3.2.1函數(shù)的單調(diào)性和最值【知識(shí)儲(chǔ)備】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（同調(diào)增；異調(diào)減）2．函數(shù)的最值前提一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值題型一：定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1．用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)y=4x2【答案】證明見解析【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義即可證得.【詳解】設(shè)0<x1<故有1x12>故y=4x22．用定義法證明：函數(shù)fx=x【答案】證明見解析【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義證明即可.【詳解】證明：設(shè)x1,x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且則f==∵x2+∴fx2?f∴函數(shù)fx=x3．函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)是減函數(shù)，且0<xA．fx1>fC．x1?x【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及0<x1<【詳解】AB選項(xiàng)，y=f(x)在(0,+∞)是減函數(shù)，且0<xfxCD選項(xiàng)，因?yàn)閤1?x2<0fx故選：ABC4．已知函數(shù)f(1)若a=2，求ff(2)若a<0，判斷fx在區(qū)間0,+【答案】(1)113(2)fx在區(qū)間0,+【分析】（1）由ff（2）設(shè)x1>x【詳解】（1）由題設(shè)fx=x+2x，則（2）fx在區(qū)間0,+令x1>x又a<0，則1?ax1所以fx1>fx2題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間5．函數(shù)y=x+1的單調(diào)增區(qū)間是（

A．(?∞,?1) B．(?∞,1) C．【答案】C【分析】將y=x+1【詳解】y=x+1=x+1,x≥?1故選：C6．函數(shù)y=xx?4的單調(diào)減區(qū)間是【答案】(2,4)【分析】討論x<4、x>4，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定遞減區(qū)間.【詳解】當(dāng)x<4時(shí)，y=?x(x?4)=4x?x所以，在(?∞,2)上函數(shù)單調(diào)遞增，在當(dāng)x>4時(shí)，y=x(x?4)=(x?2)2?4綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(2,4).故答案為：(2,4)7．函數(shù)y=x2+5x?6【答案】?【分析】首先求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)y=x【詳解】由x2+5x?6≥0，得：x≥1或所以函數(shù)的定義域?yàn)??∞,?6]∪[1,+∞)，函數(shù)y=x2+5x?6再和定義域求交集得?∞故答案為：?8．函數(shù)fx=3x【答案】?∞,4【分析】整理可得fx【詳解】首先，fx的定義域?yàn)?∞,4∪4,+∞而對(duì)任意x1<x2<4，根據(jù)4?x1又對(duì)任意4<x1<x2，根據(jù)x因此fx在區(qū)間?∞,4上單調(diào)遞減，在4,+∞上單調(diào)遞減，故函數(shù)fx故答案為：?∞,4和題型三：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)9．“a=2”是“函數(shù)fx=x2+2ax?2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分條件和必要條件的概念，以及二次函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】充分性：當(dāng)a=2時(shí)，fx易知函數(shù)fx在區(qū)間?必要性：若fx=x則需?a≥?2，即a≤2，故“a=2”是“函數(shù)fx=x故選：A.10．已知函數(shù)fx=3?ax?4a,x<1ax2【答案】3【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=3?a則滿足3?a>0a>032a≤13?a?4a≤a?3，解得3故答案為：3211．已知f(x)=ax,x>2【答案】4≤a≤6【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合反比例函數(shù)、二次函數(shù)單調(diào)性列出不等式組求解.【詳解】依題意，a>0a2≥2所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為4≤a≤6.故答案為：4≤a≤612．已知函數(shù)fx=x2?4x，若fx在【答案】0,1∪【分析】由題意fx=x?2【詳解】由題意fx所以fx在?∞,0單調(diào)遞減，在0,2單調(diào)遞增，在2,4若fx在m,m+1則m≥0m+1≤2或m≥4，解得0≤m≤1或m≥4故答案為：0,1∪題型四：根據(jù)單調(diào)性求最值13．已知函數(shù)f(x)=1a?1x，若當(dāng)x∈[m,n](n>m>0)時(shí)，f(x)的值域也是[m,n]A．(14,+∞) B．