高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)聽(tīng)評(píng)課記錄4．2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式》(含詳解)一.基本信息

聽(tīng)課日期：2023年11月15日

聽(tīng)課時(shí)間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：王明

學(xué)科/課程名稱：高考數(shù)學(xué)（理數(shù)）

班級(jí)/年級(jí)：高三（1）班

教學(xué)主題或章節(jié)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式（含詳解）

聽(tīng)課人姓名：李強(qiáng)

聽(tīng)課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽(tīng)課目的：教學(xué)研究

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式展開(kāi)，注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材、教具和多媒體課件配套使用。教材中重點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注明確，教具包括三角函數(shù)單位圓模型，多媒體課件展示了誘導(dǎo)公式的幾何推導(dǎo)過(guò)程，為理解公式提供了直觀支持。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過(guò)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系）導(dǎo)入新課，以問(wèn)題“如何將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)”引發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)入自然，效果良好。

展開(kāi)階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用講授法為主，結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式。首先通過(guò)單位圓的對(duì)稱性解釋誘導(dǎo)公式的幾何意義，然后通過(guò)例題講解公式的應(yīng)用，如求值、化簡(jiǎn)和證明等。學(xué)生分組討論具體例題，教師巡視指導(dǎo)，并選取典型錯(cuò)誤進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，加深理解。課堂還穿插了變式練習(xí)，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的核心要點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)公式的記憶方法和應(yīng)用技巧。布置作業(yè)包括基礎(chǔ)題和拓展題，基礎(chǔ)題鞏固公式記憶，拓展題提升綜合應(yīng)用能力。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過(guò)提問(wèn)、追問(wèn)和點(diǎn)評(píng)與學(xué)生互動(dòng)，如“誘導(dǎo)公式中的奇偶性如何體現(xiàn)？”“如何選擇合適的公式化簡(jiǎn)？”等。學(xué)生參與度較高，積極回答問(wèn)題，部分學(xué)生主動(dòng)展示解題思路。教師對(duì)學(xué)生的回答給予及時(shí)反饋，鼓勵(lì)個(gè)性化思考。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，課堂專注度明顯，尤其在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式時(shí)表現(xiàn)出濃厚興趣。小組合作學(xué)習(xí)效果良好，學(xué)生分工明確，共同解決問(wèn)題。部分學(xué)生能夠獨(dú)立完成變式練習(xí)，但仍有少數(shù)學(xué)生在公式應(yīng)用時(shí)存在困難，需要教師進(jìn)一步指導(dǎo)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守課堂規(guī)則，教師通過(guò)眼神和手勢(shì)進(jìn)行非言語(yǔ)管理，有效控制課堂秩序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入、展開(kāi)和結(jié)束階段時(shí)間分配均衡，課堂節(jié)奏控制得當(dāng)。誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程預(yù)留充足時(shí)間，確保學(xué)生理解透徹。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)有效支持了教學(xué)效果。多媒體課件動(dòng)態(tài)展示單位圓的旋轉(zhuǎn)和誘導(dǎo)公式的變化過(guò)程，幫助學(xué)生直觀理解。教師利用平板電腦批改學(xué)生練習(xí)，實(shí)時(shí)反饋錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)效率。技術(shù)手段的應(yīng)用豐富了教學(xué)形式，提升了學(xué)生的參與度。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的定位和學(xué)生的認(rèn)知水平。教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系），掌握誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程和記憶方法，能夠運(yùn)用這些關(guān)系和公式進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明。目標(biāo)具體，可操作性強(qiáng)，與高考考綱要求一致。

在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)導(dǎo)入環(huán)節(jié)的問(wèn)題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生明確學(xué)習(xí)方向；通過(guò)例題和變式練習(xí)，幫助學(xué)生逐步達(dá)成目標(biāo)。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)一步強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí)。從課堂反饋來(lái)看，大部分學(xué)生能夠跟隨教學(xué)節(jié)奏，對(duì)教學(xué)目標(biāo)的理解清晰，學(xué)習(xí)方向明確。

課后通過(guò)隨堂練習(xí)和問(wèn)卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高。約85%的學(xué)生表示理解了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的內(nèi)涵，70%的學(xué)生能夠獨(dú)立運(yùn)用這些公式解決基礎(chǔ)問(wèn)題。少數(shù)學(xué)生在公式的靈活應(yīng)用上仍有不足，這需要在后續(xù)教學(xué)中重點(diǎn)關(guān)注。

