立體幾何中的向量方法二求空間角和距離第1頁，共59頁。第2頁，共59頁。第3頁，共59頁。第4頁，共59頁。【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．()(2)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角．()第5頁，共59頁。【答案】

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

第6頁，共59頁。第7頁，共59頁。第8頁，共59頁。第9頁，共59頁。第10頁，共59頁。3．(2018·鄭州模擬)如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為(

)第11頁，共59頁。第12頁，共59頁。第13頁，共59頁。第14頁，共59頁。第15頁，共59頁。第16頁，共59頁。題型一求異面直線所成的角【例1】

如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值．第17頁，共59頁?！窘馕觥?/p>

(1)證明

如圖所示，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.第18頁，共59頁。第19頁，共59頁。第20頁，共59頁。第21頁，共59頁。第22頁，共59頁?！舅季S升華】

用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值．第23頁，共59頁。跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示正方體ABCD-A′B′C′D′，已知點(diǎn)H在A′B′C′D′的對角線B′D′上，∠HDA＝60°.求DH與CC′所成的角的大小．第24頁，共59頁?！窘馕觥?/p>

如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，第25頁，共59頁。第26頁，共59頁。第27頁，共59頁。題型二求直線與平面所成的角【例2】

(2018·深圳二調(diào))如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為BC的中點(diǎn)，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2.第28頁，共59頁。(1)求證：A1B∥平面ADC1；(2)當(dāng)BC1＝4時(shí)，求直線B1C與平面ADC1所成角的正弦值．第29頁，共59頁。【解析】

(1)證明

連接A1C，與AC1相交于點(diǎn)E，連接ED.∵D，E分別為BC，A1C的中點(diǎn)，∴A1B∥ED，又A1B?平面ADC1，ED?平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.第30頁，共59頁。第31頁，共59頁?！郆A⊥平面A1ACC1，又∵BA?平面ABC，∴平面A1ACC1⊥平面ABC.如圖，過點(diǎn)A在平面A1ACC1內(nèi)作Az⊥AC，垂足為A.∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴Az⊥平面ABC.第32頁，共59頁。第33頁，共59頁。第34頁，共59頁。第35頁，共59頁。第36頁，共59頁。如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥AC，垂足為O，連接OD.∵AC＝AA1，∠A1AC＝60°，∴△A1AC為等邊三角形，∴O為AC的中點(diǎn)．又∵D為BC的中點(diǎn)，∴OD∥AB，∴OD⊥OC.又∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC.第37頁，共59頁。第38頁，共59頁。第39頁，共59頁。第40頁，共59頁?！舅季S升華】

利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．第41頁，共59頁。跟蹤訓(xùn)練2

在平面四邊形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示．(1)求證：AB⊥CD；(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值．第42頁，共59頁。【解析】

(1)證明

∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.(2)過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD，如圖．第43頁，共59頁。第44頁，共59頁。第45頁，共59頁。第46頁，共59頁。題型三求二面角【例3】

(2019·全國Ⅰ卷，節(jié)選)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．第47頁，共59頁。第48頁，共59頁。第49頁，共59頁。第50頁，共59頁。第51頁，共59頁?！舅季S升華】

利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小．第52頁，共59頁。跟蹤訓(xùn)練3

如圖，正方形AB