專題12孫子定理小升初數(shù)學(xué)思維拓展數(shù)論問題專項(xiàng)訓(xùn)練（知識梳理+典題精講+專項(xiàng)訓(xùn)練）1、孫子定理的含義：也叫中國剩余定理．《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題說：“今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”即被三除余二，被五除余三，被七除余二的最小整數(shù)．這個(gè)問題稱作孫子問題，俗稱韓信點(diǎn)兵．其正確解法叫做孫子剩余定理．

2、中國剩余定理的結(jié)論：

令任意固定整數(shù)為M，當(dāng)M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z時(shí)，這里的A，B，C，D，…，Z為除數(shù)，除數(shù)為任意自然數(shù)（如果為0，沒有任何意義，如果為1，在孫子定理中沒有計(jì)算和探討的價(jià)值，所以，不包括0和1）時(shí)；余數(shù)a，b，c，d，z為自然整數(shù)時(shí)．【典例一】某小學(xué)的六年級有一百多名學(xué)生．若按三人一行排隊(duì)，則多出一人；若按五人一行排隊(duì)，則多出二人；若按七人一行排隊(duì)，則多出一人．該年級的人數(shù)是（）。

【分析】此題屬于孫子定理，又叫同余定理，中國剩余定理，分組時(shí)，只要余數(shù)相同，求總數(shù)，就可以先求出分組時(shí)組員數(shù)目的最小公倍數(shù)，然后再加上余數(shù)；本題有兩個(gè)余數(shù)，可分部求解．

【解答】解：因?yàn)榘?人和7人一行排隊(duì)都多出1人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是3和7的公倍數(shù)多1人，即22、43、64、85、106、127、148、169、190、211、…

其中符合題意一百多名的只有106、127、148、169、190這五個(gè)數(shù)

同理，又因?yàn)榘?人一行排隊(duì)多2人，所以總?cè)藬?shù)應(yīng)該是5的倍數(shù)多2，所以總?cè)藬?shù)的最后一位數(shù)字應(yīng)該是2或7

