連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)數(shù)字化方法解析1.引言在現(xiàn)代控制與信號處理領(lǐng)域，數(shù)字系統(tǒng)因具備靈活性、抗干擾性及易集成等優(yōu)勢，已逐步取代傳統(tǒng)模擬系統(tǒng)成為主流。然而，多數(shù)被控對象（如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)）仍以連續(xù)時(shí)間模型描述，其傳遞函數(shù)為拉普拉斯域（\(s\)域）的有理分式\(G(s)\)。為實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器設(shè)計(jì)，需將連續(xù)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間傳遞函數(shù)\(G(z)\)（\(z\)域），這一過程稱為傳遞函數(shù)數(shù)字化。1.1核心問題數(shù)字化的本質(zhì)是建立\(G(z)\)與\(G(s)\)的等價(jià)關(guān)系，確保離散系統(tǒng)在采樣點(diǎn)（\(t=nT\)，\(T\)為采樣周期）的輸出與連續(xù)系統(tǒng)一致。關(guān)鍵需解決以下問題：時(shí)域匹配：離散系統(tǒng)的沖激/階躍響應(yīng)應(yīng)等于連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的采樣值；頻域匹配：離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)應(yīng)近似連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（避免混疊）；穩(wěn)定性保持：連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定（極點(diǎn)均在\(s\)左半平面）時(shí)，離散系統(tǒng)需保持穩(wěn)定（極點(diǎn)均在\(z\)單位圓內(nèi)）。2.沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法是最直觀的數(shù)字化方法，其核心思想是離散系統(tǒng)的沖激響應(yīng)等于連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)的采樣值。2.1原理與推導(dǎo)設(shè)連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)為\(h_c(t)\)，則離散系統(tǒng)沖激響應(yīng)為：\[h(nT)=h_c(nT)\cdotu(nT)\]其中\(zhòng)(u(nT)\)為離散單位階躍序列。對\(h(nT)\)取\(Z\)變換，得離散傳遞函數(shù)：\[G(z)=\mathcal{Z}[h_c(nT)]\]若連續(xù)傳遞函數(shù)\(G(s)\)可分解為部分分式（單極點(diǎn)情況）：\[G(s)=\sum_{i=1}^N\frac{A_i}{s-p_i}\]其中\(zhòng)(p_i\)為極點(diǎn)（\(\text{Re}(p_i)<0\)，保證穩(wěn)定性），\(A_i\)為留數(shù)。則連續(xù)沖激響應(yīng)為：\[h_c(t)=\sum_{i=1}^NA_ie^{p_it}\cdotu(t)\]采樣后：\[h(nT)=\sum_{i=1}^NA_ie^{p_inT}\cdotu(nT)\]取\(Z\)變換得：\[G(z)=\sum_{i=1}^N\frac{A_iz}{z-e^{p_iT}}\]結(jié)論：沖激響應(yīng)不變法將連續(xù)極點(diǎn)\(s=p_i\)映射為離散極點(diǎn)\(z=e^{p_iT}\)，留數(shù)\(A_i\)保持不變。2.2頻率特性分析連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)為\(G_c(j\omega)=G(s)|_{s=j\omega}\)，離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)為\(G(e^{j\omegaT})=G(z)|_{z=e^{j\omegaT}}\)。根據(jù)\(Z\)變換與拉普拉斯變換的關(guān)系：\[G(e^{j\omegaT})=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^\inftyG_c\left(j\left(\omega+\frac{2\pik}{T}\right)\right)\]可見，離散頻率響應(yīng)是連續(xù)頻率響應(yīng)的周期延拓（周期為\(2\pi/T\)）。