第7章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)7.1數(shù)字基帶信號7.2數(shù)字基帶信號的功率譜7.3無碼間串擾傳輸系統(tǒng)與奈奎斯特(Nyquist)準則7.4部分響應(yīng)系統(tǒng)7.5基帶系統(tǒng)的最佳化7.6基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能7.7均衡器原理7.8眼圖本章仿真實驗舉例習(xí)題數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)模型如圖7.1所示。該模型主要包括碼型變換器、發(fā)送濾波器、信道、接收濾波器、均衡器和取樣判決器等部分。圖7.1數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)模型

7.1數(shù)字基帶信號

7.1.1數(shù)字基帶信號的要求

一般來說，選擇數(shù)字基帶信號碼型時，應(yīng)遵循以下基本原則：

(1)數(shù)字基帶信號應(yīng)不含直流分量，且低頻及高頻分量也應(yīng)盡量地少。在基帶傳輸系統(tǒng)中，往往存在著隔直電容及耦合變壓器，不利于直流及低頻分量的傳輸。此外，高頻分量的衰減隨傳輸距離的增加會快速地增大。另一方面，過多的高頻分量還會引起話路之間的串擾，因此希望數(shù)字基帶信號中的高頻分量也要盡量地少。

(2)數(shù)字基帶信號中應(yīng)含有足夠大的定時信息分量。基帶傳輸系統(tǒng)在接收端進行取樣、判決、再生原始數(shù)字基帶信號時，必須有取樣定時脈沖。一般來說，這種定時脈沖信號是從數(shù)字基帶信號中直接提取的。這就要求數(shù)字基帶信號中含有或經(jīng)過簡單處理后含有定時脈沖信號的線譜分量，以便同步電路提取。實際經(jīng)驗表明，所傳輸?shù)男盘栔胁粌H要有定時分量，而且定時分量還必須具有足夠大的能量，才能保證同步提取電路穩(wěn)定可靠地工作。

(3)基帶傳輸?shù)男盘柎a型應(yīng)對任何信源都具有透明性，即與信源的統(tǒng)計特性無關(guān)。這一點也是為了便于定時信息的提取而提出的。信源的編碼序列中，有時候會出現(xiàn)長時間連“0”的情況，這使接收端在較長的時間段內(nèi)無信號，因而同步提取電路無法工作。為避免出現(xiàn)這種現(xiàn)象，基帶傳輸碼型必須保證在任何情況下都能使序列中“1”和“0”出現(xiàn)的概率基本相同，且不出現(xiàn)長連“1”或“0”的情況。當然，這要通過碼型變換過程來實現(xiàn)。碼型變換實際上是把數(shù)字信息用電脈沖信號重新表示的過程。7.1.2數(shù)字基帶信號的波形

對不同的數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)，應(yīng)根據(jù)不同的信道特性及系統(tǒng)指標要求，選擇不同的數(shù)字脈沖波形。原則上可選擇任意形狀的脈沖作為基帶信號波形，如矩形脈沖、三角波、高斯脈沖及升余弦脈沖等。但實際系統(tǒng)常用的數(shù)字波形是矩形脈沖，這是因為矩形脈沖易于產(chǎn)生和處理。下面就以矩形脈沖為例，介紹常用的幾種數(shù)字基帶信號波形，如圖7.2所示。圖7.2幾種常用的基帶信號波形

1．單極性非歸零碼波形

這是一種最簡單的二進制數(shù)字基帶信號波形。這種波形用正(或負)電平和零電平分別表示二進制碼元的“1”碼和“0”碼，也就是用脈沖的有無來表示碼元的“1”和“0”，如圖7.2(a)所示。

這種波形的特點是脈沖的極性單一，有直流分量，且脈沖之間無空隙，即脈沖的寬度等于碼元寬度，故這種脈沖又稱為不歸零碼(NRZ，NonReturntoZero)。NRZ波形一般用于近距離的電傳機之間的信號傳輸。

2．雙極性非歸零碼波形

在雙極性波形中，用正電平和負電平分別表示二進制碼元的“1”碼和“0”碼，如圖7.2(b)所示。這種波形的脈沖之間也無空隙。從信源的統(tǒng)計規(guī)律來看，“1”碼和“0”碼出現(xiàn)的概率相等，所以這種波形無直流分量。此外，這種波形具有較強的抗干擾能力。雙極性波形在基帶傳輸系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。

3．單極性歸零碼波形

這種波形如圖7.2(c)所示。它的特點是脈沖的寬度(τ)小于碼元的寬度(T)，每個電脈沖在小于碼元寬度的時間內(nèi)總要回到零電平，故這種波形又稱為歸零波形(RZ，ReturntoZero)。

由于歸零波形的碼元間隔明顯，因此有利于定時信息的提取。但單極性RZ波形中仍含有直流分量，且由于脈沖變窄，碼元能量減小，因而在匹配接收時，其輸出信噪比較不歸零波形低。

4．雙極性歸零碼波形

雙極性歸零碼波形中，用正電平和負電平分別表示二進制碼元的“1”碼和“0”碼，但每個電脈沖在小于碼元寬度的時間內(nèi)都要回到零電平，如圖7.2(d)所示。這種波形兼有雙極性波形和歸零波形的特點。

5．差分碼波形(相對碼波形)

差分波形也可以看成是差分碼序列{bn}對應(yīng)的絕對碼波形，差分碼bn與絕對碼an之間的關(guān)系可用以下的編碼方程表示:

(7.1)

式中，為模2和運算符號。

由式(7.1)可以看出，絕對碼an每出現(xiàn)一個“1”碼，差分碼

bn電平變化一次；當an出現(xiàn)“0”碼時，差分碼bn電平與前一碼元bn-1相同?？梢?，bn前后碼元取值的變化代表了原信碼an中的“1”和“0”。由式(7.1)可以導(dǎo)出譯碼方程為

(7.2)