(1【答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性建立方程，再利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】函數(shù)f(x)=1a?1x在(0,+因此f(x)=x在(0,+∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即函數(shù)g(x)=x+1x在(0,1]上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為在[1,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為[2,+∞得直線y=1a與函數(shù)g(x)在(0,+∞)上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1故選：D14．已知函數(shù)fx(1)求證：函數(shù)fx在2,3(2)求fx在2,3【答案】(1)證明見解析(2)最大值是?1，最小值是?2【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的增函數(shù)定義進(jìn)行證明即可.（2）結(jié)合（1）中證明的遞增函數(shù)性質(zhì)直接求出最大值和最小值.【詳解】（1）證明：設(shè)x1,x2是區(qū)間則fx∵2≤x1<x2≤3，∴fx1?f∴函數(shù)fx=?2（2）由（1）知函數(shù)fx在2,3則fx在2,3上的最大值是f3=?1題型五：根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)15．下列函數(shù)最小值為2的是（

）A．y=x+1x,x∈C．y=x2+x+【答案】BC【分析】利用基本不等式，函數(shù)單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對(duì)A，由x∈?∞,0，所以y=x+對(duì)B，y=x?8x在4,5單調(diào)遞增，所以最小值為對(duì)C，由y=x2+x+94對(duì)D，由y=x+2,x>0?x+2,x<0，當(dāng)x>0時(shí)，y>2；當(dāng)x<0時(shí)，故選：BC16．若函數(shù)f(x)=2x+mx+1在區(qū)間[0,1]上的最大值為3，則實(shí)數(shù)m=（A．?1 B．1 C．3 D．?3【答案】C【分析】先分離變量f(x)=2x+m【詳解】函數(shù)f(x)=2x+m當(dāng)m>2時(shí)，f(x)=2x+mx+1在[0,1]上單調(diào)遞減，最大值為當(dāng)m<2時(shí)，f(x)=2x+mx+1在[0,1]上單調(diào)遞增，最大值為f(1)=2+m所以實(shí)數(shù)m=3故選：C17．已知函數(shù)f(1)當(dāng)a=3時(shí)，求fx在區(qū)間1,3(2)若fx在區(qū)間0,2上的最大值為4，求a【答案】(1)7(2)2,+【分析】（1）直接代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到值域；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為f2【詳解】（1）當(dāng)a=3時(shí)，fx則fx在1,32∴f(x)所以fx在區(qū)間1,3上的值域?yàn)?（2）因?yàn)閒x=x則fx的最大值為f0和而f0=4，要使fx在區(qū)間0,2∴4?2a+4≤4,∴a≥2，故a的取值范圍為2,+∞題型六：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式18．已知函數(shù)y=fx是定義在R上的增函數(shù)，且f1?a<fa?3，則A．2,+∞ B．?∞,2 C．(1,2)【答案】A【分析】利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是定義在R上的增函數(shù)，且f所以1?a<a?3?a>2，故選：A19．函數(shù)y=fx是定義在0,+∞上的嚴(yán)格減函數(shù)，對(duì)任意x?y∈0,+∞，滿足fxy【答案】1,2【分析】由定義代入x=y=1，可求出f1的值，代入x=12可求出?2對(duì)應(yīng)的x的值，根據(jù)題意對(duì)不等式變形可得f【詳解】解：令x=y=1，則有f1=f1因?yàn)閒12=2，所以f不等式fx+fx?1函數(shù)y=fx是定義在0,+∞上的嚴(yán)格減函數(shù)，則即?1<x<2，又x>0，且x?1>0，所以1<x<2.故答案為：1,220．已知函數(shù)f(x)是定義在?1,1上的函數(shù)，?x1,x2∈?1,1，當(dāng)【答案】[0,【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求解不等式.【詳解】依題意，函數(shù)f(x)在?1,1上單調(diào)遞減，不等式f(x?1)≥f(2x)??1≤x?1≤2x≤1，解得0≤x≤1所以原不等式的解集為[0,1故答案為：[0,題型七：函數(shù)不等式恒成立問題21．已知函數(shù)fx=x2?a2+2ax+16【答案】?4,2【分析】根據(jù)條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x2?又當(dāng)x>0時(shí)，fx>0恒成立，則a2整理得到a2+2a<0或解得?2<a<0或?4<a≤?2或0≤a<2，所以?4<a<2，故答案為：?4<a<2.22．若不等式x2+ax?1≤0對(duì)于一切x∈1,4恒成立，則實(shí)數(shù)aA．{a|a>?154}C．{a∣a>0} D．{a|a≤?【答案】D【分析】由題意可得a≤?x+1x在x∈1,4【詳解】解：因?yàn)閤2+ax?1≤0對(duì)于一切則a≤?x+1x在又因?yàn)閥=?x和y=1x在故fx=?x+1fx即a≤?15故選：D.23．二次函數(shù)fx滿足fx+1?f(1)求fx(2)當(dāng)x∈?1,1時(shí)，不等式f