當(dāng)連續(xù)系統(tǒng)的高頻分量（\(\omega>\pi/T\)）非零時(shí)，延拓后的譜會(huì)重疊，導(dǎo)致頻率混疊（Aliasing），這是沖激響應(yīng)不變法的致命缺陷。2.3優(yōu)缺點(diǎn)與適用場景優(yōu)點(diǎn)：時(shí)域沖激響應(yīng)完全匹配，動(dòng)態(tài)特性保持好；缺點(diǎn)：頻率混疊嚴(yán)重，不適用于高通/帶通系統(tǒng)；適用場景：低通系統(tǒng)（如溫度控制、慢過程調(diào)節(jié)），且采樣周期\(T\)足夠?。M足\(T<\pi/\omega_{\text{max}}\)，\(\omega_{\text{max}}\)為連續(xù)系統(tǒng)最高頻率）。2.4實(shí)例驗(yàn)證設(shè)連續(xù)低通濾波器傳遞函數(shù)為：\[G(s)=\frac{1}{s+1}\]采樣周期\(T=1\)，則部分分式分解為\(G(s)=\frac{1}{s+1}\)，留數(shù)\(A_1=1\)，極點(diǎn)\(p_1=-1\)。根據(jù)沖激響應(yīng)不變法，離散傳遞函數(shù)為：\[G(z)=\frac{1\cdotz}{z-e^{-1\cdot1}}=\frac{z}{z-0.3679}\]驗(yàn)證：連續(xù)沖激響應(yīng)\(h_c(t)=e^{-t}u(t)\)，采樣后\(h(n)=e^{-n}u(n)\)；離散沖激響應(yīng)\(h(n)=\mathcal{Z}^{-1}[G(z)]=e^{-n}u(n)\)，完全匹配。3.階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法是沖激響應(yīng)不變法的延伸，其目標(biāo)是離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)等于連續(xù)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的采樣值。3.1原理與推導(dǎo)連續(xù)系統(tǒng)階躍響應(yīng)為\(g_{\text{step}}(t)=\int_0^th_c(\tau)d\tau\)，拉普拉斯變換為\(G(s)/s\)。采樣后階躍響應(yīng)為：\[g_{\text{step}}(nT)=\int_0^{nT}h_c(\tau)d\tau\]取\(Z\)變換得：\[\mathcal{Z}[g_{\text{step}}(nT)]=\mathcal{Z}\left[\frac{G(s)}{s}\right]\]離散階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系為：\[h(nT)=g_{\text{step}}(nT)-g_{\text{step}}((n-1)T)\]取\(Z\)變換得：\[G(z)=(1-z^{-1})\cdot\mathcal{Z}\left[\frac{G(s)}{s}\right]\]3.2與沖激響應(yīng)不變法的對比階躍響應(yīng)不變法的頻率響應(yīng)仍為連續(xù)響應(yīng)的周期延拓，但混疊程度較沖激響應(yīng)不變法弱（因\(G(s)/s\)的高頻分量更?。?；時(shí)域階躍響應(yīng)完全匹配，但沖激響應(yīng)可能存在微小偏差（因差分操作）。3.3適用場景適用于階躍響應(yīng)要求高的系統(tǒng)（如液位控制、流量調(diào)節(jié)），且對高頻混疊不敏感的場合。3.4實(shí)例驗(yàn)證仍以\(G(s)=1/(s+1)\)為例，\(T=1\)。計(jì)算\(G(s)/s=1/[s(s+1)]=1/s-1/(s+1)\)，其\(Z\)變換為：\[\mathcal{Z}\left[\frac{1}{s(s+1)}\right]=\frac{z}{z-1}-\frac{z}{z-0.3679}=\frac{0.6321z}{(z-1)(z-0.3679)}\]代入階躍響應(yīng)不變法公式：\[G(z)=(1-z^{-1})\cdot\frac{0.6321z}{(z-1)(z-0.3679)}=\frac{0.6321}{z-0.3679}\]驗(yàn)證：連續(xù)階躍響應(yīng)\(g_{\text{step}}(t)=1-e^{-t}\)，采樣后\(g_{\text{step}}(n)=1-e^{-n}\)；離散階躍響應(yīng)\(g_{\text{step}}(n)=\mathcal{Z}^{-1}[G(z)/(1-z^{-1})]=1-e^{-n}\)，完全匹配。4.雙線性變換法雙線性變換法（BilinearTransform）是一種無混疊的數(shù)字化方法，通過數(shù)值積分近似微分，建立\(s\)域與\(z\)域的一一映射。