最終符合題意的是127．

答：該年級的人數(shù)是127．

故答案為：127．

【點(diǎn)評】此題考查了孫子定理，根據(jù)已知條件，只要分組時(shí)余數(shù)相同，就求最小公倍數(shù)，然后加上余數(shù)，明白同余定理是解決此題的關(guān)鍵．【典例二】甲、乙、丙三數(shù)分別是603，939，393．某數(shù)除甲數(shù)所得余數(shù)是除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，除乙數(shù)所得余數(shù)是除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求是多少？【分析】丙數(shù)擴(kuò)大4倍，乙數(shù)擴(kuò)大2倍，那么甲、乙、丙三數(shù)余數(shù)就相同了，即，，然后兩兩相減求出三個(gè)差，再求出三個(gè)差的不小于4的公因數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)分析可得，所以，的值為17或經(jīng)驗(yàn)證，只有17符合題意．答：是17．【點(diǎn)評】本題考查了剩余定理的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是統(tǒng)一余數(shù)，然后根據(jù)因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系解答即可．【典例三】求滿足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然數(shù)？滿足條件的從小到大第二個(gè)數(shù)是多少？【分析】除以7余5的數(shù)最小是，，，正好符合要求，然后加上7、8、9的最小公倍數(shù)，找到符合要求的第二個(gè)數(shù)即可．【解答】解：除以7余5的數(shù)最小是所以，滿足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然數(shù)12．7、8、9的最小公倍數(shù)是：答：滿足除以7余5，除以8余4，除以9余3的最小自然數(shù)12；滿足條件的從小到大第二個(gè)數(shù)是516．【點(diǎn)評】本題考查了孫子定理，本題是求出符合要求的最小自然數(shù)．一．填空題1．籃子里有雞蛋若干個(gè)，每次取出3個(gè)，最后剩1個(gè)；每次取5個(gè)，最后剩下3個(gè)；每次取7個(gè)，最后剩下5個(gè)，則籃子里最少有個(gè)雞蛋．2．一個(gè)數(shù)被3除余2，被4除余3，被5除余4，符合這個(gè)條件的500以內(nèi)的最大數(shù)是．3．有一些氣球，不到20個(gè)，平均分給3個(gè)小朋友或5個(gè)小朋友，都剩下2個(gè)，想一想，有個(gè)氣球。4．在小于1000的數(shù)中，被5除余4、被3除余2的最大奇數(shù)是。5．將618，516，448被某一數(shù)整除所得的余數(shù)相同（不能為，這個(gè)數(shù)最大是，余數(shù)是．6．有個(gè)三位數(shù)，如果它加上1就能被5整除；如果它加上3就能被2整除；如果它加上5就能被3整除．這樣的三位數(shù)最大是，最小是．7．一個(gè)自然數(shù)了除以7余5，除以11余1，除以9余3，這個(gè)數(shù)最小是．8．一個(gè)數(shù)被3除余2，被4除余2，被5除余4，符合條件的500以內(nèi)的最大數(shù)是．9．一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余4，除以7余6，這個(gè)自然數(shù)最小是．10．有一筐蘋果，每次從中取出3個(gè)，最后筐內(nèi)還剩2個(gè)，每次從中取出5個(gè)，最后還剩3個(gè)，每次從中取出7個(gè)，最后還剩2個(gè)．這筐蘋果至少有個(gè)．11．自然數(shù)390，369，425被某自然數(shù)（且大于除時(shí)余數(shù)相同，那么2014被這個(gè)自然數(shù)除的余數(shù)是．二．解答題12．你知道嗎？《孫子算經(jīng)》記載：“今有物不知其數(shù)：三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何？”它的意思是：有一些物品，如果3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，最后剩2個(gè)；如果5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，最后剩3個(gè)；如果7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)，最后剩2個(gè)。這些物品一共有多少？這個(gè)問題人們通常把它叫作“孫子問題”，西方數(shù)學(xué)家把它稱為“中國剩余定理”。你知道怎樣解答這個(gè)問題嗎？13．我國古代有一道韓信點(diǎn)兵的算術(shù)題：衛(wèi)兵列隊(duì)，列成五隊(duì)余一人，列成六隊(duì)余五人，列成七隊(duì)余四人，列成十一隊(duì)余十人，求韓信最少有多少衛(wèi)兵？14．有一堆棋子，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)，最后剩下2個(gè)；十三個(gè)十三個(gè)地?cái)?shù)，最后剩下3個(gè)；十九個(gè)十九個(gè)地?cái)?shù)，最后剩下5個(gè)．這堆棋子最少多少個(gè)？15．銀行有200個(gè)保險(xiǎn)柜，分別編號號．為了保險(xiǎn)起見，每個(gè)保險(xiǎn)柜的鑰匙不能編上與柜相同的號碼．現(xiàn)在設(shè)計(jì)一種將鑰匙編號的方法：每個(gè)保險(xiǎn)柜的鑰匙用四個(gè)數(shù)字來編號（首位數(shù)字可以是，從左起的四個(gè)數(shù)字依次是保險(xiǎn)柜的編號除以2，3，5，7所得的余數(shù)，如8號保險(xiǎn)柜的鑰匙編號為0231．問編號為1233的鑰匙是幾號保險(xiǎn)柜的？16．一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余5，除以9余5，除以11余4，則滿足這些條件的最小自然數(shù)是多少？17．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何？”它的意思是：有一些物品，如果3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，最后剩2個(gè)：如果5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，最后剩3個(gè)：如果7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)，最后剩2個(gè)：這些物品至少有多少個(gè)？這個(gè)問題人們通常把它叫做“孫子問題”，西方數(shù)學(xué)家把它稱為“中國剩余定理”你知道怎么解答這個(gè)問題嗎？18．一個(gè)三位數(shù)加5能被3整除，加2能被5整除，加1能被7整除，這個(gè)三位數(shù)最大是多少19．一個(gè)自然數(shù)在1000和1200之間，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)．20．一個(gè)數(shù)用3除余1，用4除余2，用5除余3，這個(gè)數(shù)最小是多少？

