青島期初數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作？

A.A=B

B.A?B

C.A?B

D.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)b^2-4ac的值大于0時(shí)，該拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)？

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.無(wú)法確定

3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在[a,b]上必有？

A.極值

B.最大值和最小值

C.極值點(diǎn)

D.無(wú)法確定

4.極限lim(x→∞)(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)的值是？

A.0

B.1/5

C.3/5

D.無(wú)窮大

5.在三角函數(shù)中，sin(π/2-θ)等于？

A.sinθ

B.-sinθ

C.cosθ

D.-cosθ

6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是？

A.(-a,b)

B.(a,-b)

C.(-a,-b)

D.(b,a)

7.在等差數(shù)列中，若首項(xiàng)為a，公差為d，則第n項(xiàng)an的表達(dá)式是？

A.a+(n-1)d

B.a+nd

C.a-(n-1)d

D.a-nd

8.在等比數(shù)列中，若首項(xiàng)為a，公比為q，則第n項(xiàng)an的表達(dá)式是？

A.aq^(n-1)

B.aq^n

C.aq^(-n)

D.a+q^(n-1)

9.在概率論中，事件A和事件B互斥的意思是？

A.A和B不可能同時(shí)發(fā)生

B.A發(fā)生時(shí)B必然發(fā)生

C.A發(fā)生時(shí)B不可能發(fā)生

D.A和B至少有一個(gè)發(fā)生

10.在線性代數(shù)中，矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣記作？

A.A^T

B.A^(-1)

C.A^2

D.A^*

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=1/x

C.f(x)=x^2

D.f(x)=tan(x)

2.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是？

A.0

B.1

C.π

D.無(wú)窮大

3.在三角函數(shù)中，下列恒等式正確的有？

A.sin^2(θ)+cos^2(θ)=1

B.sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ

C.cos(θ+φ)=cosθcosφ-sinθsinφ

D.tan(θ/2)=(1-cosθ)/(sinθ)

4.在數(shù)列中，下列數(shù)列是等差數(shù)列的有？

A.an=3n-2

B.an=2^n

C.an=5n+1

D.an=n^2-n+1

5.在概率論中，下列事件的關(guān)系正確的有？

A.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.若事件A和事件B獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)P(B)

C.P(A')=1-P(A)

D.P(A∪B)≤P(A)+P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為________。

2.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是________。

3.若向量u=(1,2,-1)，向量v=(2,-1,1)，則向量u和向量v的夾角余弦值是________。

4.等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為5，公差為3，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為________。

5.從一副標(biāo)準(zhǔn)的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到紅桃的概率是________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限：lim(x→2)(x^3-8)/(x-2)。

2.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+1)/xdx。

3.解微分方程：dy/dx=x/y，且y(1)=2。

4.計(jì)算向量積：向量u=(1,3,-2)，向量v=(2,-1,1)的向量積u×v。

5.求解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

-x+2y+z=0。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.C

3.B

4.C

5.C

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,C

2.B

3.A,B,C

4.A,C

5.A,B,C,D

三、填空題答案

1.3

2.[1,+∞)

3.0

4.200

5.1/4

四、計(jì)算題答案及過程

1.解：原式=lim(x→2)[(x-2)(x^2+2x+4)]/(x-2)

=lim(x→2)(x^2+2x+4)

=2^2+2*2+4

=12

2.解：∫(x^2+2x+1)/xdx=∫(x+2+1/x)dx

=∫xdx+∫2dx+∫1/xdx

=x^2/2+2x+ln|x|+C

3.解：dy/dx=x/y可變形為ydy=xdx

兩邊積分得∫ydy=∫xdx

y^2/2=x^2/2+C

由y(1)=2代入得4/2=1/2+C，解得C=3/2

所以通解為y^2=x^2+3

即y=√(x^2+3)（由于y(1)=2，取正根）

4.解：向量u×v=(1,3,-2)×(2,-1,1)

=|ijk|

|13-2|

|2-11|

=i(3*1-(-2)*(-1))-j(1*1-(-2)*2)+k(1*(-1)-3*2)

=i(3-2)-j(1+4)+k(-1-6)

=i-5j-7k

=(1,-5,-7)

5.解：對(duì)方程組進(jìn)行初等行變換：

(21-1|1)

