高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難題壓軸模擬試卷前言在高考數(shù)學(xué)中，壓軸題（通常為解答題最后兩題）占據(jù)著關(guān)鍵分值，是區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力的“試金石”。壓軸題主要考查邏輯推理、綜合應(yīng)用、創(chuàng)新思維三大能力，覆蓋函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、數(shù)列與不等式三大核心模塊。本模擬卷緊扣《高考數(shù)學(xué)考試大綱》，選取與真題難度匹配、考點(diǎn)突出的壓軸題，旨在幫助學(xué)生熟悉命題規(guī)律、掌握解題方法、提升應(yīng)試信心。一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題：含參不等式恒成立問題題目已知函數(shù)\(f(x)=\lnx+a(x-1)^2\)（\(a\in\mathbb{R}\)），若對(duì)任意\(x>1\)，\(f(x)>0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。解析步驟1：求導(dǎo)分析單調(diào)性計(jì)算導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=\frac{1}{x}+2a(x-1)\)。當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(\frac{1}{x}>0\)，\(x-1>0\)，需根據(jù)\(a\)的符號(hào)分類討論。步驟2：分類討論情況1：\(a\geq0\)此時(shí)\(2a(x-1)\geq0\)，故\(f'(x)>0\)對(duì)\(x>1\)恒成立，函數(shù)\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。又\(f(1)=0\)，故對(duì)任意\(x>1\)，\(f(x)>f(1)=0\)，滿足條件。情況2：\(a<0\)令\(g(x)=f'(x)=\frac{1}{x}+2a(x-1)\)，求導(dǎo)得\(g'(x)=-\frac{1}{x^2}+2a\)。當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(g'(x)<-1+2a\leq-1<0\)（因\(a<0\)），故\(g(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。又\(g(1)=1\)，當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(g(x)\to-\infty\)，故存在唯一\(x_0>1\)，使得\(g(x_0)=0\)。當(dāng)\(1<x<x_0\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x>x_0\)時(shí)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。因此，\(f(x)\)在\(x=x_0\)處取得最大值，但當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)=\lnx+a(x-1)^2\to-\infty\)（因\(a<0\)），故必存在\(x>x_0\)使得\(f(x)<0\)，不滿足條件。結(jié)論：\(a\)的取值范圍是\([0,+\infty)\)?？键c(diǎn)分析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（單調(diào)性、最值）、分類討論思想（根據(jù)\(a\)的符號(hào)調(diào)整導(dǎo)數(shù)符號(hào)）、轉(zhuǎn)化與化歸思想（恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題），是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的經(jīng)典題型。二、圓錐曲線壓軸題：定點(diǎn)定值問題題目已知拋物線\(C:y^2=4x\)，過點(diǎn)\(M(2,0)\)的直線\(l\)與拋物線\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)\(N\)，使得無論直線\(l\)如何變化，\(\angleANM=\angleBNM\)？若存在，求出\(N\)點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由。解析步驟1：設(shè)直線方程與聯(lián)立設(shè)直線\(l\)的方程為\(x=my+2\)（\(m\in\mathbb{R}\)，覆蓋所有情況），聯(lián)立拋物線得\(y^2-4my-8=0\)。設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由韋達(dá)定理得\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=-8\)。步驟2：轉(zhuǎn)化角相等條件\(\angleANM=\angleBNM\)表示直線\(NA,NB\)關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱（因\(M\)在\(x\)軸上），故斜率互為相反數(shù)，即\(k_{NA}+k_{NB}=0\)。步驟3：設(shè)定點(diǎn)并化簡(jiǎn)設(shè)\(N(t,0)\)，則\(k_{NA}=\frac{y_1}{x_1-t}\)，\(k_{NB}=\frac{y_2}{x_2-t}\)，故：\[\frac{y_1}{x_1-t}+\frac{y_2}{x_2-t}=0\impliesy_1x_2+y_2x_1=t(y_1+y_2).\]代入\(x_1=\frac{y_1^2}{4}\)，\(x_2=\frac{y_2^2}{4}\)，得：\[\frac{y_1y_2(y_1+y_2)}{4}=t(y_1+y_2).\]若\(y_1+y_2\neq0\)，則\(t=\frac{y_1y_2}{4}=\frac{-8}{4}=-2\)。步驟4：驗(yàn)證特殊情況當(dāng)\(m=0\)（直線\(x=2\)），\(A(2,2\sqrt{2})\)，\(B(2,-2\sqrt{2})\)，\(N(-2,0)\)，此時(shí)\(k_{NA}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(k_{NB}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)，滿足\(k_{NA}+k_{NB}=0\)。結(jié)論：存在定點(diǎn)\(N(-2,0)\)，使得\(\angleANM=\angleBNM\)恒成立?？键c(diǎn)分析本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、定點(diǎn)定值問題，核心思想是設(shè)而不求（通過韋達(dá)定理避免求具體點(diǎn)坐標(biāo)）與轉(zhuǎn)化條件（將角相等轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系）。三、數(shù)列與不等式壓軸題：遞推與放縮題目已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)）。(1)求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；(2)證明：\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2\)。解析(1)求通項(xiàng)公式遞推式\(a_{n+1}=2a_n+1\)構(gòu)造等比數(shù)列：兩邊加1得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列。因此，\(a_n+1=2^n\)，通項(xiàng)公式為\(a_n=2^n-1\)。(2)證明不等式由\(a_n=2^n-1\)，得\(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n-1}\)。采用放縮法：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(\frac{1}{a_1}=1<2\)，成立；當(dāng)\(n\geq2\)時(shí)，\(2^n-1>2^n-2^{n-1}=2^{n-1}\)，故\(\frac{1}{2^n-1}<\frac{1}{2^{n-1}}\)。因此：\[\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k-1}<1+\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}=1+\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2-\frac{1}{2^{n-1}}<2.\]結(jié)論：不等式成立?？键c(diǎn)分析本題考查遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式（構(gòu)造等比數(shù)列）、放縮法證明不等式（利用等比數(shù)列求和）、不等式的性質(zhì)，核心思想是構(gòu)造法（將線性遞推轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列）與放縮法（將復(fù)雜數(shù)列轉(zhuǎn)化為可求和的等比數(shù)列）。四、壓軸題解題策略總結(jié)1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題步驟：求導(dǎo)→分析導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)→分類討論單調(diào)性→求最值→解決問題（恒成立、存在性等）。關(guān)鍵：分類討論（參數(shù)范圍調(diào)整導(dǎo)數(shù)符號(hào)）、轉(zhuǎn)化與化歸（恒成立→最值）。2.圓錐曲線壓軸題步驟：設(shè)直線→聯(lián)立方程→韋達(dá)定理→化簡(jiǎn)條件→得出結(jié)論。關(guān)鍵：設(shè)而不求（韋達(dá)定理避免求點(diǎn)）、對(duì)稱猜想（定點(diǎn)位置）、轉(zhuǎn)化條件（角相等→斜率關(guān)系）。3.數(shù)列與不等式壓軸題步驟：求通項(xiàng)→分析通項(xiàng)→求和→證明不等式。關(guān)鍵：構(gòu)造數(shù)列（遞推→等比）、放縮法（分母放大→