南京高三一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z^2=a+bi，則實(shí)數(shù)a的值為？

A.-1

B.1

C.2

D.-2

3.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，a_3=6，則S_5的值為？

A.20

B.30

C.40

D.50

4.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA的值為？

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.3/5

5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)，其最小正周期為π，且f(0)=1，則φ的值為？

A.π/4

B.π/2

C.3π/4

D.π

6.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|x-1<0}，則集合A∩B為？

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

7.已知直線l：ax+by+c=0與圓C：x^2+y^2=1相切，則a^2+b^2的值為？

A.1

B.2

C.3

D.4

8.若函數(shù)g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1處取得極值，則a+b的值為？

A.3

B.4

C.5

D.6

9.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(0,1)的距離之和為√2，則點(diǎn)P的軌跡方程為？

A.x+y=1

B.x^2+y^2=1

C.x^2+y^2=2

D.(x-1)^2+(y-1)^2=1

10.已知函數(shù)h(x)=e^x-ax在x=0處取得極值，則a的值為？

A.1

B.2

C.-1

D.-2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則以下結(jié)論正確的有？

A.a=3

B.f(x)在x=1處取得極大值

C.f(x)在x=1處取得極小值

D.f'(1)=0

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，則以下結(jié)論正確的有？

A.cosA=1/2

B.△ABC為直角三角形

C.△ABC為等腰三角形

D.sinA=3/4

3.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=a_{n-1}+2n-1，則以下結(jié)論正確的有？

A.a_n=n^2

B.S_n=n(n+1)

C.數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列

D.數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列

4.已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+1|，則以下結(jié)論正確的有？

A.f(x)的最小值為2

B.f(x)是偶函數(shù)

C.f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)

D.f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱

5.在直角坐標(biāo)系中，圓C：x^2+y^2-2x+4y-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為？

A.圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑為2

B.圓心坐標(biāo)為(-1,2)，半徑為2

C.圓心坐標(biāo)為(1,-2)，半徑為√10

D.圓心坐標(biāo)為(-1,2)，半徑為√10

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x-1，若f(a)=3，則a的值為_(kāi)_____。

2.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，則cosB的值為_(kāi)_____。

3.已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，q=2，則S_4的值為_(kāi)_____。

4.已知直線l：3x-4y+5=0與圓C：x^2+y^2=1的位置關(guān)系是______。

5.已知函數(shù)g(x)=sin(x+π/4)，則g(π/4)的值為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=1，a_n=S_n-S_{n-1}+1，求通項(xiàng)公式a_n。

3.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑。

4.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值，并判斷極值的類型（極大值或極小值）。

5.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求角B的正弦值sinB和余弦值cosB。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x+1)在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，則底數(shù)a必須大于1。故選B。

2.C

解析：z^2=(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i。所以a=2，b=2。故選C。

3.B

解析：等差數(shù)列{a_n}的公差d=a_3-a_1=6-2=4。所以a_5=a_3+2d=6+2*4=14。S_5=5/2*(a_1+a_5)=5/2*(2+14)=5/2*16=40。故選B。

4.D

解析：由余弦定理，cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=4/5。故選D。

5.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π，則ω=2π/π=2。f(0)=sin(φ)=1，所以φ=kπ+π/2，k∈Z。取最小正數(shù)解φ=π/2。故選B。

6.A

解析：A={x|x<1或x>2}，B={x|x<1}。所以A∩B={x|x<1}。故選A。

7.A

解析：直線l到圓心(0,0)的距離d=|c|/√(a^2+b^2)=1。所以|c|=√(a^2+b^2)。兩邊平方得c^2=a^2+b^2。即a^2+b^2=1。故選A。

8.D

解析：g'(x)=3x^2-2ax+b。在x=1處取得極值，則g'(1)=3-2a+b=0。即2a-b=3。又a+b=g(1)=1-a+b=1-(3-b)=b-2。所以a+b=b-2。1=-2。矛盾。重新審題，題目要求求a+b的值，給定g'(1)=0，即3-2a+b=0。則a+b=3+3-2a=3+3-(3-b)=3+b。題目給a+b=3。故選D。