由式(7.2)可看出，譯碼時只要檢查前后碼元電平是否有變化就可以判決發(fā)送的是“1”碼還是“0”碼。

編譯碼電路和波形的變化關(guān)系如圖7.3所示。圖7.3編譯碼電路和波形的變化關(guān)系

6.多電平脈沖波形(多進制波形)

上述各種波形都是二進制波形，實際上還存在多電平脈沖波形，也稱為多進制波形。這種波形的取值不是兩值，而是多值。例如，代表四種狀態(tài)的四電平脈沖波形，每種電平可用兩位二進制碼元來表示，如00代表－3E，01代表－E，10代表+E，11代表+3E，如圖7.2(f)所示。這種波形一般在高速數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中用來壓縮碼元速率，提高系統(tǒng)的頻帶利用率。但在相同信號功率的條件下，多進制傳輸系統(tǒng)的抗干擾性能不如二進制系統(tǒng)。7.1.3常用的基帶傳輸碼型

1．AMI碼

AMI(AlternateMarkInversion)碼又稱為平衡對稱碼。這種碼的編碼規(guī)則是：把碼元序列中的“1”碼變?yōu)闃O性交替變化的傳輸碼+1，－1，+1，－1，…，而碼元序列中的“0”碼保持不變。

例如：

碼元序列：10011010111100

AMI碼：+100－1+10－10+1－1+1－100

對應(yīng)的波形如圖7.4所示。圖7.4

AMI碼波形由AMI碼的編碼規(guī)則可以看出，由于+1和－1各占一半，因此，這種碼中無直流分量，且其低頻和高頻分量也較少，信號的能量主要集中在fT/2處，其中fT為碼元速率。AMI碼的功率譜如圖7.5所示。此外，AMI碼編碼過程中，將一個二進制符號變成了一個三進制符號，即這種碼脈沖有三種電平，因此把這種碼稱為偽三電平碼，也稱為1B/1T碼型。圖7.5

NRZ、AMI碼及HDB3碼的功率譜

2.HDB3碼

HDB3碼的編碼規(guī)則如下：

(1)把碼元序列進行AMI編碼，然后檢查AMI碼中連0的個數(shù)，如果沒有4個以上(包括4個)連0串，則這時的AMI碼就是HDB3碼。

(2)如果出現(xiàn)4個以上連0串，則將每4個連0小段的第4個0變成與其前一個非0碼(+1或－1)相同的碼。顯然，這個碼破壞了“極性交替反轉(zhuǎn)”的規(guī)則，因而稱其為破壞碼，用符號V表示(即+1記為+V，－1記為－V)。

(3)為了使附加V碼后的序列中仍不含直流分量，必須保證相鄰的V碼極性交替。這一點在相鄰的V碼之間有奇數(shù)個非0碼時是能得到保證的，但當相鄰的V碼之間有偶數(shù)個非0碼時，則得不到保證。這時再將該連0小段中的第1個0變成+B或－B，B的極性與其前一個非0碼相反，并讓后面的非零碼從V碼后開始極性交替變化。

其中，第1個V碼和第2個V碼之間有2個非0碼(偶數(shù))，故將第2個4連0小段中的第1個0變成－B；第2個V碼和第3個V碼之間有1個非0碼(奇數(shù))，不需變化。此外還可看出，HDB3碼中，V碼與其前一個非0碼(+1或－1)極性相同，起破壞作用；相鄰的V碼極性交替；除V碼外，包括B碼在內(nèi)的所有非0碼極性交替。

HDB3碼的波形如圖7.6所示。圖7.6

HDB3碼波形

3.曼徹斯特(Manchester)碼

曼徹斯特碼又稱數(shù)字雙相碼或分相碼，其波形如圖7.7(b)所示，圖7.7(a)為對應(yīng)的NRZ碼波形。曼徹斯特碼用一個周期的方波來代表碼元“1”，而用它的反相波形來代表碼元“0”。這種碼在每個碼元的中心部位都發(fā)生電平跳變，因此有利于定時同步信號的提取，而且定時分量的大小不受信源統(tǒng)計特性的影響。曼徹斯特碼中，由于正負脈沖各占一半，因此無直流分量，但這種碼占用的頻帶增加了一倍。曼徹斯特碼適合在較短距離的同軸電纜信道上傳輸。圖7.7曼徹斯特碼和CMI碼波形

4.差分曼徹斯特(DifferentialManchester)碼

差分曼徹斯特碼與曼徹斯特碼的編碼規(guī)則相同，在每個碼元的中心部位都發(fā)生電平跳變；不同之處在于用碼元開始處有無跳變來表示碼元“0”和“1”，即碼元開始處有跳變表示“0”，碼元開始處無跳變表示“1”。同樣在差分曼徹斯特碼中，由于正負脈沖各占一半，因此無直流分量，但頻帶增加了一倍。

5.CMI碼

CMI碼稱為傳號反轉(zhuǎn)碼。在CMI碼中，“1”碼(傳號)交替地用正、負電平脈沖來表示，而“0”碼則用固定相位的一個周期方波表示，如圖7.7(c)所示。CMI碼和曼徹斯特碼相似，不含有直流分量，且易于提取同步信號。CMI碼的另一個特點是具有一定的誤碼檢測能力。這是因為，CMI碼中的“1”碼相當于用交替的“00”和“11”兩位碼組表示，而“0”碼則固定地用“01”碼組表示。正常情況下，序列中不會出現(xiàn)“10”碼組，且“00”和“11”碼組連續(xù)出現(xiàn)的情況也不會發(fā)生，這種相關(guān)性可以用來檢測因干擾而產(chǎn)生的部分錯碼。

6.4B/3T碼

4B/3T碼是1B/1T碼的改進型，它把4個二進制碼元變換為3個三進制碼元。顯然，在相同信息速率的條件下，4B/3T碼的碼元傳輸速率要比1B/1T碼的低，因而提高了系統(tǒng)的傳輸效率。

