專題07相交線、平行線與平移

知識點1:相交線

(1)相交線的定義

兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交.相對的，我們稱這兩條直線為相交線.

(2)兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對頂角和鄰補角兩類.

(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩利”平行和相交(重合除外).

知識點2：對頂角、鄰補角

（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)

系的兩個角，互為對頂角.

（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角.

（3）對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

（4）鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補,即和為180。.

（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)

在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個.

鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的?種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下

形成的.

知識點3：垂線與垂線段

1.垂線

（1）垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

（2）垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

2.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個

中去選擇.

3.點到直線的距離

（1）點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

（2）點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它只能量出或

求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.

知識點4：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截

線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角.

（2）內(nèi)錯角：兩條直線被第三條亙線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截

線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.

2

(3)同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的附中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線

(截線)的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.

注意：三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決

定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有二述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直

線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“少”形，內(nèi)

錯角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成形.

知識點5；平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交(重合除外).

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線.

記作：a//bi

讀作：直線。平行于直線江

(2)同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意：

①前提是在同一平面內(nèi)；

②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線.

知識點6：平行公理及推論

(1)平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

注意：平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義.從作圖的貪度說，它是“能但只能畫出一條”的意思.

(2)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

注意：平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時應(yīng)用.

知識點7；平行線的判定

(1)定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等,

兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，

兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互

補，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

知識點8:平行線的性質(zhì)

I、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

3

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

知識點9（補充）：平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量

關(guān)系.

（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形創(chuàng)數(shù),用干推導(dǎo)角的關(guān)系并計算：判定由數(shù)到形,用干判定兩育線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

知識點10:平移

1、平移的概念

在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移.

注意：（1）平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等.

（2）確定一個圖形平移的方向和距離，只需確定其中一個點平移的方向和距離.

2.平移的性質(zhì)

（1）平移的條件：平移的方向、平移的距離

（2）平移的性質(zhì)：

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點.連接各組對應(yīng)點的線

段平行且相等.

3.作圖-平移變換

（1）確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離.

（2）作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這兒個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連

接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形.

4.利用平移設(shè)計圖案

確定一個基本圖案按照一定的方向平移一定的距離，連續(xù)作圖即可設(shè)計出美麗的圖案.

通過改變平移的方向和距離可使圖案變得豐富多彩.

?題型歸納

【題型1相交線】

滿分技法

4

用完全平方公式計算時，首先要確定是用“和的完全平方公式”還是用“差的完全平方公式”，然后

根據(jù)選擇的“和”或“差”確定公式中的“a”和“b”，最后選擇對應(yīng)的公式計算即可.

1.（2023春?無為市期中）按下列語句畫圖：點A在直線機上，也在直線〃上，但不在直線。上，且直線機、

〃、c兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）

2.（2023春?痂橋區(qū)校級期中）同一平面內(nèi)有四條直線，最多有個交點，最少有〃個交點，那么〃-2〃=（

)

A.IB.6C.8D.4

3.（2023春?蕭縣校級月考）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點個數(shù)是（）個.

A.3個B.1或3個C.1或2或3個D.?；?或2或3個

【題型2對頂角、鄰補角】

滿分技法

尋找對頂角時，要看兩角是否滿足三個條件:①是由兩條相交直線形成，②是有公共頂點，③是兩個角

的兩邊分別互為反向延長線。若三個條件均滿足，則這兩個角是對頂角，否則不是對頂角.

4.（2024春?揚山縣月考）下列各圖中，N1和N2是對頂角的是（）

A.

5

1

2

D.

5.12024春?淮南月考)若N1與Z2是對頂角，N3與N2互補，且N3的余角為3()。，那么N1的度數(shù)為

6.(2023秋?太湖縣期末)如圖，直線AB,CZ)相交于點O,OE平分NBOD,O/平分NCOE,

ZAOD=2ZBOD.

(1)求々02的度數(shù);

直線AB,C￡>相交于點O,OD平分ZBOE,NDOE+NFOE=900.

(1)求證：O廠是N4OE的平分線;

求/EO產(chǎn)的度數(shù).

【題型3垂線】

滿分技法

(1)垂線的基本事實：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線

(2)基本事實中的“一點”可以在直線上，也可以在直線外;性質(zhì)中的“一點”必須在直線外.

(3)“有且只有”中，“有”表示存在性，“只有”表示唯一性.

