幾何問題解決方案教學(xué)案例一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：掌握將軍飲馬模型的核心邏輯（對稱化折為直），能準(zhǔn)確應(yīng)用模型解決矩形中的動點最短路徑問題。2.過程與方法：通過坐標(biāo)系建模、對稱變換、代數(shù)驗證等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想（折線→直線）、數(shù)形結(jié)合能力（幾何模型→代數(shù)表達(dá)式）。3.情感態(tài)度：通過問題解決的簡潔性（幾何方法優(yōu)于代數(shù)方法），激發(fā)學(xué)生對幾何模型的探究興趣，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與實用性。二、案例背景選取中考高頻考點——矩形中的動點最短路徑問題，題目如下：>矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E為AB邊上一點，AE=1，F(xiàn)為BC邊上的動點，求EF+FD的最小值。該題涉及“動點”“折線距離之和最小”，是將軍飲馬模型的典型應(yīng)用，能有效考查學(xué)生對幾何轉(zhuǎn)化思想的掌握程度。三、問題分析1.模型識別問題要求“折線EF+FD的最小值”，其中F為BC邊上的動點，符合將軍飲馬模型的核心特征：直線同側(cè)兩點到直線上一點的距離之和最小。2.坐標(biāo)系建模為明確各點位置，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)A(0,0)，B(3,0)，C(3,4)，D(0,4)（AB為底邊，BC為右邊）；E在AB上，AE=1，故E(1,0)；F為BC邊上的動點，設(shè)其坐標(biāo)為(3,t)（t∈[0,4]，BC邊方程為x=3）。3.目標(biāo)函數(shù)EF為E(1,0)到F(3,t)的距離，F(xiàn)D為F(3,t)到D(0,4)的距離，因此目標(biāo)函數(shù)為：\[f(t)=\sqrt{(3-1)^2+(t-0)^2}+\sqrt{(0-3)^2+(4-t)^2}=\sqrt{4+t^2}+\sqrt{9+(4-t)^2}\]需最小化f(t)。四、解決方案將軍飲馬模型的關(guān)鍵是“作對稱點，化折為直”，具體步驟如下：步驟1：確定對稱點由于E、D均在BC邊（x=3）的同側(cè)（左側(cè)，x<3），作E關(guān)于BC邊的對稱點E'。對稱點規(guī)律：關(guān)于直線x=a對稱的點，橫坐標(biāo)為2a-x?，縱坐標(biāo)不變；因此，E(1,0)關(guān)于x=3的對稱點E'的坐標(biāo)為(2×3-1,0)=(5,0)。步驟2：化折為直根據(jù)對稱性質(zhì)，EF=E'F（對稱點到直線上任意點的距離相等）。因此，折線EF+FD可轉(zhuǎn)化為直線E'F+FD。由兩點之間線段最短，當(dāng)F為E'D與BC邊的交點時，E'F+FD取得最小值，即E'D的長度。步驟3：計算最短距離與驗證交點直線E'D的方程：E'(5,0)與D(0,4)的直線斜率為\(k=\frac{4-0}{0-5}=-\frac{4}{5}\)，故方程為\(y=-\frac{4}{5}x+4\)；求交點F：BC邊方程為x=3，代入直線方程得\(y=-\frac{4}{5}×3+4=\frac{8}{5}\)，故F點坐標(biāo)為(3,\(\frac{8}{5}\))；計算最小值：E'D的長度為\(\sqrt{(5-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\)。結(jié)論EF+FD的最小值為\(\sqrt{41}\)，當(dāng)F點坐標(biāo)為(3,\(\frac{8}{5}\))時取得最小值。五、拓展應(yīng)用將軍飲馬模型可推廣到多動點、多直線的情況，以下為兩個常見變式：變式1：動點在其他邊>若F為CD邊上的動點，求EF+FD的最小值。解決方案：作E關(guān)于CD邊（y=4）的對稱點E'（對稱規(guī)律：關(guān)于y=b對稱的點，縱坐標(biāo)為2b-y?，橫坐標(biāo)不變）；E(1,0)關(guān)于y=4的對稱點E'為(1,2×4-0)=(1,8)；連接E'D，交CD邊于F，此時EF+FD=E'F+FD=E'D（最小值）；計算E'D長度：\(\sqrt{(1-0)^2+(8-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\)。變式2：多動點折線距離>若F為BC邊上的動點，G為CD邊上的動點，求EF+FG+GD的最小值。解決方案：作E關(guān)于BC邊的對稱點E'(5,0)，作D關(guān)于CD邊的對稱點D'(0,2×4-4)=(0,8)；連接E'D'，交BC邊于F，交CD邊于G；根據(jù)對稱性質(zhì)，EF=E'F，GD=GD'，因此EF+FG+GD=E'F+FG+GD'=E'D'（最小值）；計算E'D'長度：\(\sqrt{(5-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}\)。六、教學(xué)反思1.學(xué)生難點突破對稱點選擇：學(xué)生易混淆“對稱點應(yīng)作在動點所在直線的另一側(cè)”，需通過坐標(biāo)系直觀演示（如E在BC左側(cè)，對稱點E'在BC右側(cè)），強調(diào)“對稱點與原點點關(guān)于動直線對稱”。模型本質(zhì)理解：學(xué)生可能會問“為什么對稱法有效？”，可通過代數(shù)方法（如對目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)）驗證結(jié)果，讓學(xué)生理解“幾何方法與代數(shù)方法的一致性”。例如，對f(t)=√(4+t2)+√(9+(4-t)2)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，解得t=8/5，與幾何方法結(jié)果一致。2.教學(xué)策略優(yōu)化分層教學(xué)：對基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，重點講解“對稱點坐標(biāo)計算”“直線方程求交點”；對基礎(chǔ)較強的學(xué)生，引導(dǎo)其探究“多動點、多直線”的推廣（如變式2）。情境化設(shè)計：將題目與實際生活聯(lián)系（如“快遞員送貨路線最短”“水管鋪設(shè)路徑最短”），讓學(xué)生體會幾何模型的實用性。3.方法遷移引導(dǎo)學(xué)生將模型應(yīng)用于菱形、正方形、梯形等其他四邊形，或角平分線、雙曲線等曲線背景，培養(yǎng)“舉一反三”的能力。七、總結(jié)將軍飲馬模型的核心是“對稱化折為直”，通過將折線距離轉(zhuǎn)化為直線距離，利用“兩點之間線段最短”的公理解決問題。在教學(xué)中，應(yīng)注重“模型識別—