總體而言，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況良好，既保證了知識(shí)的系統(tǒng)傳授，又注重了能力的培養(yǎng)，符合高三復(fù)習(xí)的實(shí)際需求。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是三角函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教師通過(guò)單位圓模型和幾何推導(dǎo)，幫助學(xué)生建立了直觀的理解。學(xué)生在小組討論和課堂互動(dòng)中，進(jìn)一步深化了對(duì)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的認(rèn)識(shí)。部分學(xué)生能夠自主總結(jié)出記憶口訣，提高了學(xué)習(xí)效率。

誘導(dǎo)公式的掌握情況同樣較好。教師通過(guò)動(dòng)態(tài)課件展示公式的幾何意義，并結(jié)合例題講解公式的應(yīng)用場(chǎng)景，如“如何將負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為正角的三角函數(shù)？”“如何利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行三角恒等變換？”等。學(xué)生在練習(xí)中能夠主動(dòng)選擇合適的公式，但部分學(xué)生在公式的變形應(yīng)用上存在困難，如“π+α”與“-α”的誘導(dǎo)公式混淆。

技能的掌握程度方面，學(xué)生能夠運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值和化簡(jiǎn)，但在復(fù)雜問(wèn)題中，技能的遷移應(yīng)用能力仍有待提高。教師通過(guò)變式練習(xí)，逐步提升難度，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)。部分學(xué)生在證明題中，能夠合理運(yùn)用公式，但邏輯表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

總體來(lái)看，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，但對(duì)技能的靈活應(yīng)用和綜合運(yùn)用能力仍需加強(qiáng)。教師需要在后續(xù)教學(xué)中，通過(guò)更多實(shí)例和變式練習(xí)，提升學(xué)生的解題能力。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。教師通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式時(shí)，表現(xiàn)出濃厚的探究欲望，部分學(xué)生能夠提出自己的見(jiàn)解，體現(xiàn)了學(xué)生的主體性。課堂互動(dòng)氛圍良好，學(xué)生之間互相幫助，共同解決問(wèn)題，培養(yǎng)了合作精神。

在情感態(tài)度方面，教師通過(guò)鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。對(duì)于回答問(wèn)題的學(xué)生，教師給予積極反饋，對(duì)于遇到困難的學(xué)生，教師耐心指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服障礙。這種教學(xué)方式，不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也培養(yǎng)了學(xué)生的自信心。

價(jià)值觀方面，教師通過(guò)例題講解，滲透了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。如“誘導(dǎo)公式在導(dǎo)航系統(tǒng)中的應(yīng)用”“三角函數(shù)在物理振動(dòng)中的體現(xiàn)”等，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的價(jià)值。課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“三角函數(shù)在生活中的應(yīng)用場(chǎng)景”，進(jìn)一步強(qiáng)化了數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

總體而言，本節(jié)課在情感態(tài)度價(jià)值觀方面取得了良好效果，不僅提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神、自信心和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

綜合來(lái)看，本節(jié)課的教學(xué)效果良好，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶達(dá)到了預(yù)期，情感態(tài)度價(jià)值觀方面也取得了積極成效。但在技能的靈活應(yīng)用和綜合運(yùn)用能力方面仍需加強(qiáng)，這需要在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)一步關(guān)注和改進(jìn)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

對(duì)本節(jié)課的整體印象良好。王明老師的教學(xué)設(shè)計(jì)思路清晰，教學(xué)環(huán)節(jié)緊湊，能夠圍繞同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式這一核心內(nèi)容展開(kāi)，符合高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)要求。課堂教學(xué)中，教師能夠結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用多種教學(xué)方法，如講授法、啟發(fā)式教學(xué)和小組合作學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與度。教學(xué)資源的準(zhǔn)備充分，多媒體課件與教具的配合使用，增強(qiáng)了教學(xué)的直觀性和有效性。

最突出的優(yōu)點(diǎn)是教師對(duì)知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性的把握能力較強(qiáng)。在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式的教學(xué)中，教師能夠?qū)⒅R(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系。例如，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師通過(guò)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，自然地引出誘導(dǎo)公式，體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性。在展開(kāi)階段，教師通過(guò)幾何推導(dǎo)和例題講解，幫助學(xué)生理解公式的內(nèi)涵和應(yīng)用方法，體現(xiàn)了知識(shí)的邏輯性。