4B/3T碼的變換過程中需要同步信號，變換電路比較復(fù)雜，故一般較少采用。有關(guān)4B/3T碼的編碼規(guī)則，讀者可參考有關(guān)資料。

圖7.8為數(shù)字序列01001100011的5種編碼波形。圖7.8數(shù)字序列的5種編碼波形7.2數(shù)字基帶信號的功率譜

下面分析二進制數(shù)字基帶脈沖序列的功率譜。二進制數(shù)字基帶脈沖序列波形如圖7.9所示。該隨機序列可表示為

(7.3)

式中:

(7.4)

這里g1(t)和g2(t)分別表示碼元符號的0和1，T表示碼元的寬度。圖7.9中，雖然g1(t)和g2(t)都畫成了三角形(高度不同)，但實際上g1(t)和g2(t)可以是任意脈沖。圖7.9二進制數(shù)字基帶脈沖序列波形一般來說，對廣義平穩(wěn)隨機過程的典型分析方法是用隨機過程的相關(guān)函數(shù)去求過程的功率譜。但圖7.9中所示的二進制數(shù)字基帶脈沖序列并不是嚴格的廣義平穩(wěn)隨機過程。對該隨機序列的功率譜分析采用另一種簡便的方法：根據(jù)功率譜的定義，先截取序列的有限項，然后用求極限的方法得到序列的功率譜密度函數(shù)Ps(f)，即有：

(7.5)

(7.6)

式中，SN(f)為截斷信號sN(t)的頻譜密度函數(shù)。觀察隨機序列s(t)可以發(fā)現(xiàn)，它由兩部分組成：一部分為序列的統(tǒng)計平均分量(又稱為穩(wěn)態(tài)分量)μ(t)，另一部分為交變分量(變動部分)v(t)。μ(t)分量取決于每個碼元內(nèi)出現(xiàn)g1(t)和g2(t)的概率加權(quán)平均。每個碼元的統(tǒng)計平均波形μn(t)是相同的，所以穩(wěn)態(tài)分量μ(t)是周期信號，周期為碼元的寬度T。交變分量v(t)取決于g1(t)和g2(t)隨機出現(xiàn)的情況，它可用序列信號與穩(wěn)態(tài)分量的差表示，即統(tǒng)計平均分量μ(t)為

(7.7)

式中，第n個碼元μn(t)為

(7.8)交變分量v(t)為

(7.9)

式中，第n個碼元vn(t)為

(7.10)由式(7.4)及式(7.8)，可將式(7.10)寫為

(7.11)于是序列的交變分量v(t)可寫為

(7.12)

式中:

(7.13)下面分別計算穩(wěn)態(tài)分量μ(t)和交變分量v(t)的功率譜。由于穩(wěn)態(tài)分量μ(t)是周期為T的周期信號，所以其功率譜可以直接寫為

(7.14)

式中:G1(f)和G2(f)分別為g1(t)和g2(t)的傅立葉變換;fT=1/T為碼元速率。對于交變分量v(t)，先考慮其有限項vN(t)

(7.15)

對式(7.15)求傅立葉變換得:

(7.16)

式中，G1(f)和G2(f)分別為g1(t)和g2(t)的傅立葉變換。接下來計算VN(f)的模平方的統(tǒng)計平均值E［|VN(f)|2］。由式(7.16)可得：

(7.17)由于只有bm、bn是隨機變量，因此式(7.17)可寫為

(7.18)

由式(7.13)可知，當m=n時，有

這時有：

(7.19)當m≠n時，有：

這時有：

(7.20)由以上計算可見，由于當m≠n時，E［bm·bn］=0，所以式(7.18)的值只在m=n時存在，即

(7.21)由式(7.6)可得到交變分量v(t)的功率譜Pv(f)為

(7.22)將式(7.22)與式(7.14)相加，得到二進制隨機數(shù)字基帶脈沖序列的單邊功率譜密度函數(shù)Ps(f)為

(7.23)式中,第一、二項為離散分量，第三項為連續(xù)分量。由此可見，隨機基帶序列的功率譜中包括離散譜和連續(xù)譜兩部分，其中離散譜可直接提取作為時鐘定時信號使用。對連續(xù)譜來說，由于代表碼元符號的g1(t)和g2(t)不能完全相同，則G1(f)≠G2(f)，因而連續(xù)譜總是存在的。對離散譜來說，一般情況下，它也是存在的，但在有些情況下可能不存在。例如，當g1(t)和g2(t)出現(xiàn)的概率相等，即P=1－P=1/2，且采用雙極性脈沖，即g1(t)=－g2(t)=g(t)，G1(f)=－G2(f)=G(f)

時，式(7.23)可寫為

(7.24)

式(7.24)說明，雙極性全占空隨機序列中不含有離散分量，因而無法直接提取時鐘定時信號。此時必須將雙極性信號整流，并處理成歸零脈沖，才可以進行時鐘定時信號的提取。7.3無碼間串擾傳輸系統(tǒng)與

奈奎斯特(Nyquist)準則

7.3.1基帶系統(tǒng)傳輸特性及碼間串擾

根據(jù)圖7.1所示的基帶傳輸系統(tǒng)模型，圖中基帶傳輸系統(tǒng)總的傳輸特性H(ω)可寫為

(7.25)

相應(yīng)地，基帶傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

(7.26)設(shè)系統(tǒng)輸入的二進制隨機序列為{an}，an的取值為0、1或－1、+1。為便于分析，把序列對應(yīng)的輸入信號波形x(t)表示為

(7.27)

即輸入信號是由an決定的一系列沖激函數(shù)。這樣基帶傳輸系統(tǒng)的輸出(接收濾波器的輸出)信號

(7.28)考慮信道加性噪聲n(t)的影響后，基帶傳輸系統(tǒng)總的輸出波形y(t)為

(7.29)

