PAGEPAGE1第四章連續(xù)彈性體的振動(dòng)引言：桿、梁、板、殼。4.1直桿的縱向振動(dòng)1.建模：微元體，質(zhì)量，加速度Newton定律Hooke定律等直桿（4-6）--彈性波的縱向傳播速度2.解—分離變量法設(shè)代入得或得解（4-8）得解（4-9）得通解（4-12）邊界條件和初始條件決定待定常數(shù)。兩端固支邊界條件：得頻率方程解得（n=1,2,3,….）主振型振型圖主振動(dòng)兩端自由邊界條件，或，得，頻率方程固有頻率主振型振型圖一端固定、一端自由邊界條件，代入振型，頻率方程固有頻率主振型振型圖例4-1（p76）初始條件響應(yīng)2.圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（torsionvibrationofshaft）1.建模微元體Newton定律Hooke定律圓軸質(zhì)量慣性矩PK面積慣性矩方程等直軸波動(dòng)方程，a為剪切波速2.解—分離變量法其中的頻率和主振型由邊界條件確定見p79兩端自由兩端固定一端固定，一端自由4.3梁的橫向振動(dòng)1.建模1）梁的基本方程Hooke剪力載荷慣性載荷集度2）振動(dòng)方程（4-45）等直梁（4-46）2.求解—分離變量法設(shè)代入得或得得其中頻率和主振型由邊界條件確定3.兩端簡支梁4.4板的橫向振動(dòng)1.建?！匦伟澹?-69），慣性載荷2.求解—分離變量法設(shè)得3.四邊鉸支板邊界條件設(shè)得頻率方程解得通解圓板建模極坐標(biāo)求解—分離變量法設(shè)代入得或設(shè)代入得解得Bessel函數(shù)解固有頻率4．6固有頻率的近似解法4．6．2里茲法 里茲法是建立在哈密頓（Hamilton）變分原理基礎(chǔ)上的，是將變分問題轉(zhuǎn)換為求多個(gè)變量函數(shù)的極值問題。對無阻尼自由振動(dòng)，式（4.100）中虛功，哈密頓原理的表達(dá)式為其中T和U分別表示系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，S稱為泛函。 對于諧振動(dòng)，若上式積分區(qū)間選為一個(gè)周期，則（4.106），可以變?yōu)檫@是一個(gè)關(guān)于振型函數(shù)的泛函變分問題。假設(shè)振型函數(shù)為一系列已知函數(shù)，，…，的線性組合，即其中必須滿足幾何邊界條件，稱它為坐標(biāo)函數(shù)（或基礎(chǔ)函數(shù)）。是待定參數(shù)，也就是廣義坐標(biāo)。對于梁的橫向自由振動(dòng)有其中為諧振動(dòng)的周期。設(shè)振型函數(shù)為一系列已知函數(shù)，，…，的線性組合，即其中必須滿足幾何邊界條件。將上式代入式（4.111）即可得到（4.110）形式的二次型函數(shù)其中將式（4-112）代入式（4-109）得到一組關(guān)于的線性代數(shù)方程組上式中若要求有非0解，則要求系數(shù)行列式等于零，即 上式即為關(guān)于的頻率方程，從中可以解出個(gè)根，此個(gè)根就是系統(tǒng)固有頻率的近似解。再從式（4-114）中可以求出關(guān)于的n組比值，從這n組比值可得到關(guān)于的n組振型，這就是系統(tǒng)的近似主振型。 例4-3用里茲法求圖所示的固有頻率。梁具有單位厚度。伽遼金法伽遼金法也是建立在哈密頓變分原理基礎(chǔ)上的另一種近似計(jì)算方法。這種方法不需要計(jì)算振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能，而直接從振動(dòng)微分方程出發(fā)。下面仍以梁的橫向振動(dòng)為例來說明該方法。這時(shí)不是直接利用變分式（4-100），而是利用經(jīng)過變分以后的式（4-104）。設(shè)梁的自由振動(dòng)解為將上式代入式（4-104）后得如果選取n個(gè)已知函數(shù)滿足全部邊界條件，即要求不但要滿足幾何邊界條件也要滿足力的邊界條件，當(dāng)然這時(shí)自然也就滿足了式（4-105），那么作為近似解可令其中為待定系數(shù)。將上式求變分得將式（4-118）和（4-119）代入式（4-117）得整理后得其中因?yàn)橄喈?dāng)于獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，它的變分是任意的，所以由式（4-120）可得到下列的線性代數(shù)方程組由上述方程組可得頻率方程，為行列式解上述頻率方程可以得到n個(gè)固有頻率和n個(gè)廣義振型（在廣義坐標(biāo)下的振型）。例4-4再用伽遼金法計(jì)算例題4-3的楔形梁的固有頻率。4.6.4有限元法質(zhì)量矩陣的構(gòu)成桿單元、平面梁單元的質(zhì)量矩陣4.7受迫振動(dòng)1.梁的受