此外，教師的教學(xué)基本功扎實(shí)，語(yǔ)言表達(dá)清晰，能夠用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言解釋復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念。在課堂互動(dòng)中，教師能夠及時(shí)回應(yīng)學(xué)生的提問(wèn)，并給予針對(duì)性的指導(dǎo)，體現(xiàn)了良好的教學(xué)素養(yǎng)。課堂管理能力強(qiáng)，能夠有效地控制課堂秩序，確保教學(xué)活動(dòng)的順利進(jìn)行。

總體而言，本節(jié)課是一節(jié)成功的復(fù)習(xí)課，教學(xué)效果良好，體現(xiàn)了教師較強(qiáng)的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施能力。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下具體改進(jìn)措施：

（1）加強(qiáng)技能的靈活應(yīng)用訓(xùn)練。本節(jié)課在技能的掌握程度方面仍有待提高，部分學(xué)生在公式的變形應(yīng)用和復(fù)雜問(wèn)題的解決上存在困難。建議教師在后續(xù)教學(xué)中，增加變式練習(xí)的比重，特別是針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)，設(shè)計(jì)更多具有針對(duì)性的練習(xí)題。例如，可以設(shè)計(jì)一些需要多次運(yùn)用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系的綜合性題目，幫助學(xué)生提高技能的遷移應(yīng)用能力。

（2）關(guān)注個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)。在課堂教學(xué)中，學(xué)生的參與度和掌握程度存在差異。建議教師在后續(xù)教學(xué)中，更加關(guān)注個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)。例如，可以在課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，布置不同難度的預(yù)習(xí)任務(wù)；在課堂練習(xí)中，設(shè)計(jì)不同層次的練習(xí)題；在課后作業(yè)中，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，布置不同類(lèi)型的題目。通過(guò)分層教學(xué)，幫助不同層次的學(xué)生取得進(jìn)步。

（3）豐富教學(xué)手段，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。雖然本節(jié)課采用了多媒體課件和教具，但在教學(xué)手段方面仍有提升空間。建議教師進(jìn)一步豐富教學(xué)手段，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，可以引入一些數(shù)學(xué)軟件，如GeoGebra，動(dòng)態(tài)展示三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；可以設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)游戲，如“三角函數(shù)知識(shí)競(jìng)賽”，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

（4）加強(qiáng)邏輯表達(dá)能力的培養(yǎng)。在三角函數(shù)的證明題中，部分學(xué)生的邏輯表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)。建議教師在后續(xù)教學(xué)中，加強(qiáng)邏輯表達(dá)能力的培養(yǎng)。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)范的數(shù)學(xué)證明格式；可以設(shè)計(jì)一些需要邏輯推理的題目，幫助學(xué)生提高邏輯思維能力。

通過(guò)以上改進(jìn)措施，可以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量，幫助學(xué)生更好地掌握三角函數(shù)的知識(shí)和技能。

3.后續(xù)跟蹤

需要后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)改進(jìn)情況。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）安排二次聽(tīng)課。在王明老師根據(jù)改進(jìn)建議進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐后，安排二次聽(tīng)課，觀察改進(jìn)效果。重點(diǎn)觀察教師在技能訓(xùn)練、分層教學(xué)、教學(xué)手段和邏輯表達(dá)能力培養(yǎng)方面的改進(jìn)情況。通過(guò)二次聽(tīng)課，進(jìn)一步評(píng)估教學(xué)效果，并提供針對(duì)性的指導(dǎo)。

（2）組織集體備課。組織高三數(shù)學(xué)備課組進(jìn)行集體備課，圍繞同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，探討更有效的教學(xué)方法。例如，可以集體研究變式練習(xí)的設(shè)計(jì)思路；可以分享分層教學(xué)的具體實(shí)施方法；可以交流教學(xué)手段的運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)。通過(guò)集體備課，共同提高教學(xué)水平。

（3）提供專業(yè)指導(dǎo)。邀請(qǐng)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師或教研員，為王明老師提供專業(yè)指導(dǎo)。例如，可以針對(duì)技能訓(xùn)練的具體問(wèn)題，提供解題思路和方法；可以針對(duì)分層教學(xué)的具體操作，提供可行性建議；可以針對(duì)教學(xué)手段的運(yùn)用，提供創(chuàng)新思路。通過(guò)專業(yè)指導(dǎo)，幫助教師解決教學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題。

（4）鼓