高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《排列數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、單元內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容本單元包括排列與組合，其中排列和排列數(shù)公式、組合和組合數(shù)公式是本單元的核心內(nèi)容.本單元的知識(shí)結(jié)構(gòu)如下：本單元教學(xué)約需4課時(shí)，第1課時(shí)的主要內(nèi)容是排列的概念，第2課時(shí)的主要內(nèi)容是排列數(shù)和排列數(shù)公式，第3課時(shí)的主要內(nèi)容是組合的概念，第4課時(shí)的主要內(nèi)容是組合數(shù)和組合數(shù)公式，其中第1課時(shí)和第3課時(shí)屬于概念課，第2課時(shí)和第4課時(shí)則是原理與規(guī)則課.2.內(nèi)容解析排列與組合是組合學(xué)最基本的概念，其核心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù).排列的本質(zhì)就是從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素排成一列，需要將它們排序；組合的本質(zhì)則是從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素作為一組，而不考慮將它們排序.本單元是在計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)上，將實(shí)際問(wèn)題中抽取的對(duì)象抽象為元素，引入排列與組合的概念，然后用字母表示排列數(shù)和組合數(shù)，并給出計(jì)算排列數(shù)和組合數(shù)的公式.在此過(guò)程中，體現(xiàn)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列與組合問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象，將分類(lèi)、分步的計(jì)數(shù)表示為排列數(shù)和組合數(shù)的數(shù)學(xué)模型，以及通過(guò)排列數(shù)與組合數(shù)公式便捷求出計(jì)數(shù)結(jié)果的數(shù)學(xué)運(yùn)算.排列與組合是兩類(lèi)特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題，是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用.排列組合與前后知識(shí)有著緊密的聯(lián)系.排列組合可用于解決古典概型問(wèn)題；在下一節(jié)中，二項(xiàng)式系數(shù)就是組合數(shù)；在后續(xù)學(xué)習(xí)中還可看到它們與概率論密不可分.根據(jù)上述分析，可以確定本單元的教學(xué)重點(diǎn)：排列和排列數(shù)公式，組合和組合數(shù)公式.二、單元目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)（1）理解排列、組合的概念.（2）能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過(guò)解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問(wèn)題，能將問(wèn)題中抽取的具體對(duì)象抽象為元素，從而將具體問(wèn)題歸納為一般問(wèn)題，得到排列的定義，并能利用定義判斷排列問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).（2）能在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別排列與排列數(shù).通過(guò)利用計(jì)數(shù)原理分析和解決具體的排列問(wèn)題，將所求排列數(shù)的結(jié)果歸納為一般形式，從而得出排列數(shù)公式，并能利用公式求具體問(wèn)題的排列數(shù)，提高分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).（3）通過(guò)解決實(shí)際的計(jì)數(shù)問(wèn)題，能將問(wèn)題中抽取的具體對(duì)象抽象為元素，從而將具體問(wèn)題歸納為一般問(wèn)題，得到組合的定義，并能利用定義判斷組合問(wèn)題，知道組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).（4）能在組合基礎(chǔ)上給出組合數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別組合與組合數(shù)，通過(guò)利用計(jì)數(shù)原理分析和解決具體的組合問(wèn)題，由組合數(shù)與排列數(shù)的關(guān)系得到所求組合數(shù)，再將具體結(jié)果歸納為一般形式，從而得組合數(shù)公式，并能利用公式求具體問(wèn)題的組合數(shù)，提高分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).三、單元教學(xué)問(wèn)題診斷分析本單元教學(xué)中，與推導(dǎo)排列數(shù)公式不同，推導(dǎo)組合數(shù)公式不僅需要將具體情況歸納為一般情況，還要研究組合與排列的關(guān)系，通過(guò)建立有關(guān)排列數(shù)與組合數(shù)的等量關(guān)系式得到組合數(shù)公式，學(xué)生對(duì)此的理解會(huì)有一定的困難.教學(xué)中應(yīng)該緊扣實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析具體問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)排列可以分為“先取元素分組，再對(duì)組中元素作全排列”兩個(gè)步驟，從而得到“從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)”等于“從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的取法數(shù)”與“將取出的m個(gè)元素作全排列的排法數(shù)”的乘積，并認(rèn)識(shí)到所得等式的兩邊是對(duì)同一個(gè)問(wèn)題作出的兩個(gè)等價(jià)解釋.在本單元，排列與組合的應(yīng)用主要是綜合運(yùn)用計(jì)數(shù)原理、排列與組合的有關(guān)概念、公式解決問(wèn)題.在解決問(wèn)題中需要正確選擇計(jì)數(shù)原理，辨別排列問(wèn)題和組合問(wèn)題，正確運(yùn)用排列數(shù)公式或組合數(shù)公式，這些對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)具有一定的困難.教學(xué)中要結(jié)合具體實(shí)例，強(qiáng)調(diào)圍繞“所選元素是否與順序有關(guān)”這一關(guān)鍵辨別是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題.另外，還要引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑考慮應(yīng)用問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為排列問(wèn)題或組合問(wèn)題，并正確運(yùn)用排列數(shù)或組合數(shù)公式求出結(jié)果的過(guò)程，獲得一些解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)分析排列問(wèn)題和組合問(wèn)題的不同方法，并提高解決應(yīng)用題的能力.本單元的教學(xué)難點(diǎn)是推導(dǎo)組合數(shù)公式，以及排列與組合的應(yīng)用.四、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)（6.2.2排列數(shù)）（一）教學(xué)內(nèi)容排列數(shù)的定義和表示，排列數(shù)公式.（二）教學(xué)目標(biāo)1.