(4)線段、射線與某一條直線互相垂直，是指線段、射線所在直線與該直線互相垂直.

8.(2024春?淮南月考)如圖，直線AB,交于點O,射線N_LOD且OE平分NAOE,若NBQD=20。,

則NDOE=()

6

FE

D

AB

0

C

A.20°B.25°C.30°D.40°

9.（2024春?廬江縣期中）過點P作的的垂線CO,下列選項中，三角板的放法正確的是（）

10.（2024春?蕪湖期中）已知一個角的兩邊分別垂直于另一個角的兩邊，且這兩個角的差是30。，則這兩

個角的度數(shù)分別是

II.（2023秋?鳳陽縣期末）如圖，直線45,相交于點O,QE平分NBOC.

(1)若=則NAO￡=.（用含a的式子表示〕

(2)若NAQ￡)=68。，OFLCD,則/EOF=

滿分技法

（1）垂線段的性質(zhì)：在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段（連接直線外一點與垂足形成的

線段）最短

（2）垂線是直線，無法度量長度；垂線段是線段，可以度量長度.

（3）要善于利用垂線段的性質(zhì)解決類似有關(guān)路程線段最短的問題，注意其與“兩點之間，線段最短”

的區(qū)另人

7

12.（2024春?蕪湖期中）如圖，在同一平面內(nèi)，OAA.I,OB11,垂足為O,則04與重合的理由是（

A.兩點確定一條直線

B.垂線段最短

C.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

D.已知直線的垂線只有一條

13.（2023春?宿州期中）如圖，點A是直線/外一點，過點A作AB_L/于點3,在直線/上另取一點C,

使AC=5,點尸為直線/上任意一點，連接若A8=3,則線段AP的長不可能是（）

14.（2023春?碩山縣校級期末）如圖，已知AC_L4C,CD±AB,垂足分別是C,D,則下列線段大小

A.AC>ADB.BC<ABC.CD<ABD.BD>BC

15.（2021春?淮南月考）如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是依，理由

【題型5點到直線的距離】

滿分技法

（1）垂線段是一條線段，是圖形；點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，有單位.

8

（2）判斷最短、最近問題的兩依據(jù)：①兩點之間，線段最短;②在連接直線外一點與直線上各點的線段

中，垂線段最短.

16.（2024春?太和縣月考）下列圖形中，線段PQ的長能表示點P到直線用N的距離的是（）

M

A.

C.

17.（2023春?揚山縣校級期中）如圖，2是直線/外一點，A,B,C三點在直線/上，且PB_L/于點4,

NAPC=90°,則下列結(jié)論中正確的是（）

①線段32的長度是點P到直線/的距離；②線段4月的長度是4點到直線PC的距離；③在PA,PB,PC

三條線段中，PB最將:④線段PC的長度是點尸到直線/的距離

A.①②@B.③④C.①③D.①@③④

18.（2024春?無為市期中）如圖，AC±BC,CD_LA5,則點8到直線AC的距離是線段（）

A

A.84的長B.3c的長C.AC的長D.8的長

19.（2023春?碰山縣期中）如冬所示，ZB4C=90°,ADA.BC，則下列結(jié)論中：①人A_LAC；②/V）與

4C互相垂宜；③線段的長度是點區(qū)到4c的距離；④N84O=NC,其中正確的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【題型6同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角】

滿分技法

9

（1）同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角指的都是位置關(guān)系，而不是大小關(guān)系.

⑵同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是成對出現(xiàn)的，都沒有公共頂點，但都有一條邊在同一條直線上.

20.（2024春?磁山縣月考）如圖所示，下列說法中，錯誤的是（）

A.N3與N8是同旁內(nèi)角B.N1與NA是同位角

C.N2與N3是內(nèi)錯角D.NI與4是同位角

21.（2024春?廬江縣校級月考）如圖所示，N1和/2是（

B.內(nèi)錯角C.同旁內(nèi)角D.鄰補角

22.（2023春?淮北期末）如圖，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.N1與N2是同旁內(nèi)角B.N1與N6是內(nèi)錯角

C.N2與N5是內(nèi)錯角D.N3與/5是同位角

【題型7平行線】

滿分技法

（1）平行線概念中的“不相交”是指直線，而不是線段或射線.