4.1數(shù)值積分基礎(chǔ)連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為：\[\dot{y}(t)=u(t)\]其積分形式為：\[y(t)=\int_{t-T}^tu(\tau)d\tau+y(t-T)\]采用梯形法則近似積分：\[y(nT)=\frac{T}{2}[u(nT)+u((n-1)T)]+y((n-1)T)\]取\(Z\)變換得：\[Y(z)=\frac{T}{2}(1+z^{-1})U(z)+z^{-1}Y(z)\]整理得離散傳遞函數(shù)：\[\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{T/2\cdot(1+z^{-1})}{1-z^{-1}}=\frac{T(z+1)}{2(z-1)}\]對比連續(xù)傳遞函數(shù)\(s=\dot{y}/u\)，得雙線性變換公式：\[s=\frac{2}{T}\cdot\frac{z-1}{z+1}\]逆變換為：\[z=\frac{1+sT/2}{1-sT/2}\]4.2映射關(guān)系分析雙線性變換將\(s\)平面的左半平面（\(\text{Re}(s)<0\)）一一映射到\(z\)平面的單位圓內(nèi)（\(|z|<1\)），保證穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字化后仍穩(wěn)定。頻率映射關(guān)系：設(shè)\(s=j\omega\)（連續(xù)頻率），\(z=e^{j\omega_dT}\)（離散頻率，\(\omega_d\)為數(shù)字角頻率），代入雙線性變換得：\[j\omega=\frac{2}{T}\cdot\frac{e^{j\omega_dT}-1}{e^{j\omega_dT}+1}=\frac{2}{T}\cdotj\tan\left(\frac{\omega_dT}{2}\right)\]整理得：\[\omega=\frac{2}{T}\tan\left(\frac{\omega_dT}{2}\right)\]\[\omega_d=\frac{2}{T}\arctan\left(\frac{\omegaT}{2}\right)\]可見，連續(xù)頻率\(\omega\)與離散頻率\(\omega_d\)為非線性映射（正切關(guān)系），高頻部分（\(\omega\to\infty\)）被壓縮到\(\omega_d\to\pi/T\)（Nyquist頻率），避免了混疊，但導(dǎo)致頻率畸變（如截止頻率偏移）。4.3頻率預(yù)畸變技術(shù)為補(bǔ)償頻率畸變，需采用預(yù)畸變（Pre-warping）：1.確定離散系統(tǒng)的目標(biāo)頻率（如截止頻率\(\omega_d\)）；2.根據(jù)\(\omega=(2/T)\tan(\omega_dT/2)\)計(jì)算對應(yīng)的連續(xù)頻率\(\omega\)；3.設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)\(G(s)\)（以\(\omega\)為指標(biāo)）；4.用雙線性變換將\(G(s)\)轉(zhuǎn)換為\(G(z)\)。4.4優(yōu)缺點(diǎn)與適用場景優(yōu)點(diǎn)：無頻率混疊，穩(wěn)定性保持好，適用于全通系統(tǒng)；缺點(diǎn)：頻率非線性映射，需預(yù)畸變補(bǔ)償；適用場景：要求頻域特性準(zhǔn)確的系統(tǒng)（如數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)、伺服系統(tǒng)）。4.5實(shí)例驗(yàn)證（含預(yù)畸變）設(shè)計(jì)離散低通濾波器，目標(biāo)：截止頻率\(\omega_d=\pi/2\)rad/sample（\(f_d=1/4f_s\)，\(f_s=1/T\)），采樣周期\(T=1\)。步驟1：預(yù)畸變計(jì)算\[\omega=\frac{2}{1}\tan\left(\frac{\pi/2\cdot1}{2}\right)=2\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\]步驟2：設(shè)計(jì)連續(xù)低通濾波器取一階低通\(G(s)=\frac{\omega}{s+\omega}=\frac{2}{s+2}\)。步驟3：雙線性變換代入\(s=2(z-1)/(z+1)\)：\[G(z)=\frac{2}{2(z-1)/(z+1)+2}=\frac{2(z+1)}{2(z-1+z+1)}=\frac{z+1}{2z}\]驗(yàn)證頻率響應(yīng)：當(dāng)\(\omega_d=\pi/2\)時(shí)，\(z=e^{j\pi/2}=j\)，代入得：\[G(j)=\frac{j+1}{2j}=\frac{1-j}{2}\]模值為\(|G(j)|=\sqrt{(1/2)^2+(-1/2)^2}=\sqrt{2}/2\approx0.707\)，符合-3dB截止頻率要求，預(yù)畸變有效。5.零極點(diǎn)匹配法零極點(diǎn)匹配法（Pole-ZeroMatching）是一種基于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的數(shù)字化方法，通過保持連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，調(diào)整增益實(shí)現(xiàn)匹配。