202X年昆明市高三數(shù)學(xué)（理科）期末統(tǒng)考真題解析——聚焦核心素養(yǎng)，破解高頻考點(diǎn)一、考試整體分析昆明市高三數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考作為高考前的重要模擬測(cè)試，命題嚴(yán)格遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求，聚焦核心素養(yǎng)（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析），覆蓋高頻考點(diǎn)（集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)列、三角函數(shù)），難度與高考銜接緊密，既考查基礎(chǔ)能力，又注重思維深度。從題型分布看，選擇題（12題，48分）、填空題（4題，16分）、解答題（6題，56分）的結(jié)構(gòu)與高考一致；從考點(diǎn)占比看，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（約25%）、立體幾何（約15%）、解析幾何（約15%）、概率統(tǒng)計(jì)（約15%）、數(shù)列（約10%）、三角函數(shù)（約10%）、集合與簡(jiǎn)易邏輯（約5%）、向量與復(fù)數(shù)（約5%）為主要考查內(nèi)容，符合高考“重基礎(chǔ)、考能力”的命題導(dǎo)向。二、高頻考點(diǎn)解析（一）選擇題：注重基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)技巧選擇題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度與解題技巧的運(yùn)用，高頻考點(diǎn)包括集合與簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)性質(zhì)、立體幾何三視圖、解析幾何基本性質(zhì)、概率統(tǒng)計(jì)初步。1.集合與簡(jiǎn)易邏輯：數(shù)軸法與定義結(jié)合真題示例（第1題）：設(shè)集合\(A=\{x|x^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x|2x-3>0\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((\frac{3}{2},2)\)C.\((1,2)\)D.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)解析：解集合\(A\)：\(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\)，得\(A=(1,2)\)（二次不等式解集用拋物線圖像判斷，開(kāi)口向上，小于0取中間區(qū)間）；解集合\(B\)：\(2x-3>0\Rightarrowx>\frac{3}{2}\)，得\(B=(\frac{3}{2},+\infty)\)；求\(A\capB\)：用數(shù)軸法取交集，得\((\frac{3}{2},2)\)，選B。解題技巧：集合運(yùn)算優(yōu)先化簡(jiǎn)集合（解不等式），交集用“公共部分”，并集用“所有部分”，補(bǔ)集用“剩余部分”；注意端點(diǎn)值是否包含（如\(<\)不含端點(diǎn)，\(\leq\)含端點(diǎn)）。核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算（解不等式）、邏輯推理（集合關(guān)系判斷）。2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：性質(zhì)與圖像結(jié)合真題示例（第5題）：函數(shù)\(f(x)=x\ln|x|\)的圖像大致是（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)D.無(wú)對(duì)稱(chēng)性解析：先求定義域：\(|x|>0\Rightarrowx\neq0\)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；判斷奇偶性：\(f(-x)=(-x)\ln|-x|=-x\ln|x|=-f(x)\)，故\(f(x)\)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選A。解題技巧：函數(shù)圖像問(wèn)題優(yōu)先判斷定義域、奇偶性、單調(diào)性、極值、特殊點(diǎn)值（如\(x=1,x=-1\)時(shí)的函數(shù)值），用排除法縮小選項(xiàng)范圍。延伸考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）、函數(shù)單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)符號(hào)）、極值（導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)變化）是函數(shù)題的高頻考向，如“求\(f(x)=x^3-2x+1\)在\(x=1\)處的切線方程”，需計(jì)算\(f(1)\)（切點(diǎn)縱坐標(biāo)）和\(f’(1)\)（切線斜率），再用點(diǎn)斜式寫(xiě)方程。3.立體幾何：三視圖與體積計(jì)算真題示例（第7題）：某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3解析：三視圖還原：正視圖（矩形）、側(cè)視圖（矩形）、俯視圖（三角形），根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊”原則，該幾何體為三棱柱（底面是三角形，側(cè)面是矩形）；底面三角形：底邊長(zhǎng)3cm（俯視圖），高4cm（側(cè)視圖寬），面積\(S=\frac{1}{2}\times3\times4=6\)cm2；三棱柱高：正視圖的寬3cm（側(cè)棱長(zhǎng)度）；體積\(V=S\times高=6\times3=18\)cm3，選B。