⑵線段（或射線）平行，是指線段（或射線）所在的直線平行.

（3）判斷同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系時，可根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定.

23.（2023春?蕭縣校級月考）下列說法正確的是（）

A.不相交的兩條線段是平行線

10

B.不相交的兩條直線是平行線

C.不相交的兩條射線是平行線

D.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線

24.（2022春?宣州區(qū)校級期中）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.平行或相交

【題型8平行公理及推論】

滿分技法

（1）平行線的基本事實：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線平行于這條直線

（2）推論：如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直淺平行.即如果直線a//c,b"c,那么直線

a//b.

（3）在敘述基本事實時，一定要強調(diào)“直線外一點“，否則不存在平行線.“有且只有”中的“有表示

存在性，“只有”表示唯一性.

⑷平行線基本事實的推論表述了平行線的傳遞性，推論中不用強調(diào)“在同一平面內(nèi)”.

25.（2023春?蕪湖期末）下列結(jié)論正確的是（）

A.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.平行于同一條直線的兩直線平行

C.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

D.不相交的兩條直線必平行

26.（2024春?西山縣月考）對于下列說法，正確的是（）

A.過一點有且只有一條宜線與已知直線平行

B.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.測量孫浩的跳遠(yuǎn)成績，正確做法的依據(jù)是“兩點之間，線段最短”

D.不相交的兩條直線叫做平行線

27.（2023春?風(fēng)臺縣期中）下列說法錯誤的個數(shù)是（）

①經(jīng)過一點有且只有?條直線與已知直線平行；

②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

③直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到直線的距離；

④同?平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型9平行線的判定】

滿分技法

（1）三種判定方法的共同的前提條件是“兩條直線被第三條直線所載”，共同的結(jié)論是“兩直線平行”.

II

⑵這三種判定方法都是根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系來判斷直線之間的位置關(guān)系.

⑶判定兩直線平行，還可用平行線的概念、平行線的基本事實的推論及拓展中補充的方法來進(jìn)行.

28.（2024春?埔橋區(qū)校級期中）如圖，對于下列條件：①N1=N2；②N3=N4：③NC=N5；④

4+ZADC=180°.其中一定能得到AO〃8c的條件有（）

A.①②B.②③C.①④D.@@

29.（2024春?廬江縣校級月考）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AC//。/的是（）

B.Z4+Z2=180°C.Z2=Z3D.ZA=Z1

30.（2024春?無為市月考）如圖所示，EFJ.BC于點,DM_BC于點、M,ZI=Z2,N3=NC.求證:

AB//MN.

-------邛

31.（2024春?黃山期中）完成下面的解答.如圖，ZAZ>E+ZBCF=180°,BE平分ZABC.ZABC=2ZE.

（1）AO與4C平行嗎？請說明理由；

（2）川與的位置關(guān)系如何？為什么.

解：（1）AD//BC.理由如下：

?/Z4DE+ZBCF=180°（已知），

ZADE+ZAPF=180°（鄰補角的定義），

：.ZADF=Z_BCF_（）,

AD//BC（）.

（2）AB//EF,埋由如卜：

12

麻平分NABC（已知），

/.ZABE=^ZABC(),

又?.ZABC=2ZE(已知)，

即NE,ZABC，

2

.-.ZE=Z(),

AB!IEb\).

滿分技法

⑴平行線的性質(zhì)存在的前提條件是兩條平行線被第三條直線所截.

（2）“兩直線平行，同位角相等”和“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”提供了兩種證明角相等的思路.

32.（2024?安徽三模）如圖，已知直線/J%，點A，。在直線1上，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧,

分別交直線小6于。，B兩點,連接AB,BC.若NBC￡>=106。，則N1的度數(shù)為（）

A.30°B.32°C.36°D.42°

33.（2024?臨泉縣校級三模）一把直尺和一把含3（）。角的直角三角板按如圖所示擺放，已知Nl=25。，則N2=（

A.40°B.35°C.30°D.25°

34.（2024?新城區(qū)校級二模）如圖，已知直線a//。，在RtAABC中，ZAMC=90°,則圖中與N1互余的角

有（）

13

35.（2024春?淮南月考）如圖，a//b,一塊三角板的兩個頂點分別落在。、》上，且Nl=20。，則N2的

度數(shù)為（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

36.（2024春?鳳臺縣月考）如圖，將長方形紙片AG8沿口翻折，點C、D的對應(yīng)點分別是點G、〃.若

ZDEF=50°,則尸G的大小是（）

A.50°B.60°C.75°D.80°

37.（2024春?廬江縣校級月考）如圖，AB//CD,ZABC=4C。,NAC8=30。.

