第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：圓的定義和圓的方程 4知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷 4題型一：求圓多種方程的形式 5題型二：直線系方程和圓系方程 6題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題 7題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 9題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷 10題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 11題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題 11題型八：圓過定點(diǎn)問題 1204真題練習(xí)·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯(cuò)分析·答題模板 15易錯(cuò)點(diǎn)：忽視圓的一般方程成立的條件 15答題模板：求圓的方程 16

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)圓的方程(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2024年北京卷第3題，5分2023年乙卷（文）第11題，5分2023年上海卷第7題，5分2022年甲卷（文）第14題，5分2022年乙卷（文）第15題，5分高考對(duì)圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時(shí)應(yīng)熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程的求法，除了待定系數(shù)法外，要特別要重視利用幾何性質(zhì)求解圓的方程．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．（2）能根據(jù)圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．

知識(shí)點(diǎn)1：圓的定義和圓的方程1、平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓．2、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．【診斷自測(cè)】已知點(diǎn)，，，則外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)2：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．【診斷自測(cè)】（2024·河北滄州·二模）若點(diǎn)在圓（為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型一：求圓多種方程的形式【典例1-1】已知直線與圓相切于點(diǎn)，圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·高三·北京·開學(xué)考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】（1）求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(biāo)（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn)．因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等．【變式1-1】過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【變式1-2】圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，的圓的方程為．【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與均與相切，點(diǎn)在上，則的方程為.【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．題型二：直線系方程和圓系方程【典例2-1】過圓：和圓：的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例2-2】圓經(jīng)過點(diǎn)，且經(jīng)過兩圓和圓的交點(diǎn)，則圓的方程為．【方法技巧】求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的直線系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系【變式2-1】經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的圓的方程為.【變式2-2】曲線與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．【變式2-3】過圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題【典例3-1】已知定點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，∠AOB的平分線交線段AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是．【典例3-2】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的軌跡方程為．【方法技巧】要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x，y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在．【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)C的軌跡方程為．【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置著一個(gè)邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點(diǎn)在軸上.現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為.【變式3-3】已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為．【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)B在直線y＝2上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)B作圓O的切線，切點(diǎn)為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為．【變式3-5】點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式3-6】已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【變式3-7】已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．【變式3-9】如圖，已知點(diǎn)A(-1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【變式3-10】已知點(diǎn)是圓上的定點(diǎn)，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP的中點(diǎn)的軌跡方程．(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件【典例4-1】若方程表示一個(gè)圓，則m可取的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【方法技巧】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑【變式4-1】若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【變式4-2】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）“”是“點(diǎn)在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【典例5-2】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】在處理點(diǎn)與圓的位置關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意圓的不同方程形式對(duì)應(yīng)的不同判斷方法，另外還應(yīng)注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對(duì)參數(shù)的制約．【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點(diǎn)可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．題型六：數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用【典例6-1】已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例6-2】若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】研究曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行等價(jià)變形，以防出現(xiàn)錯(cuò)誤．【變式6-1】（多選題）關(guān)于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對(duì)稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對(duì)稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【變式6-3】直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型七：與圓有關(guān)的對(duì)稱問題【典例7-1】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.【典例7-2】已知圓關(guān)于直線l對(duì)稱的圓為圓，則直線l的方程為.【方法技巧】（1）圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線對(duì)稱：①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點(diǎn)A，B在圓上，且A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的半徑的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．3【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【變式7-4】如果圓關(guān)于直線對(duì)稱，那么（

）A． B．C． D．【變式7-5】圓關(guān)于直線對(duì)稱后的圓的方程為（

）A． B．C． D．題型八：圓過定點(diǎn)問題【典例8-1】點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（

）A．和 B．和 C．和 D．和【典例8-2】圓恒過的定點(diǎn)是.【方法技巧】特殊值法【變式8-1】已知圓，點(diǎn)，平面內(nèi)一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對(duì)于圓上的任意動(dòng)點(diǎn)，都有為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為．【變式8-3】對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為.【變式8-4】設(shè)有一組圓：．下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)．1．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．3．（2020年山東省春季高考數(shù)學(xué)真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．5．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．1．平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點(diǎn)，這四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？為什么？2．已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．3．如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑．4．在半面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，其中為參數(shù)．證明：點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為r的圓．5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．6．長為2a的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．易錯(cuò)點(diǎn)：忽視圓的一般方程成立的條件易錯(cuò)分析：易忽視圓的一般方程：表示圓的條件而導(dǎo)致錯(cuò)誤.【易錯(cuò)題1】已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【易錯(cuò)題2】已知圓的方程為，若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C．