二、試題解析（一）選擇題解析1.考點：二次函數(shù)頂點式的應(yīng)用。解析：頂點式\(y=a(x-h)^2+k\)的頂點坐標(biāo)為\((h,k)\)，本題中\(zhòng)(h=1\),\(k=2\)，故頂點坐標(biāo)為(1,2)，選A。易錯點：混淆\(h\)的符號，誤選B。2.考點：一元二次方程根的判別式。解析：判別式\(\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times1\times(-3)=4+12=16\)，選C。易錯點：計算時忽略常數(shù)項的符號，誤選B。3.考點：旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律。解析：繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°的坐標(biāo)變換為\((x,y)\rightarrow(y,-x)\)，故\(P(2,3)\)旋轉(zhuǎn)后為(3,-2)，選A。易錯點：方向搞反，誤選B（逆時針旋轉(zhuǎn)90°的結(jié)果）。4.考點：垂徑定理與勾股定理。解析：圓心到弦的距離\(d=\sqrt{r^2-(AB/2)^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)，選A。易錯點：忘記將弦長除以2，誤選B。5.考點：二次函數(shù)的最值（配方法）。解析：配方得\(y=(x-1)^2+2\)，故最小值為2，選A。易錯點：配方錯誤，誤選C。6.考點：解一元二次方程（因式分解法）。解析：移項得\(x^2-2x=0\)，因式分解得\(x(x-2)=0\)，解為\(x=0\)或\(x=2\)，選C。易錯點：直接除以\(x\)，漏掉\(x=0\)的解，誤選B。7.考點：中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別。解析：平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，選C。易錯點：誤認(rèn)為矩形不是中心對稱圖形，誤選B。8.考點：拋物線與x軸的交點個數(shù)（判別式）。解析：判別式\(\Delta=2^2-4\times(-1)\times3=4+12=16>0\)，故有2個交點，選C。易錯點：計算判別式時符號錯誤，誤選A。9.考點：旋轉(zhuǎn)角度的確定。解析：旋轉(zhuǎn)角度為對應(yīng)邊的夾角，即\(\angleBAC=60^\circ\)，選B。易錯點：誤認(rèn)為旋轉(zhuǎn)角度是180°，誤選D。10.考點：二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系。解析：拋物線開口向下→\(a<0\)；對稱軸在y軸右側(cè)→\(-b/(2a)>0\)，結(jié)合\(a<0\)得\(b>0\)；拋物線與y軸交于正半軸→\(c>0\)，選C。易錯點：對稱軸方向與\(b\)符號的關(guān)系混淆，誤選D。（二）填空題解析11.考點：二次函數(shù)的對稱軸公式。解析：對稱軸\(x=-b/(2a)=-(-4)/(2\times2)=1\)，故填\(x=1\)。易錯點：公式記憶錯誤，誤填\(x=-1\)。12.考點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）。解析：兩根之和為\(-b/a=3/2\)，故填\(3/2\)。易錯點：符號錯誤，誤填\(-3/2\)。13.考點：關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征。解析：關(guān)于原點對稱的點坐標(biāo)為\((-x,-y)\)，故填\((-1,2)\)。易錯點：符號錯誤，誤填\((1,2)\)。14.考點：圓的周長計算。解析：直徑為10→半徑為5，周長為\(2\pir=10\pi\)，故填\(10\pi\)。易錯點：混淆直徑與半徑，誤填\(5\pi\)。15.考點：求二次函數(shù)解析式（代入法）。解析：代入(0,3)得\(c=3\)；代入(1,0)得\(1+b+3=0\)→\(b=-4\)，故填\(-4\)，\(3\)。易錯點：代入錯誤，誤填\(b=2\),\(c=3\)。16.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理。解析：旋轉(zhuǎn)后\(CE=BC=4\)，\(\angleBCE=90^\circ\)，故\(BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\)，故填\(4\sqrt{2}\)。