（1）求44CQ的度數(shù)；

（2）在直線8上取一點E,使得NC4E=NAC3,求NAEC的度數(shù).

【題型n平行線的判定與性質(zhì)】

滿分技法

在應(yīng)用平行線的性質(zhì)和判定解題時，關(guān)鍵是看清楚題目中的平行關(guān)系是作為條件還是作為結(jié)論：若已知

平行線，則用平行線的性質(zhì)；若要得到平行線，則用平行線的判定

38.（2024春?廬江縣期中）如圖，下列判斷中錯誤的是（

14

AD

BC

A.AB//CD,ZBAC=ZACDB.ZBAD+ZADC=\80°,：.AB//CD

C.?:AD/IBC,:.ABCA=ADACD.，；ZABD=/CDB,/.AD!IBC

39.（2024春?淮南月考）填空并完成以下證明：

如圖，BD工AC十點D,EFLAC十點F,DM//BC,Z1=Z2,求證：DMiIGF.

證明：BDJ.AC,EFVAC（已知），

ZBDF=ZEFC=90°（垂直定義）,

:.BD//EF（）,

/.Zl=—（兩直線平行，同位角相等），

?/Z1=Z2（已知），

:.N2=/HFE（）,

:.GF//（）,

'：DMIIBC（已知），

:.DM//GF（）.

40.（2022春?宣州區(qū)校級期中）如圖，AB/ICD,平分/皿），C7）與AE1相交于尸，NCFE=NE.求

證：AD//BC.

41.（2024春?太和縣月考）如圖，點A在射線OE上，點C在射線A/上，NA+N胡0=180°,N1=N2.求

證：AB//CD.（要求每步寫出推理依據(jù)）

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EAD

42.(2024春?無為市月考)如圖，已知AA3C,ZC=90°,/CME+/EFN=\80。，"EB=/FNB.

(1)判斷跖和AC的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若EF平分/MEB,4FNB=5牛，求4A位和4VF8的度數(shù).

【題型12生活中的平移現(xiàn)象】

滿分技法

（1）圖形平移是整個圖形都在平移，而不是局部平移.

（2）平移的方向可以是上下平移和左右平移，也可以是按任意指定的方向平移，只要是沿直線移動即可.

43.（2023春?淮南期中）如圖，在一塊長14”、寬6m的長方形場地上,有一條彎曲的道路,其余的部分

為綠化區(qū)，道路的左邊線向右平移就是它的右邊線，則綠化區(qū)的面積是（）

A.56m2B.66/zrC.72m2D.96病

44.（2024春?淮南月考）“友誼賓館”在重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳的主樓梯上鋪上紅色地毯，已知這種紅

色地毯的售價為每平方米50元，主樓道寬2米，其側(cè)面與正面如圖所示，則購買地毯至少需元.

16

45.（2024春?廬江縣校級月考）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長（AB）34米、寬20米的矩

形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，已知小道的寬為2米，則種植面積為平

方米.

滿分技法

（1）一個圖形和它經(jīng)過平移后所得的圖形中，連接各組對應(yīng)點的線段互相平行（或在同一條直線上）且

相等

（2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小

46.（2024春?廬江縣期中沏圖，將三角形AAC平移到三角形DEF的位置，則下列說法:①ZACB=NDEF；

②A8//OE；?AB=DF；④平移距離為線段班?的長.其中說法正確的有（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

47.（2024春?廬江縣期中）如圖，銳角三角形ABC中，ZBAC=45°,將三角形A8C沿著射線8c方向平

移得到三角形（平移后點A,B,C的對應(yīng)點分別是點4,夕，C）,連接GT,若在整個平移過

程中，NAGV和NC40的度數(shù)之間存在2倍關(guān)系，則NACV不可能的值為（）

17

A.15°B.30°C.45°D.90°

48.（2024春?田家庵區(qū)校級期中）如圖，將415c沿8C方向立移3a〃得到茅BF=5CE，則

的長為cm.