(1-12|-1)->(1-12|-1)

(-121|0)x2+(1-12|-1)->(005|-2)

x3+(-121|0)->(033|0)

->(033|0)

x3+(005|-2)->(001|-2/5)

得到簡(jiǎn)化階梯形矩陣：

(21-1|1)

(033|0)

(001|-2/5)

從第三個(gè)方程得z=-2/5

代入第二個(gè)方程得3y+3z=0，即3y-6/5=0，解得y=2/5

代入第一個(gè)方程得2x+y-z=1，即2x+2/5+2/5=1，解得2x+4/5=1，2x=1/5，x=1/10

所以方程組的解為(x,y,z)=(1/10,2/5,-2/5)

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論部分的內(nèi)容，具體可劃分為以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)模塊：

一、極限與連續(xù)

本部分考察了函數(shù)極限的計(jì)算、函數(shù)連續(xù)性的判斷以及連續(xù)性與極值的關(guān)系。題目1考察了利用因式分解和極限運(yùn)算法則計(jì)算有理分式函數(shù)的極限，題目2考察了基本初等函數(shù)的極限值，題目3考察了函數(shù)連續(xù)性的基本概念。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

本部分考察了導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算以及應(yīng)用。題目1在計(jì)算極限的過程中間接考察了導(dǎo)數(shù)的定義，題目2考察了有理分式函數(shù)的不定積分計(jì)算，題目3考察了一階微分方程的求解方法。

三、向量代數(shù)與空間解析幾何

本部分考察了向量的運(yùn)算和空間幾何問題。題目4考察了向量的向量積運(yùn)算，這是向量代數(shù)中的基本運(yùn)算之一。

四、線性代數(shù)

本部分考察了線性方程組的求解。題目5考察了利用高斯消元法求解三元線性方程組，這是線性代數(shù)中的基本問題。

五、數(shù)列與級(jí)數(shù)

本部分考察了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式。題目4考察了等差數(shù)列的求和公式。

六、概率論基礎(chǔ)

本部分考察了概率的基本概念和計(jì)算。題目5考察了互斥事件、獨(dú)立事件以及概率的性質(zhì)。

七、積分學(xué)

本部分考察了不定積分的計(jì)算。題目2考察了有理分式函數(shù)的不定積分計(jì)算，需要運(yùn)用湊微分法。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

選擇題主要考察學(xué)生對(duì)基本概念和定理的掌握程度，以及簡(jiǎn)單的計(jì)算能力。例如，題目1考察了集合的包含關(guān)系，題目2考察了二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，題目3考察了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，題目4考察了基本初等函數(shù)的極限值，題目5考察了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，題目6考察了點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的坐標(biāo)變換，題目7考察了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，題目8考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，題目9考察了互斥事件的定義，題目10考察了矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

二、多項(xiàng)選擇題

多項(xiàng)選擇題比單項(xiàng)選擇題難度略高，要求學(xué)生不僅要掌握單個(gè)知識(shí)點(diǎn)，還要能夠綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行判斷。例如，題目1考察了函數(shù)連續(xù)性的判斷，需要學(xué)生知道基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，題目2考察了基本初等函數(shù)的極限值，需要學(xué)生熟記基本極限公式，題目3考察了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，需要學(xué)生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式，題目4考察了等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，需要學(xué)生掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，題目5考察了概率的基本概念和性質(zhì)，需要學(xué)生掌握互斥事件、獨(dú)立事件以及概率的性質(zhì)。

三、填空題

填空題主要考察學(xué)生對(duì)基本概念和定理的掌握程度，以及簡(jiǎn)單的計(jì)算能力。例如，題目1考察了函數(shù)極值的必要條件，需要學(xué)生知道可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，題目2考察了函數(shù)的定義域，需要學(xué)生知道偶次根式內(nèi)部的代數(shù)式必須大于等于零，題目3考察了向量夾角余弦值的計(jì)算，需要學(xué)生掌握向量夾角余弦值的公式，題目4考察了等差數(shù)列的求和公式，需要學(xué)生掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，題目5考察了古典概型的概率計(jì)算，需要學(xué)生掌握古典概型的概率計(jì)算公式。

四、計(jì)算題

計(jì)算題主要考察學(xué)生