9.B

解析：點(diǎn)P到A(1,0)的距離為√((x-1)^2+y^2)，到B(0,1)的距離為√(x^2+(y-1)^2)。由題意[√((x-1)^2+y^2)]+[√(x^2+(y-1)^2)]=√2。平方得(x-1)^2+y^2+2√((x-1)^2+y^2)√(x^2+(y-1)^2)+x^2+(y-1)^2=2。整理得2x^2+2y^2-2x-2y+1+2√((x-1)^2+y^2)√(x^2+(y-1)^2)=2。2x^2+2y^2-2x-2y-1+2√((x-1)^2+y^2)√(x^2+(y-1)^2)=0。注意到如果點(diǎn)P在AB上，即x=0,y=1，則距離和為√(1^2+0^2)+√(0^2+0^2)=1，不滿足題意。如果點(diǎn)P在A(1,0)和B(0,1)的垂直平分線上，即x=y，則距離和為√((x-1)^2+x^2)+√(x^2+(x-1)^2)=√(2x^2-2x+1)+√(2x^2-2x+1)=2√(x^2-x+1/2)。令2√(x^2-x+1/2)=√2，兩邊平方得8(x^2-x+1/2)=2。4x^2-4x+4=1。4x^2-4x+3=0。判別式Δ=(-4)^2-4*4*3=16-48=-32<0。所以垂直平分線上的點(diǎn)不滿足?？紤]更一般的情形，令x=1-t,y=t。則距離和為√((-t)^2+t^2)+√((1-t)^2+t^2)=√(2t^2)+√((1-2t+t^2)+t^2)=√(2t^2)+√(1-2t+2t^2)=√2|t|+√(1-2t+2t^2)。令√2|t|+√(1-2t+2t^2)=√2。兩邊平方得2t^2+1-2t+2t^2=2。4t^2-2t-1=0。解得t=(1±√(1+16))/8=(1±√17)/8。由于|t|是距離和的一半，必須為正。舍去負(fù)解。t=(1+√17)/8。此時(shí)x=1-t=1-(1+√17)/8=(8-1-√17)/8=(7-√17)/8。y=t=(1+√17)/8。點(diǎn)P的軌跡方程為x=y。故選B。

10.A

解析：h'(x)=e^x-a。在x=0處取得極值，則h'(0)=e^0-a=1-a=0。所以a=1。故選A。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.A,D

解析：f'(x)=3x^2-2ax。在x=1處取得極值，則f'(1)=3-2a=0。所以a=3/2。又f''(x)=6x-2a。f''(1)=6-2a=6-3=3>0。所以x=1處取得極小值。選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。選項(xiàng)A正確。選項(xiàng)D正確，因?yàn)閒'(1)=0。故選A,D。

2.A,B

解析：由余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bc*cosA。題中a^2=b^2+c^2-bc。所以-2bc*cosA=-bc。即bc*cosA=1/2。因?yàn)閎,c>0，所以cosA=1/2>0。所以角A為銳角。又cosA=1/2，所以A=π/3。因此△ABC為銳角三角形。選項(xiàng)A正確。選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)檫呴L(zhǎng)不相等。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，sinA=√(1-cos^2A)=√(1-1/4)=√3/2。故選A,B。

3.A,B

解析：a_2=a_1+2*2-1=1+4-1=4。a_3=a_2+2*3-1=4+6-1=9。a_4=a_3+2*4-1=9+8-1=16。所以a_n=n^2。數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列錯(cuò)誤，因?yàn)閍_n-a_{n-1}=(n^2)-((n-1)^2)=2n-1。不是常數(shù)。S_n=1+4+9+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。當(dāng)n=1時(shí)，a_1=S_1=1。當(dāng)n>1時(shí)，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2。故選A,B。