49.（2024春?林州市月考）如圖，將一個正方形，第1次向右平移一下，平移的距離等于對角線長的一半，

即其中一個正方形的頂點與另一個正方形的中心重合，并把重疊部分涂上顏色；第2次向右平移連續(xù)平

移兩次，每次平移的距離與第一次平移的距離相同，并且每平移一次把重疊部分涂上顏色，…，則第〃次

平移后所得到的圖案中正方形的個數(shù)是_________.

【題型14作圖■平移變換】

滿分技法

確定一個圖形平移后的位置的三個條件：

⑴圖形原來的位置；⑵平移的方向；⑶平移的距離.三個條件缺一不可，因為只有這樣，平移后的圖形

才唯一確定.

方法技巧：兩法定平移法

方法1:根據(jù)平移的定義，看它的形狀、大小是否發(fā)生變化，位置是不是通過沿某一直線方向移動改變

的.

方法2：根據(jù)平移的性質(zhì)，即看各組對應(yīng)點所連的線段是否平行（或在同一條直線上）且相等.

50.（2024春?無為市月考）三角形A8c在網(wǎng)格（每個小方格的邊長均為1個單位長度）中的位置如圖所

示，請根據(jù)下列提示完成作圖：將三角形A8C先向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度得到三

角形44G，試畫出二角形A4。；

18

51.(2024春?廬江縣期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。\，中，三角形ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為42,0),

B(2,6),C(-l,2),點】的坐標(biāo)是(-2,-1),現(xiàn)將三角形ABC平移，使點A平移到點A處,方，C分別是8,

C的對應(yīng)點.

(1)畫出平移后的三角形4斤。(不寫畫法)；

(2)若將C點向右平移〃K〃>O)個單位長度到點。，使得三角形45。的面積等于3,求小的值.

52.(2024春?無為市期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-4,3),8(-2,4),

C(-l,l),把A4BC向右平移5個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A9C，點A,B,C的對應(yīng)

點分別為4,C.

(1)寫出4,C的坐標(biāo)；

(2)在圖中畫出平移后的△AB'C；

⑶求△AbC的面積.

19

【題型15利用平移設(shè)計圖案】

滿分技法

圖舫的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小。

53.（2024春?淮南月考）2023年9月23口至1（）月8口第19屆亞運會在杭州舉行，杭州會徼的標(biāo)志如圖

所示，以下通過平移這個標(biāo)志得到的圖形是（）

B.Hangzhou2022

54.（2024春?鳳臺縣月考）每年的5月8日是世界微笑日，在對別人的微笑中，你也會看到世界對自己微

笑起來.下列圖案是由圖中所示的圖案平移得到的是（）

20

55.（2023春?歙縣月考）下列圖形中，不能通過其中一個四邊形平移得到的是（）

0X0

?過關(guān)檢測

一.選擇題（共8小題）

I.（2023秋?瑤海區(qū)校級期末）如圖，Zl=15°,440c=90°,點8,O,。在同一直線上，則N2的度

數(shù)為（）

A.75°B.15°C.105°D.165°

2.（2022春?太和縣期末）如圖，要把河中的水引到水池A中，應(yīng)在河岸3處（4BJLC0開始挖渠才能使

水渠的長度最短，這樣做依據(jù)的幾何學(xué)原理是（）

21

cTD

A

A.兩點之間線段最短B.點到直線的距離

C.兩點確定一條直線D.垂線段最短

3.（2024春?泗縣期中）如圖，下列條件中，不能判斷直線〃的是（）

Z2=Z3C.Z4=Z5D.Z2+Z4=180°

4.（2022春?鏡湖區(qū)校級期中）如圖，在下列給出的條件中，不能判定A3//O〃的是（）

ZA+Z2=180°C.Z1=Z4D.Z1=ZA

5.（2024春?無為市期中）如圖，過四邊形A8CD的頂點。作交8c的延長線于點E,連接AC、

A.N2和/3是同位角

B.若N1=N2,WOAB//CD

C.線段AO是4、。兩點間的距離

D.線段。B、DC、￡）E中，DE最短,理由是兩點之間，線段最短

6.（2022秋?大觀區(qū)校級期中）如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，Zl=30°,N2=50。，貝IJ/3

的度數(shù)等于（）

22

7.（2022春?定遠(yuǎn)縣校級期末）如圖，在A43C中，ZABC=90°,直線4，12,人分別經(jīng)過04c的頂點A,

B,C,且《/4/4，若4=40°，則N2的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

8.（2024春?J甬橋區(qū)期中）如圖，三角形43c沿臺C方向平移得到三角形DE尸，CE=2,B產(chǎn)=12,則平

移的距離為（）

二.填空題（共7小題）

9.（2023春?宣城期末）已知的兩邊與NA的兩邊分別垂直，且NA比々的3倍少40。，則N4=.