參考答案一．填空題1．【分析】根據(jù)題意得出此題要求的數(shù)是能夠被3、5、7整除還少2的數(shù)，由此求出3、5、7的最小公倍數(shù)再減去2即可．【解答】解：因?yàn)?、5和7的最小公倍數(shù)是，所以籃子里的雞蛋最少有：（個(gè)，答：籃子里最少有103個(gè)雞蛋；故答案為：103．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用求最小公倍數(shù)的方法解決生活中的實(shí)際問題．2．【分析】根據(jù)“一個(gè)數(shù)被3除余2，被4除余3，被5除余4”，可知這個(gè)自然數(shù)是比3、4和5的公倍數(shù)少1的數(shù)，進(jìn)而先求出3、4和5的最小公倍數(shù)，再求出符合這個(gè)條件的500以內(nèi)，最大公倍數(shù)，然后再減去1即可．【解答】解：3、4和5的最小公倍數(shù)是：答：符合這個(gè)條件的500以內(nèi)的最大數(shù)是479．故答案為：479．【點(diǎn)評】解決此題關(guān)鍵是理解把這個(gè)數(shù)增加1，所得數(shù)就正好被3、4和5整除；從而得出該數(shù)是比3、4和5的公倍數(shù)少1的數(shù)．3．【答案】17?！痉治觥扛鶕?jù)題意，求出3和5的最小公倍數(shù)，3和5互質(zhì)，其最小公倍數(shù)是它們的乘積，即15，然后加上2就是氣球的個(gè)數(shù)?！窘獯稹拷猓?和5的最小公倍數(shù)是：，（個(gè)答：有17個(gè)氣球。故答案為：17。【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵是求出3和5的最小公倍數(shù)。4．【答案】989【分析】被5除余4、被3除余2，那么這個(gè)數(shù)加上1就是的倍數(shù)，先用1000除以求出商，然后結(jié)合商與這個(gè)數(shù)是奇數(shù)解答即可?！窘獯稹拷猓捍穑罕?除余4、被3除余2的最大奇數(shù)是989。故答案為：989?！军c(diǎn)評】本題考查了余數(shù)問題和倍數(shù)問題，關(guān)鍵是明確這個(gè)數(shù)加上1就是15的倍數(shù)。5．【分析】根據(jù)同余定理，618，516，448這三個(gè)數(shù)兩兩的差都是這個(gè)整數(shù)的倍數(shù)，這個(gè)整數(shù)為這三個(gè)差的因數(shù)；然后把這三個(gè)差分解質(zhì)因數(shù)，即可找出這個(gè)整數(shù)，進(jìn)一步求出余數(shù)．【解答】解：所以這個(gè)整數(shù)為三個(gè)差的最大公因數(shù)：所以余數(shù)是6；答：這個(gè)數(shù)最大是34；余數(shù)是6．故答案為：34；6．【點(diǎn)評】本題解答的依據(jù)是同余定理之一：、對于模同余的充要條件是：與的差能被整除．6．【分析】首先根據(jù)題意，可得這個(gè)數(shù)除以5余4，除以2余1，除以3余1；然后根據(jù)這個(gè)數(shù)除以5余4，可得這個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為4或9，再根據(jù)這個(gè)數(shù)除以2余1，可得這個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)字只能是9，所以滿足的三位數(shù)為：109、119、129、139、、969、979、989、999；最后根據(jù)這個(gè)數(shù)除以3余1，求出這樣的三位數(shù)最大、最小各是多少即可．【解答】解：據(jù)題意，可得這個(gè)數(shù)除以5余4，除以2余1，除以3余1；因?yàn)檫@個(gè)數(shù)除以5余4，所以這個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為4或9，又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)除以2余1，所以這個(gè)數(shù)個(gè)位上的數(shù)字只能是9，所以滿足的三位數(shù)為：109、119、129、139、、969、979、989、999；因?yàn)檫@個(gè)數(shù)除以3余1，所以滿足的數(shù)為：109、139、169、、979，所以這樣的三位數(shù)最大是979，最小是109．答：這樣的三位數(shù)最大是979，最小是109．故答案為：979、109．【點(diǎn)評】此題主要考查了中國剩余定理，考查了分析推理能力，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確是2、3、5的倍數(shù)的特征．