14.3.2運(yùn)用平方差公式因式分解夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．2．下列等式正確的是（

）A．x2＋y2=（x＋y）（x＋y） B．－x2＋y2=（y－x）（y＋x）C．－x2＋y2=（－x＋y）（－x－y） D．－x2－y2=－（x＋y）（x－y）3．等于（

）A． B． C． D．4．將多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．5．在探索因式分解的公式時(shí)，可以借助幾何圖形來(lái)解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過(guò)程中，解釋的因式分解公式是（）A． B．C． D．6．若分解因式時(shí)有一個(gè)因式是，則另一個(gè)因式是（

）A． B． C． D．7．已知a，b滿足，且，則關(guān)于a與b的數(shù)量關(guān)系，下列說(shuō)法中正確的是（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．①④ D．③④二、填空題：8．因式分解：=______．9．因式分解：10．若多項(xiàng)式4a2＋M能用平方差公式因式分解，則單項(xiàng)式M=__________．（寫出一個(gè)即可）11．若，，則___．12．已知一個(gè)圓的半徑為Rcm，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則它的面積增加__________13．若，則代數(shù)式的值為______．14．若a2﹣b2=5，a+b=5，則2a2﹣2ab=___________．三、解答題：15．分解因式：(1)；（2）ab2﹣a；(3)．（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．16．若x＋y是9的算術(shù)平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．17．如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是和，求它們所圍成的環(huán)形的面積．如果，呢？（?。?8．在的運(yùn)算結(jié)果中，的系數(shù)為，x的系數(shù)為，求a，b的值并對(duì)式子進(jìn)行因式分解．能力提升篇一、單選題：1．對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式（n+7）2﹣n2都能夠被（）A．2整除 B．n整除 C．（n+7）整除 D．7整除2．小明在抄因式分解的題目時(shí)，不小心漏抄了的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作業(yè)本上的式子是，則這個(gè)指數(shù)的可能結(jié)果共有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種3．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”（

）A．56 B．60 C．62 D．88二、填空題：4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，則m＝___．5．請(qǐng)閱讀以下因式分解的過(guò)程：．這種因式分解的方法叫做配方法．請(qǐng)用配方法分解因式：____________．6．如圖，有一張邊長(zhǎng)為x的正方形ABCD紙板，在它的一個(gè)角上切去一個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形AEFG，剩下圖形的面積是32，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DC，垂足為H.將長(zhǎng)方形GFHD切下，與長(zhǎng)方形EBCH重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，若拼成的長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)為8，則正方形ABCD的面積是____.三、解答題：7．如圖，邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）請(qǐng)問用這兩個(gè)圖可以驗(yàn)證公式法因式分解中的哪個(gè)公式？試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：．（2）若圖（1）中的陰影部分的面積是12，，求的值．8．閱讀材料：利用公式法，可以將一些形如（）的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式（）的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法可以解決一些數(shù)學(xué)問題．比如運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例：．．根據(jù)以上材料，利用多項(xiàng)式的配方解答下列問題．(1)分解因式：；(2)求多項(xiàng)式的最小值；(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，求的周長(zhǎng)．14.3.2運(yùn)用平方差公式因式分解夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列多項(xiàng)式中能用平方差公式分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平方差公式逐項(xiàng)分解因式可求解．【詳解】解：A、，無(wú)法因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，無(wú)法因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，無(wú)法因式分解，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握平方差公式的基本形式是解題關(guān)鍵．2．下列等式正確的是（