能在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并能區(qū)別排列與排列數(shù).2.通過(guò)利用計(jì)數(shù)原理分析和解決具體的排列問(wèn)題，得到排列數(shù)公式，并能利用公式求具體問(wèn)題的排列數(shù).（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：排列數(shù)公式.難點(diǎn)：排列數(shù)公式的應(yīng)用.（四）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.公式的引入問(wèn)題1：在6.2.1節(jié)問(wèn)題1、問(wèn)題2中，我們是根據(jù)計(jì)數(shù)原理和列舉數(shù)數(shù)的方式得到排列的個(gè)數(shù).但隨著元素個(gè)數(shù)的增加，這樣的方法就越來(lái)越煩瑣了.是否有計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式，從而能便捷地求出排列的個(gè)數(shù)？師生活動(dòng)：（1）為了便于表達(dá)和計(jì)算排列個(gè)數(shù)，教師可以先給出排列數(shù)的定義和表示：把從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，并用符號(hào)表示（2）用排列數(shù)符號(hào)表示6.2.1節(jié)問(wèn)題1、問(wèn)題2的排列數(shù)，并說(shuō)明排列數(shù)與排列有何區(qū)別.（3）分別算出6.2.1節(jié)問(wèn)題1、問(wèn)題2的排列數(shù)，它們有什么共同之處？設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合6.2.1節(jié)已解決的具體問(wèn)題1、問(wèn)題2，在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并與相似的排列概念作對(duì)比，為引入排列數(shù)公式作鋪墊.2，公式的推導(dǎo)問(wèn)題2：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)（m≤n追問(wèn)（1）：我們已經(jīng)知道，6.2.1節(jié)問(wèn)題1的排列數(shù)，問(wèn)題2的排列數(shù)，那么如何求排列數(shù)和？師生活動(dòng)：教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面求排列數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，求排列數(shù).解決問(wèn)題的關(guān)鍵是：假定有排好順序的兩個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算填法的種數(shù)，得到.再讓學(xué)生按照同樣的方法，發(fā)現(xiàn)求排列數(shù)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，得出.追問(wèn)（2）：你能類(lèi)比求排列數(shù)和的方法，求排列數(shù)嗎？師生活動(dòng)：教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面求排列數(shù)和的經(jīng)驗(yàn)，得到：假定有排好順序的m個(gè)空位，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填上一個(gè)元素，每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列.因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算填法的種數(shù)，得到排列數(shù)公式.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用計(jì)數(shù)原理求出具體問(wèn)題的排列數(shù)，從特殊到一般，將具體排列數(shù)的結(jié)果歸納為一般形式，從而得排列數(shù)公式.3.公式的辨析問(wèn)題3：上述排列數(shù)公式有什么特點(diǎn)？使用公式需要注意什么？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以下活動(dòng)：（1）觀察公式的右邊，共有幾個(gè)因數(shù)？各因數(shù)的大小有什么規(guī)律？（2）比較n與m的大小關(guān)系，并說(shuō)明公式右邊的最后一個(gè)因數(shù)有什么特點(diǎn)？（3）利用排列數(shù)公式，計(jì)算，并由此給出階乘的概念.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)辨析公式，把握公式的特點(diǎn)，以便更好地記憶公式，加深對(duì)公式的理解，并給出階乘的概念，規(guī)定0！=1.4.公式的應(yīng)用例1計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）利用排列數(shù)公式求各排列數(shù)時(shí)，n與m的值分別是多少？右邊的因數(shù)分別有幾個(gè)？最后一個(gè)因數(shù)是幾？（2）如何求?師生共同計(jì)算出結(jié)果：.追問(wèn)：觀察這兩個(gè)結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？能否將它進(jìn)行推廣？師生活動(dòng)：推廣得到公式，并加以證明.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用公式求排列數(shù)，以把握公式的結(jié)構(gòu)，加深對(duì)公式的理解.并通過(guò)對(duì)所求結(jié)果共性的歸納總結(jié)，得到公式的另一種形式.課堂練習(xí)1先計(jì)算，然后用計(jì)算工具檢驗(yàn)：；（2）；（3）；（4）.課堂練習(xí)2求證：（1）；（2）.設(shè)計(jì)意圖：選擇合適的排列數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算和證明，促進(jìn)學(xué)生把握公式的特征，并掌握公式的使用條件.例2用0~9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？師生活動(dòng)：（1）這是不是一個(gè)排列問(wèn)題？（2）引導(dǎo)學(xué)生分別按“百位數(shù)字不能是0”“0是否出現(xiàn)及出現(xiàn)的位置”“用從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù)減去其中百位是0的排列數(shù)”，給出三種解法，其中前兩種是直接法，第三種是間接法.（3）利用排列數(shù)公式計(jì)算出結(jié)果.（4）歸納求排列問(wèn)題的方法：①判斷排列問(wèn)題；②根據(jù)計(jì)數(shù)原理給出用排列數(shù)符號(hào)表示的運(yùn)算式子；③利用排列數(shù)公式求出結(jié)果.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用公式解決問(wèn)題，及時(shí)鞏固排列數(shù)公式，形成解決排列問(wèn)題的一般方法.課堂練習(xí)3一個(gè)火車(chē)站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車(chē)，現(xiàn)要停放4列不同的火車(chē)，共有多少種不同的停放方法？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固公式，熟悉解決排列問(wèn)題的一般方法，提高分析和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).5.課堂小結(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，并讓學(xué)生回答下列問(wèn)題：（1）提出一個(gè)排列問(wèn)題，并結(jié)合問(wèn)題說(shuō)明排列與排列數(shù)的區(qū)別.（2）排列數(shù)公式是如何推導(dǎo)的？（3）如何解決排列