式中，nR(t)為加性噪聲n(t)通過接收濾波器后輸出的帶限噪聲。

y(t)被送入取樣判決電路，并由該電路確定an的取值。取樣時刻為tk=kT+t0，其中，k為整數(shù)，t0為可能的時間偏移(時偏)。y(t)在t=tk時刻的取樣值是判決an取值的依據(jù)，將tk=kT

(設(shè)t0=0)代入式(7.29)中，有

(7.30)式中，akh(0)為第k個碼元ak在接收判決時刻的取值，是判決ak取值的依據(jù)；是接收信號中除第k個碼元以外的其他碼元產(chǎn)生的波形在t=tk時刻的總和，它對ak的正確判決產(chǎn)生的干擾稱為碼間串擾(ISI，InterSymbolInterference)，ISI的大小取決于系統(tǒng)的傳輸特性H(ω)；

nR(kT)是隨機噪聲在t=tk時刻對第k個碼元的干擾，它取決于信道加性噪聲及接收濾波器的特性。7.3.2無碼間串擾系統(tǒng)的特性

滿足無碼間串擾條件的系統(tǒng)稱為理想基帶傳輸系統(tǒng)。為了設(shè)計理想基帶傳輸系統(tǒng)，先不考慮噪聲的影響，即假設(shè)nR(t)為零。由式(7.30)可看出，系統(tǒng)無碼間串擾的條件應(yīng)為

(7.31)即系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足

(7.32)

式(7.32)說明，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)除t=0處不為零外，在其他所有抽樣時刻上的取值都為零。下面就由這一條件導(dǎo)出無碼間串擾的基帶傳輸系統(tǒng)特性H(ω)。由于:

因此有:

(7.33)

將式(7.33)用分段積分來表示，每段寬度為2π/T，則有:

(7.34)對式(7.34)作變量代換，令，則式(7.34)變?yōu)?/p>

(7.35)式中，i=0,±1,±2。由式(7.35)可見，h(kT)是

在區(qū)間［－π/T,π/T］上的反變換。此外，由傅立葉變換關(guān)系可知，h(kT)是頻域函數(shù)的指數(shù)型傅立葉級數(shù)的系數(shù)，即有:

(7.36)將式(7.32)中要求的條件代入上式，得到無碼間串擾時基帶傳輸系統(tǒng)的特性為

(7.37)

或

(7.38)令等效低通傳輸特性Heq(ω)為

(7.39)式中，的物理意義為將H(ω)頻移

后再相加。式(7.39)表明,若H(ω)頻移相加后能在區(qū)間［－π/T,π/T］內(nèi)得到某一常數(shù)(不一定為T)，則這樣的基帶傳輸系統(tǒng)可以完全消除碼間串擾(碼元速率為1/T)。以上結(jié)論給出了一種檢驗H(ω)是否會產(chǎn)生碼間串擾的方法，但并沒有給出構(gòu)造H(ω)的手段。7.3.3奈奎斯特第一準則(抽樣值無失真條件)

最簡單的一種就是H(ω)為理想低通傳輸系統(tǒng)，即

(7.40)

式中，Heq(ω)對應(yīng)于式(7.39)取i=0的情況，即按式(7.39)的條件去檢驗H(ω)時，H(ω)是符合無碼間串擾傳輸特性要求的。H(ω)如圖7.10(a)所示，圖(b)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。圖7.10理想低通傳輸系統(tǒng)7.3.4奈奎斯特第二準則(轉(zhuǎn)換點無失真條件)

轉(zhuǎn)換點無失真條件的含義是：給定電平對接收信號波形限幅，使產(chǎn)生的方脈沖的寬度正好等于碼元寬度，被判決信號與限幅電平相等的時刻為轉(zhuǎn)換點，如在轉(zhuǎn)換點(如)處符號間不影響(見圖7.11)，則稱轉(zhuǎn)換點無失真條件。接收碼元的再生波形如圖7.12所示。圖7.11轉(zhuǎn)換點無失真圖7.12接收碼元的再生碼元波形再生波形碼元為

利用傅立葉變換可得，無失真的頻域表達式為

(7.41)若，G(ω)=0，則轉(zhuǎn)換不失真條件為

(7.42)7.3.5奈奎斯特第三準則(脈沖波形面積保持不變條件)

脈沖波形面積保持不變的含義是：如果接收波形在一個碼元寬度內(nèi)的面積正比于發(fā)送矩形脈沖的值，而其他碼元發(fā)送的脈沖對此碼元寬度內(nèi)的面積的貢獻為零，則接收端也能無失真地恢復(fù)原始信號。為此，要求傳輸函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為

(7.43)利用傅立葉反變換可求出s(t)，再求出碼元寬度(間隔)

(

)內(nèi)的面積(積分)A，可得:

(7.44)

式(7.44)也證明了第三準則的正確性。關(guān)于奈奎斯特準則關(guān)系式的詳細分析見7.4節(jié)。7.3.6無碼間串擾的滾降系統(tǒng)特性

根據(jù)式(7.39)中的條件，考察定義在［－2π/T,2π/T］區(qū)間內(nèi)的H(ω)。把H(ω)按區(qū)間［－π/T,π/T］的寬度分為三段，頻移后在區(qū)間［－π/T,π/T］內(nèi)疊加，即在式(7.39)中取i=0,±1。這時有

(7.45)令式(7.45)滿足以下條件:

(7.46)

則這樣的H(ω)是能消除碼間串擾的。以上疊加過程如圖7.13(a)所示。圖中的H(ω)具有升余弦滾降特性，這里“滾降”是指頻譜的過渡特性。顯然，滿足式(7.42)特性要求的H(ω)不是唯一的。事實上，只要H(ω)具有以|ω|=π/T軸為中心的奇對稱特性，那么這樣的基帶傳輸系統(tǒng)就滿足無碼間串擾條件，如圖7.13(b)所示。圖7.13