10.（2023春?淮南期中）如圖，同一平面內(nèi)的三條直線交于點O,Zl=30°.Z2=60°,貝!AB與CZ）的

11.（2022春?田家庵區(qū)期末）如圖，直線AB,C。被直線。￡所截，ZC=100°,請寫出能判定A8//CD

的一個條件：.

23

12.（2024春?埔橋區(qū)校級期中）如圖，MBC的邊C8的延長線交及■于點。，且比V/AB.若N6E廳=116。,

N4CE=66。，貝ijNA=

13.（2023春?淮北期末）如圖，己知N1=N2,N3=108。，則N4=

14.（2023春?肥東縣校級期中）如圖，是重疊的兩個直角三角形.將其中一個直角三角形沿4c方向平移

得到A￡>￡F.如果=BE=4cm,DH=3cm,則圖中線段b為cm.

15.（2023春?金安區(qū)校級期末）將AA3C沿射線3。方向平移到ADEF的位置（點E在線段3C上）,如

圖，若BF=13an,CE=5cm,則平移的距離是.

16.（2022春?定遠(yuǎn)縣期末）如圖，在AA/3C中，點。、尸在BC邊上，點E在44邊上，點G在AC邊

上，與G。的延長線交于點，，NCDG=/B,N1+N的=180°.

24

求正：(1)EH//ADx

(2)Za4Z)=ZH.

17.（2023秋?太湖縣期末）

（1）【問題】如圖①，N4O4為平角，OD、QE分別是4OC和NBOC的平分線，求Z77QE的度數(shù)，并

寫出NCOE的余角;

（2）【拓展】如圖②，ZAOB=a,射線OC是ZAOB內(nèi)部任一射線,射線OM、ON分別平分ZAOC、ZBOC,

則“MON的大小為（用含字母。的代數(shù)式表示）；

（3）【應(yīng)用】如圖③，AM//BN,NA=80°,點尸是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分

D.求NACB與NA08的差.

25

專題07相交線、平行線與平移

???0

知識點1:相交線

（1）相交線的定義

兩條直線交于一點，我們稱這兩條直線相交.相對的，我們稱這兩條直線為相交線.

（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對頂角和鄰補角兩類.

（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）.

26

知識點2：對頂角、鄰補角

(1)對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關(guān)

系的兩個角，互為對頂角.

(2)鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，互為鄰補角.

(3)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

(4)鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180。.

(5)鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)

在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個.

鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下

形成的.

知識點3：垂線與垂線段

1.垂線

(1)垂線的定義

當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

2.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外?點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

(3)實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個

中去選擇.

3.點到直線的距離

(1)點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

(2)點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它只能量出或

求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.

知識點4：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

(1)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線(截

線)的同旁，則這樣一對角叫做同位角.

(2)內(nèi)錯角：兩條直線被笫三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在笫三條直線(截

27

線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角.

（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線

（橫線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角.

注意「三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決

定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直

線印為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“尸”形，內(nèi)

錯角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成形.

知識點5：平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）.

（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線.

記作:a//b；

讀作：直線。平行于直線江

（2）同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對于這一知識的理解過程中要注意：

①前提是在同一平面內(nèi)；

②對于線段或射線來說，指的是它們所在的直線.

知識點6：平行公理及推論

（1）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

注意：平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義.從作圖的危度說，它是“能但只能畫出一條”的意思.

（2）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

注意：平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時應(yīng)用.

知識點7：平行線的判定

（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等,

兩直線平行.

（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，

兩直線平行.

（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角互

補，兩直線平行.

（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

知識點8：平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

28

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

知識點9(補充)：平行線的判定與性質(zhì)

(1)平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量

關(guān)系.

(2)應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

(3)平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

(4)輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

知識點10：平移

1、平移的概念

在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移.

注意：(1)平移是指圖形的平行移動，平移時圖形中所有點移動的方向一致，并且移動的距離相等.