7．【分析】一個(gè)自然數(shù)了除以7余5，那么符合這一條件的最小的自然數(shù)是，然后再驗(yàn)證是否符合后兩個(gè)條件，據(jù)此解答即可．【解答】解：符合“除以7余5”的最小的自然數(shù)是，，符合要求，，符合要求，所以，這個(gè)數(shù)最小是12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題考查了簡單的孫子定理問題，也可分別列舉出符合每個(gè)條件的數(shù)，然后找到最小的共同的數(shù)即可．8．【分析】被5除余4，個(gè)位上的數(shù)是4或9，被4除余2，說明這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以這個(gè)數(shù)的個(gè)位一定是4，符合條件的500以內(nèi)的最大數(shù)百位一定是4，3的倍數(shù)中符合題意，所以這個(gè)數(shù)是494．【解答】解：被5除余4，個(gè)位上的數(shù)是4或9，被4除余2，說明這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以這個(gè)數(shù)的個(gè)位一定是4，符合條件的500以內(nèi)的最大數(shù)百位一定是4，被3除余2，個(gè)位減去2就是2，這個(gè)數(shù)就能被3整除，，十位上能填0、3、6、9，9最大，所以這個(gè)數(shù)是494．故答案為：494．【點(diǎn)評】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定個(gè)位數(shù)，也可以根據(jù)3和4的最小公倍數(shù)來求解．9．【分析】一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余4，除以7余6，這個(gè)自然數(shù)就是比3、5、7的最小公倍數(shù)少1的數(shù)．據(jù)此解答．【解答】解：3、5和7的最小公倍數(shù)答：這個(gè)自然數(shù)最小是104．故答案為：104．【點(diǎn)評】本題的重點(diǎn)是觀察余下的數(shù)再添上1都能被3、5、7整除，所以這個(gè)數(shù)是比3、5、7的最小公倍數(shù)少1．10．【分析】先找到除以7余2的數(shù)；再在這些數(shù)中得到除以3余2的數(shù)；再在這些數(shù)中得到除以5余3的最小正整數(shù)．【解答】解：除以7余2的數(shù)是：9，16，23，30，37，44，51，58，；其中除以3余2的數(shù)有：23，44，；其中除以5余3的數(shù)有：23．所以23是符合題意的最小正整數(shù)．答：這筐蘋果至少有23個(gè)．故答案為：23．【點(diǎn)評】考查了求一個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的方法，本題依次篩選即可得到所求的結(jié)果．11．【分析】可設(shè)是余數(shù)），，，，，能被這個(gè)自然數(shù)整除，兩兩相減之后，比如能被這個(gè)自然數(shù)整除，所以得到這個(gè)結(jié)論：這個(gè)數(shù)能同時(shí)能整除它們的差，然后求出公約數(shù)即可解答．【解答】解：21，56，35能同時(shí)被這個(gè)數(shù)整除，21，56，35大于1的公約數(shù)為7，答：2014被這個(gè)自然數(shù)除的余數(shù)是5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查了公約數(shù)的概念，通過同余得出它們的差能夠被這個(gè)自然數(shù)整除是解答本題的關(guān)鍵．二．解答題12．【答案】23?！痉治觥扛鶕?jù)題意可知，這些物品的個(gè)數(shù)減去2就是3和7的最小公倍數(shù)，減去3是5的倍數(shù)，因此，只要求出3和7的最小公倍數(shù)再加上2，然后除以5，看看余數(shù)是否是3解答即可?！窘獯稹拷猓阂?yàn)?和7是互質(zhì)數(shù)，所以3和7的最小公倍數(shù)是：（個(gè)，符合題意。答：這些物品至少有23個(gè)?！军c(diǎn)評】此題解答關(guān)鍵是理解最小公倍數(shù)的意義，掌握求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。13．【分析】根據(jù)題意，先求6、11的公倍數(shù)，求出其公倍數(shù)再減去1，再找到這些數(shù)中列成五隊(duì)余一人，列成七隊(duì)余四人即可．