5.1零極點(diǎn)映射原理設(shè)連續(xù)傳遞函數(shù)為：\[G(s)=K\cdot\frac{\prod_{i=1}^M(s-z_i)}{\prod_{j=1}^N(s-p_j)}\]其中\(zhòng)(z_i\)為零點(diǎn)，\(p_j\)為極點(diǎn)，\(K\)為增益。零極點(diǎn)匹配法將連續(xù)零極點(diǎn)映射到\(z\)域：\[z_i^*=e^{z_iT},\quadp_j^*=e^{p_jT}\]離散傳遞函數(shù)形式為：\[G(z)=K_z\cdot\frac{\prod_{i=1}^M(z-z_i^*)}{\prod_{j=1}^N(z-p_j^*)}\]其中\(zhòng)(K_z\)為離散增益，需通過增益匹配確定。5.2增益調(diào)整策略增益匹配的常用方法有兩種：1.直流增益匹配：令\(s=0\)（直流），對應(yīng)\(z=1\)，要求\(G(0)=G(1)\)；2.Nyquist頻率增益匹配：令\(s=j\pi/T\)（Nyquist頻率），對應(yīng)\(z=-1\)，要求\(G(j\pi/T)=G(-1)\)。以直流增益匹配為例：\[K\cdot\frac{\prod_{i=1}^M(-z_i)}{\prod_{j=1}^N(-p_j)}=K_z\cdot\frac{\prod_{i=1}^M(1-z_i^*)}{\prod_{j=1}^N(1-p_j^*)}\]解得：\[K_z=K\cdot\frac{\prod_{i=1}^M(-z_i)\cdot\prod_{j=1}^N(1-p_j^*)}{\prod_{j=1}^N(-p_j)\cdot\prod_{i=1}^M(1-z_i^*)}\]5.3優(yōu)缺點(diǎn)與適用場景優(yōu)點(diǎn)：保持連續(xù)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布，動(dòng)態(tài)特性變化小；缺點(diǎn)：對高階系統(tǒng)計(jì)算量大，需已知零極點(diǎn)；適用場景：根軌跡設(shè)計(jì)的連續(xù)系統(tǒng)（如PID控制器、狀態(tài)反饋系統(tǒng)），要求保持原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性。5.4實(shí)例驗(yàn)證設(shè)連續(xù)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：\[G(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+2}\]其極點(diǎn)為\(p_1=-1+j1\)，\(p_2=-1-j1\)，零點(diǎn)為\(z_1=-1\)，增益\(K=1\)。采樣周期\(T=1\)。步驟1：零極點(diǎn)映射\[z_1^*=e^{-1\cdot1}=0.3679\]\[p_1^*=e^{(-1+j1)\cdot1}=e^{-1}(\cos1+j\sin1)\approx0.1987+j0.3090\]\[p_2^*=e^{(-1-j1)\cdot1}=e^{-1}(\cos1-j\sin1)\approx0.1987-j0.3090\]步驟2：離散傳遞函數(shù)形式\[G(z)=K_z\cdot\frac{z-0.3679}{(z-0.1987-j0.3090)(z-0.1987+j0.3090)}\]分母展開為：\[(z-0.1987)^2+0.3090^2=z^2-0.3974z+0.1569\]步驟3：直流增益匹配連續(xù)直流增益：\[G(0)=\frac{0+1}{0+0+2}=0.5\]離散直流增益（\(z=1\)）：\[G(1)=K_z\cdot\frac{1-0.3679}{1^2-0.3974\cdot1+0.1569}=K_z\cdot\frac{0.6321}{0.7595}\approxK_z\cdot0.832\]令\(G(1)=G(0)\)，得：\[K_z=0.5/0.832\approx0.601\]最終離散傳遞函數(shù)：\[G(z)=0.601\cdot\frac{z-0.3679}{z^2-0.3974z+0.1569}\]驗(yàn)證：連續(xù)系統(tǒng)極點(diǎn)為共軛復(fù)極點(diǎn)（阻尼比\(\zeta=0.707\)，無阻尼自然頻率\(\omega_n=\sqrt{2}\)），離散系統(tǒng)極點(diǎn)模為\(|p_1^*|=e^{-1}\approx0.3679<1\)（穩(wěn)定），且阻尼比與原系統(tǒng)接近，動(dòng)態(tài)特性保持良好。6.方法對比與工程選擇為指導(dǎo)工程應(yīng)用，下表對比了四種數(shù)字化方法的關(guān)鍵特性：**方法**混疊情況時(shí)域匹配頻域匹配計(jì)算復(fù)雜度適用場景沖激響應(yīng)不變法嚴(yán)重