）A．x2＋y2=（x＋y）（x＋y） B．－x2＋y2=（y－x）（y＋x）C．－x2＋y2=（－x＋y）（－x－y） D．－x2－y2=－（x＋y）（x－y）【答案】B【分析】把各個(gè)選項(xiàng)右邊乘開看是否與左邊相等．【詳解】A.右邊=x2+2xy+y2，與左邊不相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B.右邊=y2-x2=-x2+y2，與左邊相等，故B選項(xiàng)正確，符合題意；C.右邊=(-x)2-y2=x2-y2，與左邊不相等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.右邊=-(x2-y2)=-x2+y2，與左邊不相等，故D選項(xiàng)不符合題意．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了整式乘法與因式分解的關(guān)系：整式乘法與因式分解互為逆運(yùn)算．通過(guò)把等號(hào)右邊的整式乘法展開看是否與左邊的多項(xiàng)式相等,可以判斷從左到右的因式分解是否正確．掌握這一方法是解題的關(guān)鍵．3．等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平方差公式，完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式＝．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與完全平方式，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．4．將多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】解：原式==故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解計(jì)算，主要因式分解過(guò)程中應(yīng)分解徹底，是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)．5．在探索因式分解的公式時(shí)，可以借助幾何圖形來(lái)解釋某些公式．如圖，從左圖到右圖的變化過(guò)程中，解釋的因式分解公式是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由面積相等列式可得答案．【詳解】解：從左圖到右圖的變化過(guò)程中，由面積相等可得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景，利用兩個(gè)圖形的面積相等列式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．6．若分解因式時(shí)有一個(gè)因式是，則另一個(gè)因式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可求解．【詳解】解：故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練運(yùn)用平方差公式是解答此題的關(guān)鍵．7．已知a，b滿足，且，則關(guān)于a與b的數(shù)量關(guān)系，下列說(shuō)法中正確的是（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】C【分析】將等式整理即可得出①，根據(jù)因式分解及a≠3b即可得到④．【詳解】解：∵（3?9b）（a＋b）＋9ab＝4a?a2，∴3a＋3b?9ab?9b2＋9ab＝4a?a2∴a2?a＝9b2?3b∴a2?9b2＝a?3b故①正確，∴（a＋3b）（a?3b）＝a?3b，∵a≠3b，∴a?3b≠0，∴a＋3b＝1．故④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及因式分解，掌握因式分解是解題關(guān)鍵．二、填空題：8．因式分解：=______．【答案】【分析】應(yīng)先提出公因式a，再運(yùn)用平方差公式分解．【詳解】原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式和公式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．9．因式分解：【答案】【分析】變形后提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．【詳解】解：原式＝＝＝【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，能熟練掌握提公因式法和公式法因式分解是解決本題的關(guān)鍵．10．若多項(xiàng)式4a2＋M能用平方差公式因式分解，則單項(xiàng)式M=__________．（寫出一個(gè)即可）【答案】－4（答案不唯一）【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)：兩項(xiàng)平方項(xiàng)，符號(hào)相反．所以M是個(gè)平方項(xiàng)且其符號(hào)為“-”，只要符合這個(gè)特點(diǎn)即可．【詳解】答案不唯一．如-b2，-4等．【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，是開放型題目，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，注意M中字母不要用a，如果用a，原多項(xiàng)式就可以合并同類項(xiàng)而變成單項(xiàng)式了．11．若，，則___．【答案】6【分析】利用平方差公式分解因式求解即可．【詳解】解：∵∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式在因式分解里的運(yùn)用，熟練運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．12．已知一個(gè)圓的半徑為Rcm，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則它的面積增加__________【答案】（4R+4）cm2【分析】半徑為Rcm的圓的面積是S1=πR2，若這個(gè)圓的半徑增加2cm，則其面積是S2=π（R+2）2，用增加后的圓的面積減去增加前圓的面積，利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】∵S2-S1=π（R+2）2-πR2，=π（R+2-R）（R+2+R），=4π（R+1），∴它的面積增加4π（R+1）cm2．故答案為（4R+4）cm2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是熟悉圓的面積公式．13．若，則代數(shù)式的值為______．【答案】【分析】根據(jù)平方差公式因式分解，再整體代換即可求出答案．【詳解】解：由題意，原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平方差公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．若a2﹣b2=5，a+b=5，則2a2﹣2ab=___________．【答案】6【分析】運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解，由a2-b2=5，a+b=5，得（a+b）（a-b）=5，a-b=1，那么2a=6，進(jìn)而解決此題．【詳解】解：∵a2-b2=5，∴（a+b）（a-b）=5，∵a+b=5，∴a-b=1，2a=6，∴2a2?2ab=2a(a?b)=6×1=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解以及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解以及代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵．三、解答題：15．分解因式：(1)；（2）ab2﹣a；(3)．（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay．【詳解】解：（1）原式；（2）ab2﹣a，