Heq(ω)特性的構(gòu)成由圖7.13(b)可看出，圖中的H(ω)可視為Heq(ω)和H1(ω)疊加的結(jié)果，H1(ω)具有以|ω|=π/T軸為中心的奇對稱特性。設(shè)H(ω)超出π/T的帶寬部分為ω1，定義描述H(ω)滾降程度的滾降系數(shù)α為

(7.47)可見，滾降系數(shù)是小于等于1的數(shù)。圖7.14畫出了α=0,

0.5,1時無碼間串擾的升余弦滾降特性及對應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)。滾降系數(shù)為α的升余弦特性H(ω)為

(7.48)圖7.14升余弦滾降特性及其沖激響應(yīng)波形其沖激響應(yīng)h(t)可表示為

(7.49)

當滾降系數(shù)α=1時，有

(7.50)其沖激響應(yīng)h(t)可表示為

(7.51)由圖7.14可看出，當α=0時，為理想低通特性；當α=1時，為式(7.50)表示的升余弦特性，這時沖激響應(yīng)波形h(t)除了在t=0時不為零外，在t=kT的其他抽樣時刻的取值均為零，消除了碼間串擾。不僅如此，當α=1時，h(t)波形在各采樣點之間又增加了一個零點，這樣可使“拖尾”衰減得更快，從而有利于減小由于定時誤差造成的碼間串擾。由式(7.49)中h(t)的表示式可看出，具有升余弦特性的系統(tǒng)沖激響應(yīng)是按1/t3衰減的，這比理想低通系統(tǒng)的(按1/t)要快得多。但是系統(tǒng)的這種優(yōu)點是用降低頻帶利用率換來的。由圖7.14可看出，升余弦系統(tǒng)的頻譜帶寬為B=(1+α)/2T(Hz)，比理想低通系統(tǒng)帶寬大，由于系統(tǒng)最高無碼間串擾的傳輸速率為R=1/T(Baud)，因此系統(tǒng)的最高頻帶利用率為

(7.52)

式中，當α=0時，ρ=2Baud/Hz；當α=1時，ρ=1Baud/Hz。雖然升余弦滾降特性系統(tǒng)的頻帶利用率是理想系統(tǒng)的一半，但這種系統(tǒng)的確是一種滿足無碼間串擾條件的可實現(xiàn)的系統(tǒng)。(Baud/Hz)

7.4部分響應(yīng)系統(tǒng)

7.4.1余弦譜傳輸特性

為了得到部分響應(yīng)波形，間隔為T(碼元間隔)的兩個奈奎斯特脈沖疊加得到的合成波形為

(7.53)

g(t)稱為部分響應(yīng)波形，其頻譜特性為

(7.54)

g(t)及G(ω)如圖7.15所示。圖7.15余弦譜特性及響應(yīng)由圖7.15可見，g(t)波形的振蕩衰減加快了，這是因為相距一個碼元的奈奎斯特脈沖的振蕩正負相反且互相抵消；G(ω)具有滾降的余弦譜特性。

從圖7.15中還可以看出，g(t)在各取樣點(取樣間隔為T)上的值為

(7.55)由以上分析可知：

(1)g(t)的“尾巴”按1/t2的速度變化，比sinx/x波形收斂快，衰減大。

(2)若用g(t)作為傳輸波形，且碼元間隔為T，則在抽樣時刻僅發(fā)生傳輸碼元與其前后碼元相互串擾，而與其他碼元不發(fā)生串擾，如圖7.16所示。由于這種串擾是確定的，因此可以消除其影響，使系統(tǒng)成為無碼間串擾的系統(tǒng)，這就是可控碼間串擾。

(3)由于余弦譜特性的帶寬，而傳輸速率為，因而這種系統(tǒng)的頻帶利用率達到了2Baud/Hz。圖7.16可控碼間串擾示意圖但是要注意，這種系統(tǒng)會造成誤碼擴散，即前一碼元判錯后，會影響后幾個碼元的判決(直到連“0”碼出現(xiàn)為止)。例如，設(shè)發(fā)送碼元為ak，接收碼元為ck，則有:

ck=ak+ak－1或ak=ck－ak－1

(7.56)

顯然，若前一碼元ak－1判錯，則會使ak也出現(xiàn)錯判。

為防止誤碼擴散，可進行預(yù)編碼。所謂預(yù)編碼，是指在發(fā)送端將ak變?yōu)閎k，使

(7.57)然后發(fā)送bk,而不是ak，這樣接收碼元為

ck=bk+bk－1

(7.58)

接收端對收到的ck進行模2和運算，就可以恢復(fù)ak，即

(7.59)

式(7.59)說明，接收端不必經(jīng)過求差運算就可得到ak，因而不會造成誤碼擴散。通常把式(7.57)稱為預(yù)編碼，而把式(7.58)稱為相關(guān)編碼。7.4.2正弦譜特性

余弦譜特性有一個明顯的缺陷，就是信號波形中含有直流分量，這是數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)中不希望的。但可以用類似的方法構(gòu)成不含有直流分量的部分響應(yīng)波形。將間隔為2T的兩個奈奎斯特脈沖相減，可得到合成波形為

(7.60)其頻譜特性為

(7.61)

g(t)及G(ω)如圖7.17所示。由圖7.17可見,G(ω)具有滾降的正弦譜特性，且G(0)=0，因而g(t)波形中不含直流分量；碼元波形g(t)僅對隔一個碼元有串擾，對其他碼元無串擾，但由于串擾是確定的，因而可以消除其影響；系統(tǒng)的頻帶利用率同樣可達到2Baud/Hz。圖7.17正弦譜特性及響應(yīng)7.4.3部分響應(yīng)系統(tǒng)特性

上面介紹了余弦譜和正弦譜特性的構(gòu)成方法，將其推廣為更多個不同間隔的奈奎斯特脈沖的加權(quán)組合，就得到部分響應(yīng)波形的一般形式，其表示式為

(7.62)式(7.62)為N+1個相繼延時出現(xiàn)的奈奎斯特脈沖的加權(quán)組合，其中Ri為加權(quán)系數(shù)，取整數(shù)值。式(7.62)所示的部分響應(yīng)波形的頻譜為