解題技巧：三視圖還原口訣“長(zhǎng)對(duì)正（正視圖與俯視圖長(zhǎng)相等）、寬相等（側(cè)視圖與俯視圖寬相等）、高平齊（正視圖與側(cè)視圖高相等）”；常見(jiàn)幾何體（棱柱、棱錐、圓柱、圓錐）的體積公式要記牢（\(V_{棱柱}=底面積\times高\(yùn))，\(V_{棱錐}=\frac{1}{3}\times底面積\times高\(yùn))）。（二）填空題：注重細(xì)節(jié)，強(qiáng)調(diào)規(guī)范填空題考查計(jì)算準(zhǔn)確性與結(jié)果規(guī)范性，高頻考點(diǎn)包括三角函數(shù)（周期、最值）、向量（數(shù)量積、模長(zhǎng)）、導(dǎo)數(shù)（極值點(diǎn)）、立體幾何（表面積）。真題示例（第13題）：已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\_\_\_\_\)。解析：向量數(shù)量積公式為\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=a_1b_1+a_2b_2\)，代入得\(1\times2+2\times(-1)=2-2=0\)。注意事項(xiàng)：填空題結(jié)果要規(guī)范，如向量數(shù)量積是scalar（標(biāo)量），無(wú)需加向量符號(hào)；區(qū)間用“()”或“[]”（根據(jù)端點(diǎn)是否包含），集合用“{}”或區(qū)間；三角函數(shù)值要化簡(jiǎn)（如\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\)，不要寫(xiě)0.5）。（三）解答題：注重邏輯，強(qiáng)調(diào)步驟解答題考查綜合解題能力，要求步驟完整、邏輯清晰，高頻考點(diǎn)包括數(shù)列（通項(xiàng)、前n項(xiàng)和）、三角函數(shù)（恒等變換、圖像性質(zhì)）、立體幾何（線面位置關(guān)系、體積）、解析幾何（橢圓/拋物線方程、直線與曲線位置關(guān)系）、導(dǎo)數(shù)（單調(diào)性、最值）、概率統(tǒng)計(jì)（分布列、期望）。1.數(shù)列：等差/等比數(shù)列的基本量計(jì)算真題示例（第17題）：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前n項(xiàng)和為\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式；（2）若\(b_n=2^{a_n}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前n項(xiàng)和\(T_n\)。解析：（1）求等差數(shù)列通項(xiàng)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，代入\(a_1=1\)、\(S_3=9\)得：\(3\times1+\frac{3\times2}{2}d=9\Rightarrow3+3d=9\Rightarrowd=2\)；通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。（2）求等比數(shù)列前n項(xiàng)和：由（1）得\(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n\)，故\(\{b_n\}\)是首項(xiàng)\(b_1=2^{1}=2\)、公比\(q=4\)的等比數(shù)列；等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式為\(T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入得：\(T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3}\)。解題規(guī)范：數(shù)列題要明確寫(xiě)出“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”的判斷依據(jù)（如\(b_{n+1}/b_n=4\)為常數(shù)），公式要寫(xiě)完整（如\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)），結(jié)果要化簡(jiǎn)（如\(\frac{2(4^n-1)}{3}\)無(wú)需展開(kāi)）。2.導(dǎo)數(shù)：?jiǎn)握{(diào)性與最值的綜合應(yīng)用真題示例（第21題）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最大值和最小值。解析：（1）求單調(diào)區(qū)間：先求導(dǎo)：\(f’(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；令\(f’(x)=0\)，得極值點(diǎn)\(x=0\)、\(x=2\)；列表判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)：\(x\)\((-\infty,0)\)\(0\)\((0,2)\)\(2\)\((2,+\infty)\)\(f’(x)\)\(+\)\(0\)\(-\)\(0\)\(+\)\(f(x)\)遞增極大值遞減極小值遞增故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)、\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。