＝a（b2﹣1），

＝a（b+1）（b﹣1）；

（3）解：原式＝（999+1）（999﹣1）＝1000×998＝998000．（4）x2﹣y2﹣ax﹣ay，＝（x+y）（x﹣y）﹣a（x+y），＝（x+y）（x﹣y﹣a）．【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，一般來(lái)說(shuō)如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法分解因式，分解因式要徹底是解題關(guān)鍵．16．若x＋y是9的算術(shù)平方根，x﹣y的立方根是﹣2，求x2﹣y2的值．【答案】-24【分析】利用算術(shù)平方根與立方根的含義求解x＋y和x－y可得答案．【詳解】解：∵x+y是9的算術(shù)平方根，∴x＋y=3，∵的立方根是－2，∴x－y=-8，∴x2-y2=（x＋y）（x－y）=-24，故答案為：-24．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根與立方根的含義以及因式分解，掌握算術(shù)平方根與立方根的含義以及平方差公式是解題的關(guān)鍵．17．如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是和，求它們所圍成的環(huán)形的面積．如果，呢？（?。敬鸢浮浚痉治觥繃傻沫h(huán)形的面積大圓的面積小圓的面積，圓的面積，可列出代數(shù)式，并代入數(shù)據(jù)可求值．【詳解】解：圍成的環(huán)形的面積為：．當(dāng)，時(shí)：，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)式求值，根據(jù)圍成的環(huán)形的面積大圓的面積小圓的面積，然后代數(shù)求值．18．在的運(yùn)算結(jié)果中，的系數(shù)為，x的系數(shù)為，求a，b的值并對(duì)式子進(jìn)行因式分解．【答案】，，【分析】先計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再結(jié)合題意可得，，解方程組求解的值，再利用平方差公式分解因式即可.【詳解】解：∵∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的因式分解，二元一次方程組的解法，理解題意列出方程組求解的值是解本題的關(guān)鍵.能力提升篇一、單選題：1．對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式（n+7）2﹣n2都能夠被（）A．2整除 B．n整除 C．（n+7）整除 D．7整除【答案】D【分析】先利用平方差公式因式分解，即可求解．【詳解】解：（n+7）2﹣n2，∴對(duì)于任意整數(shù)n，多項(xiàng)式（n+7）2﹣n2都能夠被7整除．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平方差公式因式分解，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．小明在抄因式分解的題目時(shí)，不小心漏抄了的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式因式分解，他抄在作業(yè)本上的式子是，則這個(gè)指數(shù)的可能結(jié)果共有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】D【分析】能利用平方差公式分解因式，說(shuō)明漏掉的是平方項(xiàng)的指數(shù)，只能是偶數(shù)，又只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，則該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵當(dāng)這個(gè)指數(shù)是偶次方時(shí)，這個(gè)多項(xiàng)式能利用平方差公式因式分解，又因?yàn)樵撝笖?shù)為不大于10的正整數(shù)，∴該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個(gè)數(shù)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法．能熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)，是解答這道題的關(guān)鍵，還要知道不大于就是小于或等于．3．如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”，則下面哪個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”（

）A．56 B．60 C．62 D．88【答案】B【分析】設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2m、2m+2（m為自然數(shù)），則“神秘?cái)?shù)”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因?yàn)閙是自然數(shù)，要判斷一個(gè)數(shù)是否是“神秘?cái)?shù)”，只需根據(jù)該數(shù)=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然數(shù)就符合，否則不符合．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)分別2m、2m+2（m為自然數(shù)），∴“神秘?cái)?shù)”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，A、若4(2m+1)=56，解得m=，錯(cuò)誤；B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正確；C、若4(2m+1)=62，解得m=，錯(cuò)誤；D、若4(2m+1)=88，解得m=，錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了利用平方差公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握平方差公式以及對(duì)題中新定義的理解是解題的關(guān)鍵．二、填空題：4．若（20212﹣4）（20202﹣4）＝2023×2019×2018m，則m＝___．【答案】2022【分析】將等式左邊利用平方差公式進(jìn)行分解因式，再利用等式性質(zhì)即可求值．【詳解】解：，，，，故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式的因式分解，熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵．5．請(qǐng)閱讀以下因式分解的過(guò)程：．這種因式分解的方法叫做配方法．請(qǐng)用配方法分解因式：____________．【答案】（x+3）（x-1）【分析】根據(jù)題干中配方法，構(gòu)造平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】解：===[（x+1）+2][（x+1）-2]=（x+3）（x-1）．故答案為：（x+3）（x-1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，有一張邊長(zhǎng)為x的正方形ABCD紙板，在它的一個(gè)角上切去一個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形AEFG，剩下圖形的面積是32，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DC，垂足為H.將長(zhǎng)方形GFHD切下，與長(zhǎng)方形EBCH重新拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，若拼成的長(zhǎng)方形的較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)為8，則正方形ABCD的面積是____.【答案】36.【分析】根據(jù)題意列出，求出x-y=4，解方程組得到x的值即可得到答案.【詳解】由題意得：∵，∴x-y=4，解方程組，得，∴正方形ABCD面積為，故填：36.【點(diǎn)睛】此題考查平方差公式的運(yùn)用，根據(jù)題意求得x-y=4是解題的關(guān)鍵，由此解方程組即可.三、解答題：7．如圖，邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）請(qǐng)問用這兩個(gè)圖可以驗(yàn)證公式法因式分解中的哪個(gè)公式？試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：．（2）若圖（1）中的陰影部分的面積是12，，求的值．【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b），264．（2）150【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等，即可寫出公式a2-b2=（a+b）（a-b），從左到右依次利用平方差公式即可求解；（2）根據(jù)a2-b2=（a+b）（a-b）=12，把a(bǔ)-b的值代入即可求得a+b的值，進(jìn)而求