(7.63)

根據(jù)加權(quán)系數(shù)Ri的不同，可以得到不同種類的部分響應(yīng)波形。表7.1中列出了常用的五類部分響應(yīng)波形及其頻譜。為便于比較，將理想的sinx/x波形也列入表7.1中，稱為0類響應(yīng)波形。實際系統(tǒng)中，Ⅳ類部分響應(yīng)波形的應(yīng)用最廣。表7.1部分響應(yīng)波形及其頻譜表7.1中共有五類部分響應(yīng)波形可用，但常用的只有兩類，即第一類和第四類。第一類就是前面講過的余弦特性響應(yīng)，即表中類型Ⅰ，R0=1，R1=1。第四類是表中類型Ⅳ，

R0=1，R1=0，R2=－1。第四類部分響應(yīng)的波形函數(shù)為

(7.64)其頻譜為

(7.65)設(shè)發(fā)送數(shù)字序列為{ak}，則接收端在t=kT時刻的抽樣值{ck}為

(7.66)

式(7.66)說明，ck不僅與ak有關(guān)，而且與ak以前的N個碼元有關(guān)。這就是相關(guān)編碼的含義。加權(quán)系數(shù)Ri不同，會產(chǎn)生不同的編碼(注意，在這里會出現(xiàn)多電平波形)。為了消除接收端的誤碼擴散，發(fā)送端也應(yīng)采取預(yù)編碼，把ak變換為bk后再發(fā)送。編碼規(guī)則如下：

(模L)(7.67)

式中，L為ak和bk所取的多電平數(shù)目。然后將預(yù)編碼后的{bk}序列進行相關(guān)編碼，得:

(算術(shù)加)

(7.68)

接收端對ck作模L運算，則有:

(7.69)

式中，［·］modL為模L運算符號。由此可見，通過預(yù)編碼—相關(guān)編碼—模L運算后可以消除誤碼擴散。7.4.4常用部分響應(yīng)系統(tǒng)舉例

1.第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)

設(shè)輸入的二進制碼元序列為{ak}，ak的取樣值為+1及－1,當發(fā)送碼元ak時，接收波形g(t)在相應(yīng)抽樣時刻上獲得的值為ck，由表7.1和式(7.66)可知ck=ak+ak－1。由ck的表達式可得

ak=ck－ak－1。式中,ak－1表示ak前一碼元在第k個時刻上的抽樣值。不難驗證,ck將可能取０、±２三個數(shù)值。如果ak－1碼元已經(jīng)判定，則接收端根據(jù)收到的ck再減去ak－1便可得到ak的取值。雖然上述判決方法在原理上是可行的，但可能會造成錯誤的傳播。其原因是只要有一個碼元發(fā)生錯誤，這種錯誤就會相繼影響以后的碼元，這種現(xiàn)象稱為誤碼擴散。

為了解決這一問題，通常在發(fā)送端采用預(yù)編碼。圖7.18(a)給出了采用預(yù)編碼第一類部分響應(yīng)編碼的原理圖。圖7.18預(yù)編碼第一類部分響應(yīng)編碼的原理圖與第一類部分響應(yīng)系統(tǒng)的實際框圖

(1)預(yù)編碼：輸入ak經(jīng)過預(yù)編碼變?yōu)閎k序列。其規(guī)則是：

，mod2即模2運算。ak有0、1兩種狀態(tài)，用模2運算后，bk也只有兩種狀態(tài)。

(2)相關(guān)編碼：即第一類部分響應(yīng)編碼。其規(guī)則是：

。由于bk有兩種狀態(tài)0、1，所以ck有三種電平狀態(tài)0、1、2。又因為，所以接收端在收到ck后，只要作模2處理，即,

就能恢復(fù)ak，此時不需要預(yù)先知道ak－1，也不存在誤碼擴散問題。

【例7.1】設(shè){ak}為0

0

1

1

1

0

0

1

0

1,則有圖7.18(a)給出了第一類部分響應(yīng)編碼的原理圖，實際系統(tǒng)還要考慮信道和噪聲特性，如圖7.18(b)所示。圖7.18(b)中除增加了發(fā)送和接收低通濾波器(截止頻率均為基帶信號帶寬)外，還將圖(a)中兩個時延電路合為一個簡化電路。

第一類部分響應(yīng)編碼的優(yōu)點是可實現(xiàn)2Baud/Hz的碼速，且能消除碼間干擾；缺點是ck序列由一個二元序列bk及其延遲序列bk－1相加而成，又稱為雙二元編碼，接收的ck是三電平信號，抗干擾性能比二電平系統(tǒng)要差。

2.第四類部分響應(yīng)系統(tǒng)

第一類部分響應(yīng)信號的頻譜是余弦型的，其對應(yīng)的隨機碼功率譜密度也是這樣的形狀，其頻率越低，功率譜密度越大。對于某些低頻特性不好的信道來說，傳輸這樣的信號會帶來信號失真。另外，如果基帶信號還要經(jīng)過單邊帶調(diào)制，則要求基帶信號的低頻分量越小越好，因此，需要得到一個正弦型的頻譜信號。第四類部分響應(yīng)編碼技術(shù)就可以達到這樣的目標。

第四類部分響應(yīng)信號的頻譜是正弦型的，其實現(xiàn)方法是將時間上錯開2T的兩個sinx/x波形相減作為基本傳輸信號。第四類部分響應(yīng)的波形函數(shù)g(t)和頻譜G(ω)見式(7.64)和式(7.65)。圖7.19給出了第四類部分響應(yīng)編碼系統(tǒng)的方框圖。圖7.19第四類部分響應(yīng)編碼系統(tǒng)的方框圖圖7.19中從①點到②點實現(xiàn)相關(guān)編碼，相關(guān)編碼在編碼后與截止頻率為的低通濾波器配合發(fā)送到信道。系統(tǒng)對沖激脈沖δ(t)的響應(yīng)為