易錯點：誤認(rèn)為\(BE=BC+CE\)，誤填8。（三）解答題解析17.考點：解一元二次方程（因式分解法）。解析：因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，解得\(x_1=2\),\(x_2=3\)。步驟：找兩個數(shù)，乘積為6，和為-5（即-2和-3），分解為\((x-2)(x-3)=0\)。易錯點：分解錯誤，如寫成\((x+2)(x+3)=0\)。18.考點：拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)。解析：與x軸交點：令\(y=0\)，解\(x^2+2x-3=0\)→\(x_1=-3\),\(x_2=1\)，故交點為\((-3,0)\)、\((1,0)\)；與y軸交點：令\(x=0\)，得\(y=-3\)，故交點為\((0,-3)\)。步驟：x軸交點令\(y=0\)，解一元二次方程；y軸交點令\(x=0\)，求\(y\)值。易錯點：與y軸交點坐標(biāo)符號錯誤，誤填\((0,3)\)。19.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與全等三角形。證明：\(\triangleABC\)是等邊三角形→\(AB=BC\),\(\angleABC=60^\circ\)。旋轉(zhuǎn)后→\(BD=BA\),\(\angleDBE=\angleABC=60^\circ\)→\(\angleABD=\angleCBE=60^\circ+\angleABE\)。在\(\triangleABD\)和\(\triangleCBE\)中：\(AB=BC\),\(\angleABD=\angleCBE\),\(BD=BE\)（旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)邊相等），故\(\triangleABD\cong\triangleCBE\)（SAS）→\(AD=CE\)。步驟：利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到相等的邊和角，再證明三角形全等。易錯點：找不到全等的條件，如忽略\(\angleABD=\angleCBE\)。20.考點：求二次函數(shù)解析式（頂點式）。解析：設(shè)拋物線解析式為\(y=a(x-2)^2-1\)，代入點(3,1)得\(1=a(3-2)^2-1\)→\(a=2\)，故解析式為\(y=2(x-2)^2-1\)，展開為\(y=2x^2-8x+7\)。步驟：頂點式設(shè)解析式，代入已知點求\(a\)，再展開。易錯點：頂點式設(shè)錯，如寫成\(y=a(x+2)^2-1\)。21.考點：二次函數(shù)的應(yīng)用（利潤問題）。解析：利潤=（售價-進(jìn)價）×銷售量→\(y=(30+x-20)(____x)=(10+x)(____x)\)，展開得\(y=-10x^2+80x+1800\)，配方得\(y=-10(x-4)^2+1960\)，故當(dāng)\(x=4\)時，\(y\)最大。步驟：根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，配方求最值。易錯點：銷售量計算錯誤，如寫成\(180+10x\)。22.考點：垂徑定理與勾股定理。解析：\(AB=10\)→半徑\(OA=OB=5\)，\(CD=8\)→\(CE=DE=4\)（垂徑定理），在\(Rt\triangleOCE\)中，\(OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\)，故\(BE=OB-OE=5-3=2\)（假設(shè)E在OB之間）。步驟：利用垂徑定理得弦的一半，再用勾股定理求\(OE\)，進(jìn)而求\(BE\)。易錯點：\(OE\)的長度計算錯誤，或\(BE\)的位置判斷錯誤。23.考點：求二次函數(shù)解析式與圖像繪制。解析：代入點(1,4)和(-1,0)得方程組：\(\begin{cases}-1+b+c=4\\-1-b+c=0\end{cases}\)，解得\(b=2\),\(c=3\)，故解析式為\(y=-x^2+2x+3\)。配方得\(y=-(x-1)^2+4\)→頂點坐標(biāo)為(1,4)，對稱軸為\(x=1\)。圖像繪制：標(biāo)出頂點(1,4)、對稱軸\(x=1\)、與x軸交點(-1,0)、(3,0)、與y軸交點(0,3)，開口向下。步驟