專(zhuān)題11.19三角形幾何模型-燕尾角（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）【知識(shí)模型】如圖：這樣的圖形稱(chēng)之為“燕尾角模型”結(jié)論：∠BDC=∠A+∠B+∠C【模型證明】如圖所示，已知四邊形，求證．證法1：如圖一所示，連接BC.在中，，即.在中，，；圖一證法2：如圖二所示，連接AD并延長(zhǎng).是的外角，.同理，..即.圖二證法3：如圖所示，延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E.是的外角，.是的外角，..圖三【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．一、單選題1．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無(wú)法確定2．如圖，已知BE，CF分別為△ABC的兩條高，BE和CF相交于點(diǎn)H，若∠BAC=50°，則∠BHC為（）A．115° B．120° C．125° D．130°3．在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．4．如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．二、填空題5．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．6．如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是__．7．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．8．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．9．如圖，若，則____________．10．如圖，在中，，，平分，平分，則______.三、解答題11．如圖(1)所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：（1）觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=__________°；②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫(xiě)出解答過(guò)程）③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線(xiàn)相交于點(diǎn)G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．12．如圖，已知分別交的邊、于、，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，，，，求的度數(shù).13．如圖，是的平分線(xiàn)，CH是的平分線(xiàn)，與CH交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).14．如圖，、分別平分和，若，，求的度數(shù).15．如圖，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，，，，求的度數(shù).16．模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線(xiàn)（即角平分線(xiàn)）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線(xiàn)．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線(xiàn)、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線(xiàn)、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．17．如圖，中，（1）若、的三等分線(xiàn)交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；（2）若、的等分線(xiàn)交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，.參考答案1．C解：如圖，連接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.故選C.2．D解：∵BE為△ABC的高，∠BAC=50°，∴∠ABE=90°-50°=40°，∵CF為△ABC的高，∴∠BFC=90°，∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．故選D．3．A【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．解：延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線(xiàn)，將已知條件聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．4．C【分析】由三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說(shuō)明∠DBC+∠DCB=90°，進(jìn)而完成解答．解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴40°-90°=50°故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．5．##180度【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)將五個(gè)角轉(zhuǎn)化為三角形的三個(gè)角的和即可．解：如圖：利用三角形的外角的性質(zhì)得：，，所以，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角及三角形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的將幾個(gè)角轉(zhuǎn)化為三個(gè)角，難度不大．6．180°【分析】由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和定理求解．解：如圖可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠D＋∠C，在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．故答案為：180°．【點(diǎn)撥】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．7．720°【分析】根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，可得∠2與∠H、∠G的關(guān)系，∠1與∠2、∠D的關(guān)系，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可得答案．解：如圖：由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，∠1＝∠H＋∠G＋∠D，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D＝180°×（6－2）＝270°．故答案為：720°．【點(diǎn)撥】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多邊形的內(nèi)角和．8．360°【分析】連接CF，根據(jù)三角形的外角得到由三角形外角的性質(zhì)可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．解：如圖，連接FC，由三角形外角的性質(zhì)可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，故答案為360°．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是熟記三角形的外角的性質(zhì)．9．230°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．解：如圖∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案為：230°．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．10．【分析】先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.解：∵平分，平分，∴，∴.【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.11．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見(jiàn)分析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，進(jìn)而可得答案．解：（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴(140﹣x)＋x＝77，∴14﹣x+x＝77，∴x＝70，∴∠A為70°．故答案是：70．【點(diǎn)撥】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．12．.【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解解：在中，=--，∴∠DEC=【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)，掌握三角形內(nèi)角和為180°及三角形的一個(gè)外角等于不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．13．.【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出燕尾角的基本圖形的結(jié)論得出∠BDC、∠BOC，在根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可得出解：由燕尾角的基本圖形與結(jié)論可得，①②是的平分線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，．①-②得，．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義．注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．14．.【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M與∠B、∠D關(guān)系，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，∵AM、CM分別平分∠BAD和∠BCD，∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，∴∠M-∠B=∠D-∠M，∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義．注意利用“8字形”的對(duì)應(yīng)角相等求出角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．15．.【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)先求出的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可注出的度數(shù).解：在△ADC中，，在在△BDF中，.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì).熟練找出三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.16．（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計(jì)算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計(jì)算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計(jì)算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計(jì)算即可；③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計(jì)算可得；④根據(jù)兩個(gè)凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個(gè)等式，聯(lián)立可得結(jié)論．解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）=∠BOC-（∠BOC-∠A）=∠BOC-（120°-50°）=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）=120°-（120°-50°）=120°-10°=110°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）=180°-（120°-44°）=142°；④∠BOD=