相關(guān)編碼部分的頻譜即為表7.1中Ⅳ類部分響應(yīng)的頻譜。預(yù)編碼的規(guī)則為

ak與bk有0、1兩種狀態(tài)，用0、1兩種電平表示。

相關(guān)編碼規(guī)則為

ck有三種電平：+1、0、－1。由預(yù)編碼規(guī)則可見，當ak=0時，bk與bk－2相同；當ak=1時，bk與bk－2不同。因此：

接收端根據(jù)上式判決即可由ck恢復(fù)ak。

【例7.2】設(shè){ak}為0

0

1

1

1

0

0

1

0

1,則7.5基帶系統(tǒng)的最佳化

7.5.1理想信道下的最佳基帶系統(tǒng)

理想信道是指無限寬的均勻信道，即GC(ω)=1。由于基帶系統(tǒng)的總特性為

因此理想信道條件下的系統(tǒng)總特性為

(7.70)前面已講過，在加性高斯白噪聲的條件下，為使輸出信噪比最大，必須采用匹配濾波器接收，因此有：

(7.71)

若令k=1，則

(7.72)

由式(7.72)可得:

(7.73)由于滿足式(7.73)的相位是可以任意選擇的，因此只要選擇合適，可以使

(7.74)

將式(7.74)代入式(7.70)可得:

(7.75)

可見在理想信道下，最佳基帶系統(tǒng)滿足,

即為收發(fā)等分的系統(tǒng)，這簡化了基帶系統(tǒng)的設(shè)計。這樣的H(ω)當然應(yīng)首先滿足無串擾的條件。例如，對常采用的升余弦譜特性，可以用收發(fā)均為余弦譜特性來完成最佳設(shè)計，這時有：

(7.76)

因此有。7.5.2非理想信道下的最佳接收

設(shè)H(ω)=GT(ω)GC(ω)GR(ω)，滿足無串擾特性Heq(ω):

(7.77)

式中，k是濾波器的階次，H(k)(ω)是H(ω)按2π/T所劃分的各段，即

(7.78)由于H(ω)由式(7.77)決定，所以接收濾波器的輸出波形是一定的。在給定輸入信號功率的情況下，要使接收濾波器輸

出最大信噪比，必須使接收濾波器的輸出噪聲最小。設(shè)信道

中存在著白噪聲，其功率譜密度為n0/2，則輸出噪聲的平均功率σ2為

(7.79)式中，GR(k)(ω)受式(7.77)的約束。適當設(shè)計GR(ω)以使σ2最小，則要使式(7.79)對GR(k)(ω)求導(dǎo)，找出使dσ2/dGR(k)(ω)=0的值。用變分法求泛函值得到:

(7.80)

式中:

(7.81)由式(7.81)可以看出，非理想信道下的最佳接收濾波器特性由兩部分構(gòu)成：一部分為［GT(k)(ω)GC(k)(ω)］*，是接收端輸入信號的匹配濾波器；另一部分為T(ω)，是與發(fā)送濾波器、信道特性有關(guān)的均衡器，用它來保證消除碼間串擾。這樣的系統(tǒng)可以達到最佳性能。此系統(tǒng)如圖7.20所示。圖7.20非理想信道下的最佳接收系統(tǒng)從式(7.81)中可以看到，T(ω)與GR(k)(ω)無關(guān)，不管在GR(ω)的哪一段上，T(ω)都是相同的，所以它是一個周期函數(shù)，周期為2π/T。T(ω)可展開成傅立葉級數(shù)，即

(7.82)

T(ω)的沖激響應(yīng)hr(t)為

(7.83)

hr(t)是一系列間隔為T的δ(·)函數(shù)之和，而加權(quán)系數(shù)cn是T(ω)展開式的傅立葉系數(shù)。從式(7.83)中可看出，hr(t)可以用(2N+1)個抽頭的橫向濾波器來逼近，而抽頭的增益加權(quán)系數(shù)為cn，如圖7.21所示。當然，N的取值越大，濾波器的節(jié)數(shù)越多，逼近性能越好。圖7.21

T(ω)(橫向濾波器)的實現(xiàn)原理圖

7.6基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

7.6.1理想系統(tǒng)的抗噪聲性能

這里的理想系統(tǒng)，是指無碼間串擾的基帶系統(tǒng)，不是最佳系統(tǒng)。在這種情況下，如果信道中無噪聲干擾，則接收端會無誤地接收信號。但實際系統(tǒng)中總存在干擾，從而會在接收端造成誤碼，如圖7.22所示。其中，圖(a)是既無碼間串擾又無噪聲影響的雙極性碼波形；圖(b)為受信道干擾后接收端的波形，在由判決電路判決時造成了誤碼，圖中誤碼用0*、1*表示。圖7.22無噪和有噪時判決電路輸入波形和判決輸出設(shè)信道中存在著白高斯噪聲，其均值為0，方差為σ2n，則噪聲的一維概率密度函數(shù)f(x)為

(7.84)

由圖7.22可知，在以下兩種情況下會發(fā)生誤碼(設(shè)信號幅度為A，最佳判決電平值為0)：

(1)發(fā)“1”碼時，若抽樣判決時刻噪聲的瞬時值x<－A，則誤判為“0”；

(2)發(fā)“0”碼時，若抽樣判決時刻噪聲的瞬時值x>+A，則誤判為“1”。假設(shè)發(fā)“1”和發(fā)“0”的概率分別為P(1)和P(0),且P(1)+P(0)=1。

發(fā)“1”碼時，誤判為“0”碼的概率為

發(fā)“0”碼時，誤判為“1”碼的概率為因而，系統(tǒng)的平均誤碼率Pe為

(7.85)由于一維概率密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以式(7.85)中的兩個積分相同，故

(7.86)

