3.2函數(shù)的性質(zhì)（精講）一．函數(shù)單調(diào)性的定義1.單調(diào)函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D，當x1＜x2時都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)結(jié)論那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，稱它是增函數(shù)當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，稱它是減函數(shù)圖示2.單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3.復合函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)在函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域上，如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相同，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞增；如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調(diào)性相反，那么y＝f(φ(x))單調(diào)遞減．二．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M(2)?x∈I，使得f(x)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x∈I，使得f(x)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值三．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)f(－x)＝－f(x)關(guān)于原點對稱四．函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．函數(shù)的對稱性1.對稱性：若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．2.對稱中心：f(－x＋b)＋f(x＋b)＝2a，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b,a)中心對稱．一．判斷函數(shù)單調(diào)性常用的方法1.定義法：一般步驟為取值→作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論．2.圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性．3.導數(shù)法：先求導數(shù)，利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)性(或單調(diào)區(qū)間)．4.性質(zhì)法：①對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)的增減性進行判斷；②對于復合函數(shù)，先將函數(shù)y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷．5．在公共定義域內(nèi)，增＋增＝增，減＋減＝減，增－減＝增，減－增＝減．6．復合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性判斷方法：“同增異減”．易錯點：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先需要求函數(shù)的定義域.二．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)1.視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；2.若分段函數(shù)在R上是單調(diào)的，則該函數(shù)在每一段上具有相同的單調(diào)性，還要注意分界點處的函數(shù)值大小．3.比較函數(shù)值的大小時，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．4.求解函數(shù)不等式，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應注意函數(shù)的定義域．5.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍)．根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解．對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值．三．判斷函數(shù)的奇偶性1，定義法2.圖象法3.性質(zhì)法設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)f(x)g(x)f(g(x))偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)同性加減不變性，異性加減非奇偶同性乘除為偶異性乘除為奇復合函數(shù)有偶為偶，兩奇為奇四．函數(shù)奇偶性的應用1.求函數(shù)值：將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知解析式區(qū)間上的函數(shù)值．2.求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出．3.求解析式中的參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值．4畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象．5.求特殊值：利用奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零可求一些特殊結(jié)構(gòu)的函數(shù)值．考法一具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例11】（2023云南）下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【例12】（2023·云南·校聯(lián)考二模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________．【例13】（1）（2023·江西）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A．和B．和C．和D．和（2）（2022·廣東）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C．和 D．和（3）（2022秋·河北廊坊·高三校考階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【例14】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.2．（2023·西藏林芝）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是3．（2023·江西）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.4．（2023北京）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是①遞增區(qū)間是②遞減區(qū)間是③遞增區(qū)間是④遞增區(qū)間是5（2022·山東）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_______．考法二函數(shù)單調(diào)性的應用【例21】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【例22】（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，在R上為嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（1，3）； B．（2，3）；C．； D．；【例23】（2023秋·江西撫州·高三臨川一中校考期末）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·廣西）已知函數(shù)在區(qū)間（∞，1]是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（∞，1] C．[1，+∞） D．（∞，1]2．（2023·北京）使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南）已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·河北）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．考法三判斷函數(shù)的奇偶性【例3】（2023安徽）判斷下列函數(shù)的奇偶性：；

（2）；（3）；

（4）；（5）．【一隅三反】（2023·廣東潮州）判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)；(2)；(3)(4)；(5)．(6)；(7)；(8)．考法四函數(shù)奇偶性的應用【例41】（1）（2023春·四川成都·高三石室中學?？奸_學考試）已知為奇函數(shù)，當時，，則當時，（2）（2023山西）已知是偶函數(shù)，當時，，則當時，_________【例42】（1）（2022·廣東深圳）若是奇函數(shù)，則實數(shù)___________.（2）（2023·江西·校聯(lián)考二模）設(shè)，則“”是“為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（3）（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．【例43】（1）（2023·吉林）已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．（2）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．（3）（2023·全國·模擬預測）定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【例44】（2022·江蘇）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的解析式為_________．2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，則________.3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解集是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．7．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．8（2022·江蘇）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高三專題練習）已知，若，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．考法五函數(shù)的周期性和對稱性【例51】（2023·全國·高三專題練習）奇函數(shù)滿足，當時，，則=（

）A．B．C．D．【例52】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【例53】（2022·吉林·梅河口市第五中學）已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）是以2為周期的函數(shù)，若時，，則________．2．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）請寫出一個圖像關(guān)于點對稱的函數(shù)的解析式_________．3．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預測）已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）4．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學校聯(lián)考模擬預測）（多選）已知函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，且對，恒成立，則（

）A．為奇函數(shù) B． C． D．考法六函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例61】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）（多選）已知定義域為的函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且圖像關(guān)于對稱，則（

）A． B．周期C．在單調(diào)遞減 D．滿足【例62】（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，，為偶函數(shù)，當時，，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【例63】（2023·四川成都·?？既＃┮阎瘮?shù),則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知偶函數(shù)與奇函數(shù)的定義域均為R，且滿足，，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A