§3.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(一)01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練目錄落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f'(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上__________f'(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上__________f'(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是__________單調(diào)遞增單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系2.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的

；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f'(x)的

；第3步，用f'(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出f'(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.定義域零點(diǎn)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'(x)＝0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.(

)(2)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則一定有f'(x)>0.(

)(3)在(a，b)內(nèi)f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限個(gè)，則f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減.(

)(4)函數(shù)f(x)＝x－sinx在R上是增函數(shù).(

)√√×√2.函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則下列判斷中正確的是A.f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1，3)上單調(diào)遞減C.f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減D.f(x)在(3，＋∞)上單調(diào)遞增√當(dāng)x∈(－3，0)時(shí)，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，4)時(shí)，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，顯然C正確，其他選項(xiàng)錯(cuò)誤.

√

3

謹(jǐn)防四個(gè)易誤點(diǎn)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.(2)不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式.(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在該區(qū)間恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要時(shí)還需對(duì)“＝”進(jìn)行檢驗(yàn).(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f'(x)>0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，f'(x)<0有解.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

(1)(2025·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，f(x)的圖象如圖，則其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象可能為題型一√函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系觀察圖象知，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，f'(x)<0，選項(xiàng)B，D不滿足；當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，然后又單調(diào)遞增，則f'(x)的值先正，再負(fù)，然后又為正，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A滿足，C不滿足.(2)(2024·南京模擬)若定義在R上的函數(shù)y＝x3f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A.[0，1]B.[0，2]C.(－∞，0]D.(－∞，2]√由題圖可得，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，由y＝x3f'(x)≥0得f'(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，由y＝x3f'(x)<0得f'(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)x<0時(shí)，由y＝x3f'(x)>0得f'(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，綜上，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2].(1)由原函數(shù)圖象識(shí)別導(dǎo)函數(shù)圖象的依據(jù)若f(x)單調(diào)遞增，則f'(x)的圖象一定在x軸的上方；若f(x)單調(diào)遞減，則f'(x)的圖象一定在x軸的下方；若f(x)是常函數(shù)，則f'(x)＝0.(2)由導(dǎo)函數(shù)圖象識(shí)別原函數(shù)圖象的依據(jù)若f'(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增，若f'(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減.思維升華

√

不含參函數(shù)的單調(diào)性

√題型二

(0，1)

確定不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可，但應(yīng)注意兩點(diǎn)，一是不能漏掉求函數(shù)的定義域，二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集，要用“逗號(hào)”或“和”隔開.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是A.f(x)＝sin2x

B.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－x

D.f(x)＝－x＋lnx

√(2)已知定義在區(qū)間[0，π]上的函數(shù)f(x)＝x＋2cosx，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

題型三例3

(2025·揚(yáng)州模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx，其中a≠0.試討論f(x)的單調(diào)性.含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).思維升華跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝aex－x，a∈R.試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.因?yàn)閒(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f'(x)＝aex－1，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)＝aex－1<0，則f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)＝0，得x＝－lna，當(dāng)x<－lna時(shí)，f'(x)<0，當(dāng)x>－lna時(shí)，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增.返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)1234567答案ACCBCDBCD(1，＋∞)題號(hào)81112答案－2CD對(duì)一對(duì)答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)f(x)＝2x－cosx在R上是A.增函數(shù)

B.減函數(shù)C.先增后減

D.不確定123456789101112知識(shí)過關(guān)答案∵f(x)＝2x－cosx，∴f'(x)＝2＋sinx>0在R上恒成立，∴f(x)在R上是增函數(shù).√123456789101112答案2.設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f'(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能是√123456789101112答案由y＝f'(x)的圖象可知，當(dāng)x<0和x>2時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<2時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有C中圖象符合要求.123456789101112答案3.函數(shù)f(x)＝x－2ln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(1，＋∞) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案二、多項(xiàng)選擇題5.如圖為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象，給出下列四個(gè)說法，其中正確的是A.f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間B.f(－2)<f(－1)C.f(－1)<f(1)D.f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，在(2，4]上單調(diào)遞減√√123456789101112答案對(duì)于A，由圖象可以看出，f'(x)的符號(hào)是先負(fù)后正，再負(fù)再正，所以函數(shù)f(x)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)x∈[－2，－1]時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以f(－2)>f(－1)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，f'(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(－1)<f(1)，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)x∈(2，4]時(shí)，f'(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，顯然D正確.123456789101112答案

√√√123456789101112答案

三、填空題7.函數(shù)f(x)＝ex－ex的單調(diào)遞減區(qū)間為

.

123456789101112答案f'(x)＝e－ex，令f'(x)<0，解得x>1，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).(1，＋∞)123456789101112答案

f'(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－3，1)，得f'(x)<0的解集為(－3，1)，則－3，1是f'(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.－2123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案