（2）求區(qū)間最值：計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)與極值點(diǎn)的函數(shù)值：\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+2=-1-3+2=-2\)；\(f(0)=0-0+2=2\)（極大值）；\(f(2)=8-12+2=-2\)（極小值）；比較得：最大值為\(f(0)=2\)，最小值為\(f(-1)=f(2)=-2\)。解題技巧：導(dǎo)數(shù)題的核心是“導(dǎo)數(shù)符號(hào)決定單調(diào)性”，單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)或定義域端點(diǎn)；區(qū)間最值需比較端點(diǎn)值與極值點(diǎn)值（極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，需驗(yàn)證兩側(cè)符號(hào)變化）。3.解析幾何：直線與橢圓的位置關(guān)系真題示例（第20題）：已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦點(diǎn)為\(F(-1,0)\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)。（1）求橢圓\(C\)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)\(F\)作直線\(l\)交橢圓\(C\)于\(A,B\)兩點(diǎn)，若\(|AB|=\frac{16}{5}\)，求直線\(l\)的方程。解析：（1）求橢圓方程：由左焦點(diǎn)\(F(-1,0)\)得\(c=1\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\Rightarrowa=2\)；由\(a^2=b^2+c^2\)得\(b^2=a^2-c^2=4-1=3\)；故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)。（2）求直線方程：設(shè)直線\(l\)的方程為\(x=my-1\)（斜截式避免討論斜率不存在的情況，\(m\)為參數(shù)）；聯(lián)立橢圓方程與直線方程：\(\begin{cases}x=my-1\\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{cases}\)，消去\(x\)得：\(3(my-1)^2+4y^2=12\Rightarrow(3m^2+4)y^2-6my-9=0\)；設(shè)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，由韋達(dá)定理得：\(y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4}\)，\(y_1y_2=\frac{-9}{3m^2+4}\)；弦長(zhǎng)公式\(|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}\)；代入韋達(dá)定理結(jié)果：\(|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{(\frac{6m}{3m^2+4})^2-4\times\frac{-9}{3m^2+4}}=\sqrt{1+m^2}\cdot\sqrt{\frac{36m^2+144(3m^2+4)}{(3m^2+4)^2}}=\sqrt{1+m^2}\cdot\frac{12\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4}=\frac{12(1+m^2)}{3m^2+4}\)；由\(|AB|=\frac{16}{5}\)得：\(\frac{12(1+m^2)}{3m^2+4}=\frac{16}{5}\Rightarrow60(1+m^2)=16(3m^2+4)\Rightarrow60+60m^2=48m^2+64\Rightarrow12m^2=4\Rightarrowm^2=\frac{1}{3}\Rightarrowm=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)；故直線\(l\)的方程為\(x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}y-1\)，整理得\(\sqrt{3}x\mpy+\sqrt{3}=0\)（或?qū)懗尚苯厥絓(y=\sqrt{3}(x+1)\)、\(y=-\sqrt{3}(x+1)\)）。解題技巧：解析幾何題聯(lián)立方程時(shí)，優(yōu)先選擇消去x或y（根據(jù)直線方程形式），用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)、中點(diǎn)坐標(biāo)等；弦長(zhǎng)公式\(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot|y_1-y_2|\)（\(k\)為直線斜率），當(dāng)斜率不存在時(shí)（直線垂直x軸），直接代入橢圓方程求弦長(zhǎng)。三、解題技巧與備考建議1.選擇題：快速準(zhǔn)確是關(guān)鍵排除法：根據(jù)選項(xiàng)特征排除錯(cuò)誤選項(xiàng)（如函數(shù)圖像題，先判斷奇偶性排除非對(duì)稱(chēng)選項(xiàng)）；特殊值法：代入特殊值（如\(x=0,x=1,x=-1\)）驗(yàn)證選項(xiàng)（如不等式題，代入端點(diǎn)值判斷是否成立）；數(shù)形結(jié)合法：畫(huà)出函數(shù)圖像、幾何圖形（如集合的數(shù)軸、函數(shù)的圖像），直觀判斷選項(xiàng)。2.填空題：規(guī)范結(jié)果不丟分定義域優(yōu)先：函數(shù)題先求定義域（如\(\log_x2\)的定義域是\(x>0\)且\(x\neq1\)）；結(jié)果化簡(jiǎn)：三角函數(shù)值、分式、根式要化簡(jiǎn)（如\(\sin\frac{2\pi}{3}=\f