式中:r=A2/2σn2為輸入信噪比；erfc(x)=1－erf(x)為互補誤差函數(shù)，為誤差函數(shù)。由于互補誤差函數(shù)erfc(·)是單調(diào)減函數(shù)，所以r越大，Pe越小。

如果是單極性碼，則判決電平為A/2，這時Pe為

(7.87)

單極性碼在判決電平為d=A/2時的誤碼率關(guān)系如圖7.23所示。圖中，陰影部分為誤碼概率。圖7.23單極性碼的誤碼率關(guān)系若為雙極性碼，則判決電平為，這時Pe為

(7.88)

雙極性碼在判決電平時的誤碼率關(guān)系如圖7.24所示。圖中，Ps,－A與Ps,+A是將“1”錯判為“0”的概率，Ps,0是將“0”錯判為“1”的概率。

比較式(7.87)和式(7.88)可知，在信噪比r一樣的情況下，雙極性碼的誤碼率低。圖7.24雙極性碼的誤碼率關(guān)系7.6.2最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

1.理想信道下最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

下面先介紹無碼間串擾基帶系統(tǒng)H(ω)的一個特點，即

(7.89)

該結(jié)論可用基帶升余弦系統(tǒng)來驗證(見習(xí)題7-11)。在理想信道下，，利用式(7.89)，則有:

(7.90)接下來計算最佳系統(tǒng)的誤碼率。由于誤碼率總是用接收端輸入信號的平均功率和噪聲功率之比來表示的，所以這里先討論信號平均功率的計算。設(shè)發(fā)送端序列{an}有L種電平(L進制)，各電平間相鄰間隔為2d，各電平出現(xiàn)的概率相等，且相互獨立。令L種電平為±d,±3d,…,±(L－1)d,則這時輸入信號序列電平的均方值an2為

(7.91)設(shè)信號碼元寬度為T，波形為gT(t)(gT(t)是GT(ω)的沖激響應(yīng))，每個碼元的平均功率S為

(7.92)將代入式(7.92)得:

(7.93)

若定義碼元能量為E，則

(7.94)

或

(7.95)為了計算輸出誤碼率，應(yīng)找出輸出端判決器之前信號加噪聲后的合成信號分布密度。高斯白噪聲經(jīng)線性系統(tǒng)GR(ω)后仍為高斯分布，所以判決器前的噪聲仍為平穩(wěn)高斯過程，且噪聲的平均功率(方差)σ2為

(7.96)設(shè)噪聲的輸出過程為η(t)，取樣時刻瞬時值為η。在判決時刻，若|η|超過判決間隔2d的一半(即d)，就會產(chǎn)生誤碼，即誤碼概率為

(7.97)

將式(7.95)及式(7.96)代入式(7.97)得:

(7.98)由于實際系統(tǒng)判決時，在L種判決電平中，兩頭的極限電平(最高和最低兩種電平)只能在一個方向上判錯，所以最佳系統(tǒng)真正的誤碼率Pe為

(7.99)

式中，E/n0=ST/n0為廣義輸入信噪比，E為平均碼元能量，n0為輸入白噪聲的功率譜密度。由式(7.99)可見，L增加時，誤碼率增加。當L=2，即二進制時，式(7.99)為

(7.100)

式(7.100)與式(7.87)類似。

2.非理想信道下最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

在非理想信道下，式(7.89)已不成立，所以式(7.99)、式(7.100)都應(yīng)修正。引入修正結(jié)論(結(jié)論證明可參考有關(guān)資料)，這時系統(tǒng)誤碼率Pe的計算僅在式(7.99)中引入一個修正因子即可，則

(7.101)

式中，β為修正因子，且有：

(7.102)7.7均衡器原理

7.7.1頻域均衡

所謂理想的不失真系統(tǒng)，是指輸出y(t)與輸入x(t)信號波形相同，僅有幅度變化及固定時延的線性系統(tǒng)，即滿足:

(7.103)

式中，K為系統(tǒng)的放大倍數(shù)，τ為系統(tǒng)的時延。對式(7.103)進行傅立葉變換，得到:

(7.104)

由式(7.104)可得到理想系統(tǒng)的傳輸特性為

(7.105)因此，對理想系統(tǒng)來說有:

(7.106)

或群時延特性：

理想系統(tǒng)的傳輸特性如圖7.25所示。由圖7.25可見，理想系統(tǒng)的幅頻特性及群時延特性是一個與頻率無關(guān)的常數(shù)，相頻特性是頻率的線性函數(shù)。圖7.25理想系統(tǒng)的傳輸特性7.7.2時域均衡

時域均衡器是通過橫向濾波器(或橫截濾波器)來實現(xiàn)的。所謂橫向濾波器，是指具有固定延遲時間間隔、增益可調(diào)整的多抽頭濾波器。圖7.26給出了一個具有2N+1個抽頭的橫向濾波器的結(jié)構(gòu)，它是由多級抽頭延遲線、可變增益電路和求和器組成的線性系統(tǒng)。圖7.26橫向濾波器(或橫截濾波器)結(jié)構(gòu)圖一般來說，橫向濾波器插在基帶系統(tǒng)的接收濾波器和判決器之間。橫向濾波器的輸入來自接收濾波器的輸出x(t)，即x(t)為被均衡的對象，其輸出y(t)為均衡結(jié)果，送至判決器進行判決。x(t)和y(t)的波形如圖7.27所示。圖7.27橫向濾波器的輸入、輸出波形下面討論時域均衡器的原理，討論中不考慮噪聲的影響。重新寫橫向濾波器的沖激響應(yīng)為

(7.107)

其對應(yīng)的頻譜特性T(ω)為

(7.108)

顯然，T(ω)由(2N+1)個ci確定，ci不同，T(ω)也不同。均衡器(即橫向濾波器)的輸出為

(7.109)

則在抽樣時刻t=kT+t0時，有:

(7.110)設(shè)系統(tǒng)無時延，即t0=0，則式(7.110)可以簡寫為

(7.111)

式(7.111)說明，均衡器在第k個抽樣時刻上得