(2)確定一個圖形平移的方向和距離，只需確定其中一個點平移的方向和距離.

2.平移的性質(zhì)

(1)平移的條件：平移的方向、平移的距離

(2)平移的性質(zhì)：

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.

②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點.連接各組對應(yīng)點的線

段平行且相等.

3.作圖.平移變換

(1)確定平移后圖形的基本要素有兩個：平移方向、平移距離.

(2)作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連

接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形.

4.利用平移設(shè)計圖案

確定一個基本圖案按照一定的方向平移一定的距離，連續(xù)作圖即可設(shè)計出美麗的圖案.

通過改變平移的方向和距離可使圖案變得豐富多彩.

?題型歸納

【題型1相交線】

29

滿分技法

用完全平方公式計算時，首先要確定是用“和的完全平方公式”還是用“差的完全平方公式”，然后

根據(jù)選擇的“和”或“差”確定公式中的“a”和“b”，最后選擇對應(yīng)的公式計算即可.

1.（2023春?無為市期中）按下列語句畫圖：點A在直線機上，也在直線〃上，但不在直線c上，且直線〃八

〃、c兩兩相交，下列圖形符合題意的是（）

【答案】。

【分析】根據(jù)題中語句，結(jié)合直線與直線、點與直線關(guān)系逐項驗證即可得到答案.

【解答】解：由點A在直線/〃上，也在直線〃上，可知直線機與直線〃交于點A；

」.A、C不符合題意；

由點A不在直線c上，可知A不符合題意；

再由直線機、，八c兩兩相交，即可確定。符合題意：

故逃：D.

【點評】本題考查直線與直線、點與直線的關(guān)系，熟記相關(guān)定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2（）23春?福橋區(qū)校級期中）同一平面內(nèi)有四條直線，最多有，曾個交點，最少有〃個交點，那么機+2〃=（

)

A.IB.6C.8D.4

【答案】B

【分析】可根據(jù)題意,畫出圖形，找出交點最多和最少的個數(shù),求〃?+2〃.

【解答】解：同一平面內(nèi)有四條直線，它們最多有6個交點，最少有。個交點，m+2〃=6,

故選：B.

【點評】此題主要考查了相交線，解題的關(guān)鍵是能夠正確畫出圖形.

30

3.（2023春?蕭縣校級月考）如果同一平面內(nèi)有三條直線，那么它們交點個數(shù)是（）個.

A.3個B.1或3個C.1或2或3個D.0或I或2或3個

【答案】D

【分析】直線的位置關(guān)系不明確，應(yīng)分情況討論.

【解答】解：當(dāng)三條直線平行時，交點個數(shù)為0；

當(dāng)三條直線相交于1點時，交點個數(shù)為1；

當(dāng)三條直線中，有兩條平行，另一條分別與他們相交時，交點個數(shù)為2；

當(dāng)三條直線互相不平行時，交點個數(shù)為3；

所以，它們的交點個數(shù)有4種情形.

故選：D.

【點評】本題考查相交線問題，涉及直線相交的相關(guān)知識，難度中等.

【題型2對頂角、鄰補角】

滿分技法

尋找對頂角時，要看兩角是否滿足三個條件:①是由兩條相交直線形成，②是有公共頂點，③是兩個角

的兩邊分別互為反向延長線。若三個條件均滿足，則這兩個角是對頂角，否則不是對頂角.

4.（2024春?砌山縣月考）下列各圖中，N1和N2是對頂角的是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角的概念判斷艮］可.

【解答】解：A.圖中N1和N2是對頂角，符合題意;

31

B.圖中N1和N2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故不符合題意；

。.圖中N1和N2沒有公共頂點，不是對頂角，故不符合題意；

D.圖中N1和N2的兩邊不是互為反向延長線，不是對頂角，故不符合題意；

故選A.

【點評】本題考查的是對頂角的概念，掌握有一個公共頂點，并且?個角的兩邊分別是另?個角的兩邊的

反向延長線是解題的關(guān)鍵.

5.（2024春?淮南月考）若N1與N2是對頂角，N3與N2互補，且N3的余角為30。，那么N1的度數(shù)為

120°_.

【答案】120°.

【分析】根據(jù)余角的定義可得/3=60。，再根據(jù)補角的定義可得N2=120。，然后利用對頂角相等可得