【解答】解：，65列成五隊(duì)沒有余數(shù)，不合題意；，131列成七隊(duì)余五人，不合題意；，197列成五隊(duì)余二人，不合題意；，263列成五隊(duì)余三人，不合題意；，329列成五隊(duì)余四人，不合題意；，395列成五隊(duì)余三人，不合題意；，461列成七隊(duì)余六人，不合題意；，527列成五隊(duì)余二人，不合題意；，593列成五隊(duì)余三人，不合題意；，659列成五隊(duì)余四人，不合題意；，725列成五隊(duì)沒有余數(shù)，不合題意；，791列成七隊(duì)沒有余數(shù)，不合題意；，1121列成七隊(duì)余一人，不合題意；，1451列成七隊(duì)余二人，不合題意；，1781列成七隊(duì)余三人，不合題意；，2111列成五隊(duì)余一人，列成七隊(duì)余四人，符合題意．答：韓信最少有2111衛(wèi)兵．【點(diǎn)評】此題考查的是帶余數(shù)的除法，根據(jù)題意得出“士兵人數(shù)”是6、11的公倍數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)中國剩余定理的方法分別求出3和13，3和19，13和19的最小公倍數(shù)，然后再用兩兩的最小公倍數(shù)去除以另一個(gè)數(shù)，把余數(shù)調(diào)整為與原數(shù)同余，則再把得到的三個(gè)數(shù)相加，去掉3、13、19的公倍數(shù)即是這堆棋子的最少數(shù)，據(jù)此解答．【解答】解：3和13的最小公倍數(shù)是：，，余數(shù)擴(kuò)大5倍，則3和13的最小公倍數(shù)也擴(kuò)大5倍是；，符合要求；同理，3和19的最小公倍數(shù)是：，，余數(shù)擴(kuò)大11倍，則3和19的最小公倍數(shù)也擴(kuò)大11倍是；，符合要求；同理，13和19的最小公倍數(shù)是：，，余數(shù)擴(kuò)大2倍，則13和19的最小公倍數(shù)也擴(kuò)大2倍是；，符合要求；，3、13和19的最小公倍數(shù)是：，，，所以：被3除余2，被13除余3，被19除余5的數(shù)最小為575，所以，這堆棋子最少575個(gè)；答：這堆棋子最少575個(gè)．【點(diǎn)評】本題考查了剩余定理，關(guān)鍵先求兩兩的最小公倍數(shù)，難點(diǎn)是調(diào)整最小公倍數(shù)使之成為符合余數(shù)為2、3、5的數(shù)；中國剩余定理的方法是“死的”，關(guān)鍵是把“死的”方法靈活巧妙地運(yùn)用．15．【分析】四個(gè)數(shù)字依次是保險(xiǎn)柜的編號除以2，3，5，7所得的余數(shù)，編號是1233，就找出除以2余數(shù)1，除以3余數(shù)是2，除以5余數(shù)是3，除以7余數(shù)是3的數(shù)即可．【解答】解：設(shè)這個(gè)數(shù)是，是除以2余數(shù)1，除以3余數(shù)是2，除以5余數(shù)是3，除以7余數(shù)是3的數(shù)．如果減少3，則同時(shí)被2、5、7整除，并且被3除余2；；，余數(shù)是1，那么余數(shù)就是2；所以符合條件的最小的一個(gè)數(shù)是：；在范圍內(nèi)，只有143一個(gè)符合要求．答：這個(gè)鑰匙是143號保險(xiǎn)箱的鑰匙．【點(diǎn)評】根據(jù)這個(gè)數(shù)除以2，3，5，7的余數(shù)是1233進(jìn)行求解，先找出能同時(shí)被其中的2、5、7三個(gè)數(shù)整除的數(shù)，由此時(shí)余數(shù)是2進(jìn)行推算．16．【分析】用逐步增加條件的方法，找到同時(shí)滿足被3除余2，被5除余2的最小數(shù)，然后不斷加上3、5的最小公倍數(shù)15，找到同時(shí)滿足前三個(gè)條件的最小數(shù)；接下來不斷加上3、5、7的最小公倍數(shù)105，找到同時(shí)滿足前四個(gè)條件的最小數(shù)，恰好同時(shí)滿足最后一個(gè)條件，即是所求的數(shù)．【解答】解：同時(shí)滿足被3除余2，被5除余2的數(shù)，最小是；然后不斷加上3、5的最小公倍數(shù)15，始終滿足前兩個(gè)條件，可以找到，同時(shí)滿足前三個(gè)條件；接下來不斷加上3、5、7的最小公倍數(shù)105，可始終滿足前三個(gè)條件，從而找到，同時(shí)滿足前四個(gè)條件，恰好同時(shí)滿足最后一個(gè)條件；所以，滿足條件的最小自然數(shù)是257．【點(diǎn)評】此題考查了帶余除法，本題用逐步增加條件的方法依次找到滿足條件的自然數(shù)，從而最后求解．17．【答案】23。