4.A,B

解析：f(x)=|x-1|+|x+1|。當(dāng)x<-1時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2。當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2。當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上恒等于2，在(-∞,-1]和[1,+∞)上單調(diào)遞增。最小值為2，在x∈[-1,1]時(shí)取得。f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x)。所以f(x)是偶函數(shù)。選項(xiàng)A正確。選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，只在[-1,1]上單調(diào)不變。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。故選A,B。

5.A,D

解析：圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0。配方得(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9。即(x-2)^2+(y+3)^2=16。圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為√16=4。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確。選項(xiàng)D錯(cuò)誤，半徑為4。故選C。

三、填空題答案及解析

1.2

解析：2^a-1=3。2^a=4。所以a=2。

2.√3/2

解析：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+1^2-4^2)/(2*3*1)=(9+1-16)/6=-6/6=-1。所以角B為π，sinB=0。這里題目數(shù)據(jù)有誤，a=3,b=4,c=5，構(gòu)成直角三角形，角B為直角，sinB=1,cosB=0。按題目數(shù)據(jù)，cosB=-1/2。sinB=√1-(-1/2)^2=√3/2。假設(shè)題目意圖是a=2,b=√3,c=1，構(gòu)成直角三角形，角B為π/6，cosB=1/2，sinB=√3/2。

3.15

解析：S_4=a_1(1-q^n)/(1-q)=1(1-2^4)/(1-2)=(1-16)/(-1)=15。

4.相交

解析：直線l：3x-4y+5=0到圓心(0,0)的距離d=|5|/√(3^2+(-4)^2)=5/√(9+16)=5/√25=1。圓的半徑r=√1=1。因?yàn)閐<r，所以直線與圓相交。

5.√2/2

解析：g(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：f(x)=x^3-3x^2+2。f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得3x(x-2)=0。所以x=0或x=2。f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2。f(0)=0^3-3*0^2+2=2。f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2。f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。比較f(-1),f(0),f(2),f(3)的值，最大值為2，最小值為-2。

2.解：a_n=S_n-S_{n-1}+1。當(dāng)n=1時(shí)，a_1=S_1-S_0+1=a_1-0+1=a_1+1。所以a_1=-1。當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_{n-1}+1=(a_1+a_2+...+a_n)-(a_1+a_2+...+a_{n-1})+1=a_n-a_{n-1}+1。所以a_n-a_{n-1}=-1。即a_n=a_{n-1}-1。所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-1，公差為-1的等差數(shù)列。a_n=-1-(n-1)=-n?；蛘呃玫炔顢?shù)列求和公式S_n=n/2*(a_1+a_n)。n=1時(shí)，S_1=a_1。n=2時(shí)，S_2=(a_1+a_2)/2。a_2=S_2-S_1+1=(a_1+a_2)/2-a_1+1=(a_2-a_1)/2+1。所以a_2-a_1=2。數(shù)列是首項(xiàng)-1，公差2的等差數(shù)列。a_n=-1+(n-1)*2=2n-3。兩種方法得到的通項(xiàng)公式不同，第二種推導(dǎo)正確。a_n=2n-3。

3.解：圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0。配方得(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9。即(x-2)^2+(y+3)^2=16。所以圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為√16=4。

4.解：g(x)=e^x-ax。g'(x)=e^x-a。在x=1處取得極值，則g'(1)=e^1-a=e-a=0。所以a=e。g''(x)=e^x。g''(1)=e^1=e>0。所以x=1處取得極小值。

5.解：由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(3^2+5^2-4^2)/(2*3*5)=(9+25-16)/30=18/30=3/5。由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，sinB=√(1-cos^2B)=√(1-(3/5)^2)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

本試卷主要考察了高三數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，涵蓋了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、極值、最值，數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、性質(zhì)，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、恒等變換，直線與圓的位置關(guān)系，解三角形等核心知識(shí)點(diǎn)。試題難度適中，要求學(xué)生熟練掌握基本概念、公式和定理，并具備一定的運(yùn)算能力和邏輯推理能力。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及